Equazione di un piano nello spazio
Un architetto deve appoggiare la copertura di un padiglione su tre pilastri. Come si scrive l'equazione di quel piano? Una retta nello spazio richiede un punto e un vettore direzione. Un piano è una superficie a due dimensioni e richiede un punto e due direzioni, oppure, in modo equivalente, un solo vettore perpendicolare a tutte le direzioni del piano: il vettore normale. Da qui nascono varie forme dell'equazione, tutte equivalenti.
Equazione vettoriale e parametriche
Determina l'equazione del piano $\pi$ che contiene la retta $r$ data da: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ ed è…
Determina l'equazione del piano $\pi$ che contiene la retta $r$ data da:
$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ed è parallelo alla retta $s$, che passa per i punti $P(0, 2, 1)$ e $Q(1, 2, 4)$. Giustifica perché il vettore direttore di $s$ non può essere proporzionale a quello di $r$ affinché il piano sia univocamente determinato.
Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché i punti $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ e $D(k, k, 2)$ siano complanari. Una volta trovato $k$, scrivi…
Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché i punti $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ e $D(k, k, 2)$ siano complanari. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione del piano che li contiene in forma parametrica.
Equazione cartesiana: punto e vettore normale
Il perché: un punto $X$ sta nel piano se e solo se $\overrightarrow{PX}$ è perpendicolare a $\vec n$, cioè se $\vec n\cdot\overrightarrow{PX}=0$, che è esattamente l'equazione scritta sopra.
Caso frequente: il piano perpendicolare a una retta $r$ ha come vettore normale il vettore direzione di $r$. Due piani paralleli hanno lo stesso vettore normale (o proporzionale): per il piano parallelo a $\pi$ per un punto dato si tengono i coefficienti $a, b, c$ e si ricalcola $d$ imponendo il passaggio per il punto.
Data l'equazione del piano che rappresenta una delle pareti di una stanza, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica in modo motivato se i seguenti punti appartengono a…
Data l'equazione del piano che rappresenta una delle pareti di una stanza, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica in modo motivato se i seguenti punti appartengono a tale parete:
- a) $Q(3, 0, 0)$
- b) $R(1, 1, 1)$
Un ingegnere sta progettando la base di un pezzo con un programma CAD. La base deve essere un piano che passi per il punto $P(2, -1, 3)$ e il cui vettore normale sia…
Un ingegnere sta progettando la base di un pezzo con un programma CAD. La base deve essere un piano che passi per il punto $P(2, -1, 3)$ e il cui vettore normale sia $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcola l'equazione generale del piano che definisce tale base.
Trova l'equazione del piano che passa per il punto $A(5, -2, 4)$ ed è parallelo al piano di equazione $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Ricorda che due piani paralleli…
Trova l'equazione del piano che passa per il punto $A(5, -2, 4)$ ed è parallelo al piano di equazione $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Ricorda che due piani paralleli hanno lo stesso vettore normale.
Si vuole installare un faro la cui traiettoria sia perpendicolare a una lastra metallica. Se la traiettoria del raggio di luce è data dalla retta…
Si vuole installare un faro la cui traiettoria sia perpendicolare a una lastra metallica. Se la traiettoria del raggio di luce è data dalla retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, trova l'equazione del piano che contiene la lastra metallica sapendo che passa per il punto $M(0, 4, -2)$.
Dalle parametriche alla cartesiana
Se il piano è dato in forma parametrica, i vettori direzione $\vec u$ e $\vec v$ sono contenuti in esso, quindi $\vec n=\vec u\times\vec v$. In alternativa si eliminano i parametri $\lambda$ e $\mu$ dalle tre equazioni.
La superficie di un pannello solare su un satellite si può rappresentare mediante le seguenti equazioni parametriche:…
La superficie di un pannello solare su un satellite si può rappresentare mediante le seguenti equazioni parametriche:
$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$
Ottieni l'equazione generale o implicita di tale piano.
Determina l'equazione del piano che contiene la retta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ e che passa inoltre per il punto esterno…
Determina l'equazione del piano che contiene la retta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ e che passa inoltre per il punto esterno $P(1, 1, 1)$.
Il piano per tre punti
Quattro punti $A, B, C, D$ sono complanari se $D$ appartiene al piano per $A, B, C$, cioè se $\overrightarrow{AD}\cdot\vec n=0$ (equivalentemente, il determinante dei vettori $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ è nullo).
Due rette $r$ e $s$ sono incidenti se hanno un punto in comune. Per verificarlo si uguagliano le coordinate di un punto generico di $r$ (parametro $t$) e di uno generico di $s$ (parametro $u$): si ottiene un sistema nelle incognite $t$ e $u$. Se ha soluzione, le rette si incontrano nel punto trovato; se non ha soluzione, non si incontrano. Se le rette sono incidenti e distinte, giacciono in un unico piano, con vettori direzione quelli delle due rette.
In uno scenario di realtà virtuale, tre sensori sono situati nei punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$. Determina l'equazione generale del piano che contiene…
In uno scenario di realtà virtuale, tre sensori sono situati nei punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$. Determina l'equazione generale del piano che contiene questi tre sensori.
Un architetto sta progettando una copertura piana per un piccolo padiglione. La copertura deve poggiare su tre pilastri le cui estremità superiori si trovano nei punti…
Un architetto sta progettando una copertura piana per un piccolo padiglione. La copertura deve poggiare su tre pilastri le cui estremità superiori si trovano nei punti $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ e $C(1, 1, 5)$, dove le unità sono in metri.
- a) Ottieni l'equazione generale o implicita del piano che contiene la copertura.
- b) Calcola i punti di intersezione di tale piano con gli assi coordinati per determinare dove si troverebbero gli ancoraggi se la copertura si estendesse fino a toccare i muri principali (gli assi).
Trova l'equazione del piano che contiene le seguenti rette, verificando prima che si incontrano in un punto: $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}…
Trova l'equazione del piano che contiene le seguenti rette, verificando prima che si incontrano in un punto:
$$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} \quad , \quad s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1}$$Se un terzo raggio laser segue la direzione del vettore normale a questo piano ed esce dal punto di intersezione di $r$ e $s$, quale sarebbe la sua equazione vettoriale?
Equazione segmentaria
Il tetraedro formato dall'origine e dai tre punti d'intersezione con gli assi ha come base il triangolo rettangolo di cateti $|a|$ e $|b|$ e altezza $|c|$, quindi il suo volume è
$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{|a|\cdot|b|}{2}\cdot|c|=\frac{|abc|}{6}$$Un architetto utilizza l'«equazione segmentaria» per definire un tetto inclinato che taglia gli assi coordinati nei punti $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ e $(0, 0, 2)$. Scrivi…
Un architetto utilizza l'«equazione segmentaria» per definire un tetto inclinato che taglia gli assi coordinati nei punti $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ e $(0, 0, 2)$. Scrivi direttamente la sua equazione e trasformala nella forma generale $Ax + By + Cz + D = 0$.
Un piano $\pi$ taglia gli assi coordinati nei punti $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ e $Z(0, 0, c)$. Si sa che il piano passa per il punto $P(1, 2, 2)$ e che le distanze…
Un piano $\pi$ taglia gli assi coordinati nei punti $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ e $Z(0, 0, c)$. Si sa che il piano passa per il punto $P(1, 2, 2)$ e che le distanze dall'origine dei punti di intersezione sono uguali ($a = b = c$).
- a) Scrivi l'equazione generale del piano.
- b) Calcola il volume del tetraedro formato dall'origine degli assi e dai tre punti di intersezione con gli assi.
Il fascio di piani
Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta di intersezione dei piani $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Trova il piano…
Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta di intersezione dei piani $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Trova il piano appartenente a tale fascio che passa per il punto medio del segmento di estremi $A(1, 2, -1)$ e $B(3, 0, 5)$.
Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcola l'equazione del piano $\pi$ appartenente a tale fascio…
Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcola l'equazione del piano $\pi$ appartenente a tale fascio che soddisfa contemporaneamente le due condizioni seguenti:
-
È perpendicolare al piano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.
-
Il punto $P(0, a, 1)$ appartiene al piano $\pi$ per qualche valore reale di $a$.
Determina il valore di $a$ e l'equazione generale di $\pi$.
Piani e rette: problemi di condizioni
Nei problemi complessi si traducono le condizioni in vettori: piano parallelo a una retta ⟹ $\vec n\cdot\vec d=0$; piano perpendicolare a un altro piano ⟹ $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$; piani paralleli ⟹ normali proporzionali. Se anche i termini noti sono nella stessa proporzione, i piani coincidono (es. $x+y+z=1$ e $2x+2y+2z=2$); se invece $d$ non è in quella proporzione, sono paralleli e distinti (es. $x+y+z=1$ e $2x+2y+2z=5$). Distanza dall'origine del piano $ax+by+cz+d=0$: $\dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$; lo stesso vale per la distanza di una sfera di raggio $R$ tangente al piano dal suo centro.
Per trovare l'intersezione di una retta con un piano si sostituiscono le parametriche della retta nell'equazione cartesiana del piano e si risolve l'equazione nel parametro $t$; poi si sostituisce $t$ nelle parametriche per avere il punto. Esempio: retta $(1+t;\ 2t;\ 3-t)$ e piano $x+y+z-6=0$: $1+t+2t+3-t-6=0 \Rightarrow 2t-2=0 \Rightarrow t=1$, quindi il punto è $(2; 2; 2)$. Se si ottiene $0=k\neq0$ la retta è parallela al piano e non lo incontra; se si ottiene $0=0$ la retta sta nel piano.
Posizione reciproca di due piani: se i normali non sono proporzionali i piani sono incidenti in una retta. Per tre piani con un parametro $k$, si studiano prima le coppie di normali (proporzionali o no); poi, se nessuna coppia è parallela, si risolve il sistema dei tre piani: una soluzione unica, nessuna o infinite a seconda di $k$. Per esempio, se il determinante dei tre normali è diverso da zero i piani si incontrano in un solo punto.
L'angolo $\varphi$ tra due piani è l'angolo tra i loro vettori normali (o il suo supplementare, scegliendo quello acuto):
$$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$$Il piano coordinato $XY$ ha equazione $z=0$, con normale $(0; 0; 1)$.
In una missione di soccorso, un drone si muove lungo una traiettoria rettilinea data dalla retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Il drone deve…
In una missione di soccorso, un drone si muove lungo una traiettoria rettilinea data dalla retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Il drone deve emettere un segnale di radiofrequenza che è efficace solo se colpisce perpendicolarmente uno schermo piano di sicurezza.
- a) Determina l'equazione del piano che rappresenta tale schermo, sapendo che deve passare per il punto $P(2, 2, 2)$ ed essere perpendicolare alla traiettoria del drone.
- b) Calcola il punto esatto in cui la traiettoria del drone colpirebbe lo schermo.
Un raggio laser parte dal punto $A(1, 2, -2)$ e segue la direzione del vettore $\vec{u} = (1, -1, 1)$ fino a colpire uno specchio piano che contiene la retta…
Un raggio laser parte dal punto $A(1, 2, -2)$ e segue la direzione del vettore $\vec{u} = (1, -1, 1)$ fino a colpire uno specchio piano che contiene la retta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ e il punto $B(0, 0, 4)$.
- a) Calcola l'equazione del piano $\pi$ in cui si trova lo specchio.
- b) Trova le coordinate del punto di impatto $P$ del laser sullo specchio.
Dati i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, k, 0)$, studia la posizione reciproca dei piani $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ al variare del parametro reale $k$, sapendo…
Dati i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, k, 0)$, studia la posizione reciproca dei piani $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ al variare del parametro reale $k$, sapendo che:
-
$\pi_1$ è il piano che passa per $A$, $B$ e l'origine.
-
$\pi_2$ è il piano che contiene $C$ ed è perpendicolare alla retta che unisce $A$ e $B$.
-
$\pi_3$ è il piano di equazione $x + y + z = k + 2$.
Dati i piani $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$: a) Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché i piani siano coincidenti. b) Calcola i…
Dati i piani $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:
- a) Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché i piani siano coincidenti.
- b) Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché i piani siano paralleli ma non coincidenti.
- c) Quale relazione deve esistere tra $a$ e $b$ affinché l'origine degli assi appartenga all'intersezione dei due piani?
Consideriamo le rette incidenti $r$ e $s$ che definiscono un piano $\alpha$. La retta $r$ passa per $P(1, 0, 1)$ con direzione $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ e la retta $s$…
Consideriamo le rette incidenti $r$ e $s$ che definiscono un piano $\alpha$. La retta $r$ passa per $P(1, 0, 1)$ con direzione $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ e la retta $s$ passa per $Q(1, 0, 1)$ con direzione $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.
Calcola l'equazione di un piano $\pi$ parallelo a $\alpha$ e tale che la sfera di centro $C(3, 2, 1)$ e raggio $R=2$ sia tangente a tale piano $\pi$. Ottieni le due possibili soluzioni.
In sintesi
Vuoi tornare al padiglione dell'inizio? Con tre pilastri non allineati si calcola $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ e si scrive l'equazione del piano della copertura.