Esercizi: Prodotto misto

Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcola il valore del prodotto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizzando la definizione basata sul determinante delle sue componenti.

Uno studente di ingegneria sta progettando un pezzo con un programma CAD. La base del pezzo è definita dai vettori $\vec{a} = (3, 0, 0)$ e $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mentre il terzo vettore che definisce la profondità è $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcola il volume del parallelepipedo formato da questi tre vettori.

Verifica in modo motivato se i vettori $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ e $\vec{c} = (4, 2, 1)$ sono complanari. A tale scopo, calcola il loro prodotto misto e giustifica la risposta in base al risultato ottenuto.

Dati i vettori $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (2, 1, -1)$, trova un terzo vettore $\vec{w}$ della forma $(0, 0, z)$ tale che il volume del parallelepipedo definito dai tre sia esattamente di 5 unità cubiche.

Date le rette $r$ e $s$ definite dalle seguenti equazioni:

$r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$

Si chiede di determinare l'equazione della retta $t$ che è la perpendicolare comune a $r$ e $s$. A tale scopo, ricava prima i vettori direttori di entrambe le rette e giustifica con un ragionamento che sono sghembe nello spazio.

Studia, in funzione del parametro reale $a$, la posizione reciproca delle rette $r$ e $s$:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2}$

$s: \begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + z = 1 \end{cases}$

Nel caso particolare in cui le rette siano incidenti, calcola le coordinate del punto di intersezione $P$ e l'equazione del piano che le contiene.

Consideriamo il punto $P(1, 0, -1)$ e le rette:

$r: x = y = z$

$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Trova l'equazione generale del piano $\pi$ che passa per il punto $P$ ed è parallelo a entrambe le rette. Successivamente, determina l'equazione di una terza retta $k$ che passi per il punto $P$, sia contenuta nel piano $\pi$ e sia perpendicolare alla retta $r$.

Trova l'equazione della retta $t$ che passa per il punto $A(1, 2, 1)$ e interseca le rette $r$ e $s$:

$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

$s: \begin{cases} x + z = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Spiega il metodo utilizzato basandoti sull'intersezione di piani (fascio di piani).

Si sa che la retta $r$ passa per il punto $A(1, m, 0)$ e ha come vettore direttore $\vec{u} = (1, 1, a)$. Inoltre, la retta $s$ è l'intersezione dei piani:

$\pi_1: x - y + z = 0$

$\pi_2: 2x + y = 1$

Stabilisci se esistono valori dei parametri $m$ e $a$ affinché le rette $r$ e $s$ siano la stessa retta (rette coincidenti) e, in caso affermativo, determinali.

Due aerei seguono traiettorie rettilinee date da:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-a}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$

1. Calcola il valore di $a$ affinché le traiettorie degli aerei si incontrino in un punto.

2. Per quel valore di $a$, trova l'equazione della retta $n$ perpendicolare al piano formato dalle traiettorie $r$ e $s$ e passante per il punto di collisione.

In una verifica di Geometria, Laura deve calcolare il volume del tetraedro di vertici $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ e $C(1, 2, -4)$. Nella sua risoluzione scrive quanto segue:

«Calcolo il prodotto misto dei vettori $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ e $\vec{OC}$ mediante il determinante:

Poiché il determinante vale $-24$, il tetraedro non può esistere con quei vertici perché un volume fisico non può mai essere negativo. Pertanto il testo del problema contiene un'incoerenza geometrica.»

1. a) Individua e spiega in modo motivato i due errori concettuali commessi da Laura: uno relativo all'interpretazione del segno del prodotto misto e al suo legame con l'orientamento della base, e l'altro relativo al rapporto metrico diretto tra il prodotto misto e il volume del tetraedro.
2. b) Correggi il procedimento e calcola il volume reale e corretto di tale tetraedro.

Considera i vettori $\vec{u} = (4, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 5, 0)$ e $\vec{w} = (18, -25, 3)$, che definiscono i tre spigoli concorrenti di un parallelepipedo.

1. a) Stima: Senza impostare determinanti né eseguire calcoli algebrici preliminari, osserva la base del parallelepipedo appoggiata sul piano $xy$ (formata da $\vec{u}$ e $\vec{v}$) e la quota verticale indicata dalla terza componente di $\vec{w}$. Deduci quale deve essere il volume del solido ragionando a partire dal principio di Cavalieri e dalla formula di base $V = \text{area di base} \cdot \text{altezza}$. Le componenti $18$ e $-25$ influiscono sull'altezza del parallelepipedo rispetto a tale base?
2. b) Verifica: Calcola formalmente il volume mediante il valore assoluto del prodotto misto $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Confronta il risultato con la tua stima e giustifica perché l'inclinazione dello spigolo $\vec{w}$ non altera la capacità interna del solido.

Si vuole installare un cavo in fibra ottica che colleghi il punto $A(1, 4, -2)$ con il punto $B(3, -1, 0)$. Trova l'equazione della retta che passa per entrambi i punti in forma continua.

Data la retta $r$ espressa mediante le sue equazioni parametriche:

Verifica in modo motivato se i punti $A(3, -3, 3)$ e $B(1, 0, 5)$ appartengono a tale retta.

Esprimi in forma parametrica la retta $s$ definita come intersezione dei seguenti piani (equazioni implicite):

Ottieni un punto e un vettore direttore della retta $r$ la cui equazione continua è:

Uno studio di architettura progetta un lucernario a forma di tetraedro i cui vertici sono i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ e $D(0, 0, z)$. Calcola il valore della quota $z$ sapendo che il volume del lucernario è di $5$ unità cubiche e che il vertice $D$ si trova sul semiasse negativo delle $Z$.

Verifica se i punti $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ e $S(5, -2, 7)$ sono complanari utilizzando il prodotto misto. Nel caso non lo siano, calcola il volume del tetraedro che ha questi quattro punti come vertici.

Dati tre vettori linearmente indipendenti $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tali che il loro prodotto misto è $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcola, motivando e applicando le proprietà dei determinanti, il valore del prodotto misto dei vettori $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Si considera un hangar di stoccaggio a forma di parallelepipedo in cui tre spigoli concorrenti in un vertice sono i vettori $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ e $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcola il volume totale dell'hangar.
2. b) Se l'hangar viene suddiviso mediante un piano inclinato che passa per gli estremi dei tre vettori precedenti per creare un soppalco triangolare (tetraedro con l'origine), quale frazione del volume totale dell'hangar occuperebbe tale soppalco?

Si vuole progettare un contenitore a forma di tetraedro i cui tre vertici di base sono fissi: $A(1, 1, 0)$, $B(3, 1, 0)$ e $C(1, 4, 0)$. Il vertice superiore $D(x, y, z)$ deve essere scelto nello spazio rispettando due condizioni tecniche:

1. Il volume del tetraedro deve essere esattamente $4\text{ u}^3$.

2. Il vertice $D$ deve appartenere alla retta direttrice $r$ data dalle equazioni parametriche:

1. a) Esprimi il prodotto misto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ in funzione del parametro $t$ e descrivi geometricamente quale luogo geometrico formerebbero tutti i punti $D$ dello spazio che forniscono tale volume se non avessero la restrizione di appartenere alla retta $r$.
2. b) Trova le coordinate esatte di tutti i possibili punti $D$ sulla retta $r$ che soddisfano il volume richiesto.

In una stazione sciistica sulle Alpi, i tecnici del servizio meteorologico installano una copertura tesa di tela per proteggere la strumentazione dalle bufere. La struttura ha la forma di un tetraedro irregolare i cui quattro vertici si trovano nell'ancoraggio a terra $O(0, 0, 0)$ e nelle estremità di tre pali in $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ e $C(1, 1, 3)$ (misure in metri).

1. a) Modella la struttura mediante vettori e calcola la capacità d'aria utile (volume interno) protetta sotto la tenda utilizzando il prodotto misto.
2. b) Per evitare che la neve accumulata blocchi i sensori, i tecnici decidono di sostituire il palo $C$ con un altro verticale $C'(1, 1, z_0)$ allineato sulla stessa verticale, con l'obiettivo di aumentare il volume protetto esattamente del $50\,\%$ rispetto al progetto iniziale. Determina la quota $z_0$ necessaria e interpreta fisicamente se esiste una soluzione valida che collochi l'ancoraggio $C'$ a un'altezza inferiore rispetto a quella originale ($z_0 < 3$).

La traiettoria di un raggio laser in una sala spettacoli è data dall'intersezione dei piani $\pi_1: x + y - z = 3$ e $\pi_2: 2x - y + z = 0$.

1. a) Esprimi l'equazione della traiettoria del laser in forma continua.
2. b) Un sensore di sicurezza è situato nel punto $S(1, 2, 0)$. Determina se il raggio laser passerà esattamente per la posizione del sensore.

Nella progettazione di una struttura architettonica, una trave metallica segue la direzione della retta $r$ che passa per il punto $A(1, 0, -1)$ ed è parallela alla retta $s: \begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$.

Ottieni l'equazione della retta $r$ in forma implicita (come intersezione di due piani) e calcola un punto di essa la cui coordinata $z$ sia uguale a $5$.

Data la retta $r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$, si chiede di:

1. a) Trovare l'equazione di una retta $s$ che passi per l'origine degli assi e sia parallela a $r$.
2. b) Determinare la distanza del punto $Q(1, 1, 1)$ dalla retta $s$ utilizzando un punto generico di essa.

Si considera un triangolo nello spazio i cui vertici sono $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 0, 1)$.

1. a) Trova l'equazione della retta che contiene la mediana uscente dal vertice $A$.
2. b) Ottieni un punto $D$ su tale retta tale che il vettore $\vec{AD}$ abbia modulo $\sqrt{6}$.

Si considera il tetraedro di vertici $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ e $D(1, 1, k)$.

1. a) Determina i valori del parametro reale $k$ per i quali il volume del tetraedro è di $2$ unità cubiche.
2. b) Per $k = 2$, trova l'altezza del tetraedro che parte dal vertice $D$ sulla faccia formata dai vertici $A$, $B$ e $C$.

Un gruppo di ingegneri sta progettando un pezzo di supporto per un satellite a forma di parallelepipedo. La base è definita dai vettori $\vec{u} = (2, -1, 0)$ e $\vec{v} = (1, 2, 1)$. Il terzo vettore che definisce il pezzo è $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.

1. a) Se si sa che la proiezione del vettore $\vec{w}$ sul prodotto vettoriale $\vec{u} \times \vec{v}$ ha una lunghezza di $3$ unità, determina il valore di $k$.
2. b) Stabilisci se esiste un valore di $k$ che renda il pezzo piatto (volume nullo).

Dimostra vettorialmente, utilizzando le proprietà del prodotto misto, che per tre vettori qualsiasi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$ vale:

Interpreta geometricamente il risultato confrontando il volume di un parallelepipedo originale con quello formato dalle somme dei suoi vettori direttori.

Si hanno quattro punti nello spazio: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ e $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determina la relazione che devono soddisfare $a$ e $k$ affinché i quattro punti siano complanari.
2. b) Se fissiamo $k = 2$, quanto deve valere $a$ affinché il volume del tetraedro $PQRS$ sia minimo? Giustifica la risposta basandoti sulla dipendenza lineare dei vettori.

In una struttura architettonica moderna, una colonna segue la direzione della perpendicolare comune alle rette $r$ e $s$. La retta $r$ passa per l'origine e ha direzione $\vec{d_r} = (1, 0, 1)$. La retta $s$ passa per $P(0, 1, 0)$ e ha direzione $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcola il volume del parallelepipedo definito dai vettori direttori $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ e da un terzo vettore $\vec{v}$ che unisca un punto qualsiasi di $r$ con un punto qualsiasi di $s$. Questo volume dipende dai punti scelti sulle rette?

Sia $\vec{u}$ un vettore unitario e $\vec{v}, \vec{w}$ due vettori tali che l'area del parallelogramma da essi formato sia uguale a $10$. Se si sa che il prodotto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, calcola l'angolo che il vettore $\vec{u}$ forma con il piano che contiene i vettori $\vec{v}$ e $\vec{w}$.

Siano $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tre vettori linearmente indipendenti dello spazio tali che il loro prodotto misto è $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$. Si costruiscono tre nuovi vettori mediante combinazioni lineari: $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$ e $\vec{c} = 3\vec{v} - 2\vec{w}$. Per calcolare il prodotto misto $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, due studenti propongono strade diverse:

• Strategia 1 (Base fittizia): Assegnare componenti numeriche comode ai vettori originali come se formassero una terna ortogonale canonica modificata, ad esempio $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ e $\vec{w} = (0, 0, 5)$, calcolare le coordinate risultanti di $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ e valutare il loro determinante $3 \times 3$.

• Strategia 2 (Algebra dei determinanti): Esprimere la matrice di passaggio $M$ tale che $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \cdot M$ e utilizzare le proprietà operative del determinante di un prodotto di matrici: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det(M) \cdot [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.

1. a) Analizza con rigore la validità matematica della Strategia 1: perché funziona numericamente nel calcolo del prodotto misto nonostante si assuma senza giustificazione che i vettori siano perpendicolari? Che cosa accadrebbe se si usasse la stessa base fittizia per calcolare il modulo di $\vec{a}$ o l'angolo tra $\vec{a}$ e $\vec{b}$?
2. b) Applica la Strategia 2 per determinare il valore esatto di $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ ricavando in dettaglio il determinante della matrice dei coefficienti.
3. c) Giustifica quale delle due strategie dimostra una competenza matematica formale al quinto anno di liceo.

Nel progetto di stabilizzazione di una scarpata per il tracciato di una linea ferroviaria in Liguria, si pianifica un sistema di tre tiranti di ancoraggio in acciaio che partono da uno stesso punto di fondazione $O(0, 0, 0)$ sul pendio e si fissano nei punti $A(2, 0, 1)$, $B(1, 3, 2)$ e in un terzo punto $C$ (coordinate in metri).

Le specifiche geotecniche richiedono il rispetto di tre condizioni:

1. Il punto $C$ deve appoggiarsi sulla trave di coronamento del muro, la cui direttrice è la retta $r: \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

2. I tre tiranti non possono essere complanari, poiché un volume nullo implicherebbe la perdita di stabilità tridimensionale rispetto alle spinte laterali.

3. Il tetraedro virtuale delimitato dai tiranti $OABC$ deve avere un volume esattamente di $3\text{ m}^3$ per lasciare spazio sufficiente alle canalizzazioni di drenaggio.

1. a) Modella la condizione di complanarità mediante il prodotto misto in funzione del parametro della retta $r$ e determina se esiste un punto critico su tale retta in cui la struttura collasserebbe per complanarità.
2. b) Trova le coordinate di tutti i possibili punti di fissaggio $C$ situati sulla retta $r$ che soddisfano il volume di drenaggio richiesto di $3\text{ m}^3$.
3. c) Se la normativa tecnica impone che la quota di ancoraggio di tale tirante debba trovarsi obbligatoriamente a un'altezza $z \ge 3\text{ m}$ sopra il piano base per evitare allagamenti, stabilisci quale delle soluzioni trovate è l'unica praticabile.

Sfida del tema. Ottimizzazione solare del tuo tetto.

Immagina di dover installare un pannello solare sul tuo edificio. Progetta una proposta tecnica seguendo queste fasi:

1. Raccolta dei dati: Entra in Google Earth o nel portale del Catasto e ottieni le coordinate $(x, y, z)$ in metri di tre vertici del tuo tetto ($A$, $B$ e $C$). Definisci i vettori direttori $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$.

2. Vettore normale e base: In GeoGebra 3D, calcola il vettore normale $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ per determinare l'orientamento e l'area della superficie. Consulta il sito dell'Aeronautica Militare per l'inclinazione solare nella tua località per definire un versore (vettore unitario) dei raggi solari $\vec{s}$, e giustifica analiticamente se $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}\}$ formano una base di $\mathbb{R}^3$.

3. Analisi metrica: Calcola l'angolo di incidenza solare mediante il prodotto scalare tra $\vec{n}$ e $\vec{s}$. Usa il prodotto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}]$ per calcolare il volume del prisma di radiazione intercettato.

4. Relazione finale: Elabora una breve relazione con le schermate del modello in GeoGebra, i calcoli algebrici sviluppati passo dopo passo e la tua valutazione su se l'orientamento attuale sfrutta bene la luce.

Sarà valutato:

• Rigore nell'ottenimento di dati reali e nella loro modellizzazione vettoriale tridimensionale.

• Applicazione corretta e giustificata di indipendenza lineare, basi, prodotto scalare, vettoriale e misto.

• Interpretazione geometrica coerente dei risultati nel contesto proposto.