Esercizi: Equazione di un piano nello spazio

Un ingegnere sta progettando la base di un pezzo con un programma CAD. La base deve essere un piano che passi per il punto $P(2, -1, 3)$ e il cui vettore normale sia $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcola l'equazione generale del piano che definisce tale base.

La superficie di un pannello solare su un satellite si può rappresentare mediante le seguenti equazioni parametriche:

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Ottieni l'equazione generale o implicita di tale piano.

In uno scenario di realtà virtuale, tre sensori sono situati nei punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$. Determina l'equazione generale del piano che contiene questi tre sensori.

Data l'equazione del piano che rappresenta una delle pareti di una stanza, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica in modo motivato se i seguenti punti appartengono a tale parete:

1. a) $Q(3, 0, 0)$
2. b) $R(1, 1, 1)$

Trova l'equazione del piano che passa per il punto $A(5, -2, 4)$ ed è parallelo al piano di equazione $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Ricorda che due piani paralleli hanno lo stesso vettore normale.

Un architetto utilizza l'«equazione segmentaria» per definire un tetto inclinato che taglia gli assi coordinati nei punti $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ e $(0, 0, 2)$. Scrivi direttamente la sua equazione e trasformala nella forma generale $Ax + By + Cz + D = 0$.

Si vuole installare un faro la cui traiettoria sia perpendicolare a una lastra metallica. Se la traiettoria del raggio di luce è data dalla retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, trova l'equazione del piano che contiene la lastra metallica sapendo che passa per il punto $M(0, 4, -2)$.

Determina l'equazione del piano che contiene la retta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ e che passa inoltre per il punto esterno $P(1, 1, 1)$.

Un architetto sta progettando una copertura piana per un piccolo padiglione. La copertura deve poggiare su tre pilastri le cui estremità superiori si trovano nei punti $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ e $C(1, 1, 5)$, dove le unità sono in metri.

1. a) Ottieni l'equazione generale o implicita del piano che contiene la copertura.
2. b) Calcola i punti di intersezione di tale piano con gli assi coordinati per determinare dove si troverebbero gli ancoraggi se la copertura si estendesse fino a toccare i muri principali (gli assi).

Determina l'equazione del piano $\pi$ che contiene la retta $r$ data da:

ed è parallelo alla retta $s$, che passa per i punti $P(0, 2, 1)$ e $Q(1, 2, 4)$. Giustifica perché il vettore direttore di $s$ non può essere proporzionale a quello di $r$ affinché il piano sia univocamente determinato.

Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta di intersezione dei piani $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Trova il piano appartenente a tale fascio che passa per il punto medio del segmento di estremi $A(1, 2, -1)$ e $B(3, 0, 5)$.

Un piano $\pi$ taglia gli assi coordinati nei punti $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ e $Z(0, 0, c)$. Si sa che il piano passa per il punto $P(1, 2, 2)$ e che le distanze dall'origine dei punti di intersezione sono uguali ($a = b = c$).

1. a) Scrivi l'equazione generale del piano.
2. b) Calcola il volume del tetraedro formato dall'origine degli assi e dai tre punti di intersezione con gli assi.

Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché i punti $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ e $D(k, k, 2)$ siano complanari. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione del piano che li contiene in forma parametrica.

In una missione di soccorso, un drone si muove lungo una traiettoria rettilinea data dalla retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Il drone deve emettere un segnale di radiofrequenza che è efficace solo se colpisce perpendicolarmente uno schermo piano di sicurezza.

1. a) Determina l'equazione del piano che rappresenta tale schermo, sapendo che deve passare per il punto $P(2, 2, 2)$ ed essere perpendicolare alla traiettoria del drone.
2. b) Calcola il punto esatto in cui la traiettoria del drone colpirebbe lo schermo.

Dati i piani $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:

1. a) Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché i piani siano coincidenti.
2. b) Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché i piani siano paralleli ma non coincidenti.
3. c) Quale relazione deve esistere tra $a$ e $b$ affinché l'origine degli assi appartenga all'intersezione dei due piani?

Trova l'equazione del piano che contiene le seguenti rette, verificando prima che si incontrano in un punto:

Se un terzo raggio laser segue la direzione del vettore normale a questo piano ed esce dal punto di intersezione di $r$ e $s$, quale sarebbe la sua equazione vettoriale?

Un architetto sta progettando la copertura di un palazzetto dello sport. La struttura principale è definita da due travi metalliche che si trovano sulle rette:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Determina l'equazione generale del piano $\pi$ parallelo a entrambe le travi e che si trova a una distanza di $\sqrt{14}$ unità dall'origine degli assi. Esiste un'unica soluzione? Motiva la risposta.

Si considera il fascio di piani il cui asse è la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcola l'equazione del piano $\pi$ appartenente a tale fascio che soddisfa contemporaneamente le due condizioni seguenti:

1. È perpendicolare al piano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. Il punto $P(0, a, 1)$ appartiene al piano $\pi$ per qualche valore reale di $a$.

Determina il valore di $a$ e l'equazione generale di $\pi$.

Un raggio laser parte dal punto $A(1, 2, -2)$ e segue la direzione del vettore $\vec{u} = (1, -1, 1)$ fino a colpire uno specchio piano che contiene la retta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ e il punto $B(0, 0, 4)$.

1. a) Calcola l'equazione del piano $\pi$ in cui si trova lo specchio.
2. b) Trova le coordinate del punto di impatto $P$ del laser sullo specchio.

Trova l'equazione del piano $\pi$ che contiene la retta intersezione dei piani $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ e $\beta: x + 2y - z = 0$, e che taglia i semiassi coordinati positivi $OX$, $OY$ e $OZ$ nei punti $P$, $Q$ e $R$ in modo che il volume del tetraedro formato dall'origine e da questi punti sia minimo.

Consideriamo le rette incidenti $r$ e $s$ che definiscono un piano $\alpha$. La retta $r$ passa per $P(1, 0, 1)$ con direzione $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ e la retta $s$ passa per $Q(1, 0, 1)$ con direzione $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcola l'equazione di un piano $\pi$ parallelo a $\alpha$ e tale che la sfera di centro $C(3, 2, 1)$ e raggio $R=2$ sia tangente a tale piano $\pi$. Ottieni le due possibili soluzioni.

Dati i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, k, 0)$, studia la posizione reciproca dei piani $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ al variare del parametro reale $k$, sapendo che:

• $\pi_1$ è il piano che passa per $A$, $B$ e l'origine.

• $\pi_2$ è il piano che contiene $C$ ed è perpendicolare alla retta che unisce $A$ e $B$.

• $\pi_3$ è il piano di equazione $x + y + z = k + 2$.

Un drone si muove in modo rettilineo seguendo la traiettoria della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Si vuole installare uno schermo di protezione piano $\pi$ che contenga la retta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.

Trova l'equazione del piano $\pi$ in modo che sia parallelo alla traiettoria del drone. Calcola la distanza minima a cui passerà il drone da tale schermo.

Sia $P(1, 2, -1)$ un punto dello spazio e $r$ la retta intersezione dei piani $x - y = 0$ e $z = 2$.

1. a) Trova l'equazione del piano $\pi_1$ che contiene $r$ e passa per $P$.
2. b) Trova l'equazione del piano $\pi_2$ che contiene $r$ ed è perpendicolare a $\pi_1$.
3. c) Calcola l'angolo che il piano $\pi_2$ forma con il piano coordinato $XY$.