Esercizi: Vettori e spazi vettoriali

Carlo deve calcolare le coordinate del punto medio $M$ del segmento i cui estremi sono $A(1,\; -2,\; 4)$ e $B(5,\; 2,\; -2)$. Per risolverlo, scrive nel suo compito:

Quindi conclude che il punto medio è $M(2,\; 2,\; -3)$.

1. a) Spiega in dettaglio qual è l'errore concettuale di Carlo. Che cosa rappresenta geometricamente il vettore $\frac{1}{2}\vec{AB}$ e perché le sue componenti non coincidono con le coordinate del punto medio rispetto all'origine del sistema di riferimento?
2. b) Mostra come Carlo avrebbe potuto arrivare al punto medio corretto utilizzando il suo vettore $\frac{1}{2}\vec{AB}$ sommandolo al vettore posizione opportuno.
3. c) Correggi il calcolo applicando la formula diretta del punto medio $M = \frac{A+B}{2}$ e verifica che entrambi i percorsi portano allo stesso risultato.

Si considera il vettore dello spazio $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Senza calcolare radici quadrate, giustifica perché il modulo di qualsiasi vettore non nullo $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ è sempre maggiore o uguale al valore assoluto di una qualsiasi delle sue componenti ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, con disuguaglianza stretta se ha almeno due componenti non nulle) e minore o uguale alla somma dei valori assoluti di tutte esse ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utilizza il ragionamento precedente per limitare il valore di $|\vec{v}|$ tra due numeri interi, stimando un intervallo in cui deve necessariamente trovarsi la sua lunghezza.
3. c) Calcola il modulo esatto di $\vec{v}$ applicando la formula tridimensionale e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Un drone per le consegne si muove nello spazio tridimensionale seguendo traiettorie definite da vettori. I suoi propulsori di base gli consentono di eseguire tre movimenti fondamentali definiti dai vettori $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ e $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Se il drone deve effettuare un trasporto urgente dal centro di controllo a un cliente seguendo il vettore spostamento risultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcola i coefficienti $a, b$ e $c$ tali che il movimento si possa esprimere come combinazione lineare dei propulsori: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Nella progettazione di un videogioco, l'illuminazione di una sala dipende da tre fari le cui direzioni del fascio sono definite dai vettori $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ e $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determina, motivando, i valori del parametro reale $k$ per i quali i tre fasci di luce sono linearmente dipendenti (giacciono su uno stesso piano). Che cosa accade alla base dello spazio se $k$ assume uno di quei valori?

Considera i vettori dello spazio $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Dimostra che l'insieme $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma una base di $\mathbb{R}^3$.
2. b) Trova le coordinate del vettore canonico $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ rispetto alla base $B$.

Un sistema di sicurezza laser utilizza tre sensori situati nei punti $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ e $C(k, -2, -1)$. Affinché il sistema funzioni correttamente, i tre sensori devono essere perfettamente allineati.

1. a) Calcola il valore di $k$ affinché i sensori $A, B$ e $C$ siano allineati.
2. b) Utilizzando il valore di $k$ trovato, determina le coordinate del punto medio del segmento $AC$.

Si stanno installando pannelli solari su una struttura metallica. I punti di ancoraggio di un pannello sono $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ e $S(1, 3, a)$. Affinché il pannello non subisca tensioni meccaniche, i quattro punti devono essere complanari (appartenere allo stesso piano).

1. a) Determina il valore di $a$ affinché i punti $P, Q, R$ e $S$ siano complanari.
2. b) Per il valore di $a$ ottenuto, i vettori $\vec{PQ}$ e $\vec{PR}$ sono linearmente indipendenti? Giustifica la risposta.

Dati i punti $A(2, -1, 4)$ e $B(8, 5, -2)$, trova le coordinate dei punti $C$ e $D$ che dividono il segmento $AB$ in tre parti uguali. Spiega la relazione vettoriale che hai utilizzato per risolverlo.

Studia il rango della seguente famiglia di vettori al variare del parametro $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina per quali valori di $m$ il sistema di vettori è linearmente dipendente e, in tal caso, indica se i vettori sono proporzionali o complanari.

In un software di simulazione fisica si definisce un sistema di riferimento locale mediante i vettori $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ e un terzo vettore $\vec{c}$ in modo che l'insieme sia linearmente indipendente.

Se il vettore $\vec{c}$ ha la forma $(0, 1, \lambda)$, determina l'intervallo di valori di $\lambda$ per i quali $\vec{c}$ non può essere espresso come combinazione lineare di $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Stabilisci, motivando, se ciò significa che l'insieme $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formerebbe una base di $\mathbb{R}^3$.

Un drone di sorveglianza decolla da una piattaforma situata nel punto $A(1, -2, 5)$ e si sposta in linea retta fino a raggiungere un obiettivo nel punto $B(4, 3, -1)$. Calcola le componenti del vettore spostamento $\vec{AB}$ e ricava il suo modulo per conoscere la distanza percorsa dal drone.

Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, esegui le seguenti operazioni analitiche:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcola il valore dello scalare $k$ sapendo che $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

Nella progettazione di una struttura metallica, due travi si uniscono nei loro estremi rappresentati dai punti $P(2, 5, -3)$ e $Q(8, -1, 7)$. Per rinforzare la struttura, si deve collocare un sostegno esattamente nel punto medio del segmento $PQ$. Trova le coordinate di tale punto medio $M$.

Determina se i vettori $\vec{a} = (1, -2, 4)$ e $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ sono linearmente dipendenti. Giustifica la risposta verificando se le loro coordinate sono proporzionali e spiega quale relazione geometrica esiste tra essi (sono paralleli?).

Esprimi il vettore $\vec{w} = (7, 11, 2)$ come combinazione lineare dei vettori della base canonica di $\mathbb{R}^3$, cioè in funzione di $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Tre stazioni radio si trovano nei punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ e $C(5, 3, -1)$. Verifica se le tre stazioni sono allineate (appartengono alla stessa retta) studiando la proporzionalità dei vettori $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$.

Calcola il valore del parametro $m$ affinché il vettore $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sia combinazione lineare dei vettori $\vec{v} = (1, 0, 2)$ e $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante l'espressione $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Considera un parallelogramma in cui tre vertici consecutivi sono $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ e $C(5, 5, 3)$. Utilizzando l'uguaglianza tra vettori (ad esempio, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcola le coordinate del quarto vertice $D$.

Sono noti i punti dello spazio $A(1,\; -1,\; 2)$ e $B(3,\; 1,\; 0)$. Si vuole determinare la posizione di un terzo punto $P(x,\; y,\; z)$ che soddisfa simultaneamente tre condizioni:

1. I punti $A$, $B$ e $P$ sono allineati su una stessa retta.

2. La distanza tra $A$ e $P$ è esattamente il triplo della distanza tra $A$ e $B$ (cioè $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. La terza coordinata di $P$ è strettamente negativa ($z < 0$).

1. a) Ricava le componenti del vettore $\vec{AB}$ e calcola il suo modulo esatto.
2. b) Imposta la relazione vettoriale tra $\vec{AP}$ e $\vec{AB}$, deducendo i due possibili vettori spostamento $\vec{AP}$ che soddisfano la condizione sulla distanza.
3. c) Determina, motivando, le coordinate del punto $P$ scartando la soluzione che non soddisfa la restrizione sulla coordinata $z$.

L'Aeronautica Militare (Servizio Meteorologico) segue un pallone sonda meteorologico lanciato nei pressi di Roma. Si fissa un sistema di riferimento cartesiano con origine $O(0,\; 0,\; 0)$ nella stazione di lancio, dove l'asse $X$ punta verso est, l'asse $Y$ verso nord (entrambi con distanze in chilometri) e l'asse $Z$ misura la quota (in centinaia di metri, in modo che $z = 10$ rappresenti $1000\text{ m}$ di quota).

In una prima fase di salita, il pallone raggiunge la posizione $A(0,\; 0,\; 12)$. In seguito, una corrente di vento costante lo sposta secondo il vettore spostamento $\vec{u} = (4,\; 3,\; 8)$ fino a una posizione $B$.

1. a) Determina le coordinate della posizione $B$ e indica a quale quota in metri si trova il pallone in quel punto.
2. b) Una squadra di monitoraggio vuole collocare un punto di osservazione $M$ esattamente a metà del tragitto tra il punto di lancio $O$ e la posizione $B$. Trova le coordinate di $M$ e calcola la distanza diretta in linea retta dall'origine $O$ a $M$ esprimendo il risultato in chilometri (tieni conto della conversione di unità: $1\text{ unità di } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) Dalla posizione $B$, una raffica spinge il pallone secondo il vettore $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$, portandolo in un nuovo punto $C$. Dimostra vettorialmente che i punti $A$, $B$ e $C$ sono allineati.

Dati i vettori dello spazio $\mathbb{V}^3$ definiti da $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, k)$, si chiede di:

• a) Determinare, motivando, per quali valori del parametro reale $k$ i vettori $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ non costituiscono una base di $\mathbb{R}^3$.

• b) Per i valori di $k$ trovati al punto precedente, studia la dipendenza o indipendenza lineare dei vettori presi a due a due.

• c) Nel caso in cui $k = 0$, esprimi il vettore $\vec{a} = (2, 3, 5)$ come combinazione lineare di $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$.

Considera una base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ di uno spazio vettoriale euclideo. Si definiscono tre nuovi vettori a partire dagli elementi della base come:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Dimostra che i vettori $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ sono linearmente dipendenti se e solo se il prodotto dei coefficienti $abc = -1$. Nel caso in cui $a=1, b=1, c=-1$, ricava la relazione di dipendenza lineare che esiste tra essi.

Un gruppo di ingegneri sta calibrando il sistema di navigazione di un satellite. Nello spazio di lavoro sono state definite due basi distinte: la base di controllo $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ e la base di manovra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sappiamo che:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un oggetto rilevato ha coordinate $(1, -2, 3)$ rispetto alla base di manovra $B'$. Calcola quali sono le sue coordinate rispetto alla base di controllo $B$. È possibile che un vettore abbia le stesse coordinate in entrambe le basi? Giustifica la risposta.

In un tetraedro di vertici $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(0,2,1)$ e $C(k,0,3)$, si chiede di determinare il valore di $k$ affinché il vettore che unisce l'origine $O$ con il baricentro $G$ della faccia opposta $ABC$ sia perpendicolare al piano che contiene tale faccia. Nota: il baricentro di un triangolo è la media aritmetica dei suoi vertici.

Siano i vettori $\vec{u} = (1, -1, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Trova tutti i vettori $\vec{w}$ che soddisfano simultaneamente le seguenti tre condizioni:

1. $\vec{w}$ è combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

2. Il modulo di $\vec{w}$ è uguale a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma un angolo di $60^\circ$ con il vettore $\vec{u}$.

Studia la dipendenza lineare dei punti $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ e $D(m, m, m)$.

• a) Determina per quali valori di $m$ i quattro punti sono complanari.

• b) Esiste qualche valore di $m$ per il quale il vettore $\vec{AB}$ sia ortogonale al vettore $\vec{CD}$?

• c) Spiega geometricamente che cosa accade ai punti quando $m=1$.

Si considera l'insieme di vettori $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ che formano una base ortonormale. Si costruisce un nuovo sistema di vettori $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mediante le relazioni:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Dimostra che $S'$ è una base ortogonale ma non ortonormale.

• b) Trova il volume del parallelepipedo definito dai vettori di $S'$.

• c) Se un vettore $\vec{x}$ ha coordinate $(3, 1, 4)$ nella base $S$, calcola le sue coordinate nella base $S'$.

Due particelle si muovono nello spazio lungo traiettorie rettilinee. All'istante $t=0$, la prima particella si trova nel punto $P(1, 0, 0)$ e si muove con velocità costante data dal vettore $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. La seconda particella parte da $Q(0, 2, 1)$ con velocità $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determina il valore di $m$ affinché i vettori posizione delle due particelle in qualsiasi istante $t > 0$ e il vettore che unisce le loro posizioni iniziali $\vec{PQ}$ siano sempre complanari. Le particelle si scontreranno in qualche momento per quel valore di $m$?

Per determinare se tre punti dello spazio $A(1,\; 2,\; -1)$, $B(3,\; -2,\; 3)$ e $C(6,\; -8,\; 9)$ sono allineati su una stessa retta, si propongono due diverse strategie risolutive:

• Metodo 1 (metrico): calcolare le distanze euclidee $d(A, B)$, $d(B, C)$ e $d(A, C)$ mediante il modulo dei rispettivi vettori e verificare se la somma delle due distanze minori coincide esattamente con la maggiore.

• Metodo 2 (vettoriale): costruire i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ e analizzare se sono linearmente dipendenti verificando la proporzionalità delle loro componenti: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Applica il Metodo 2 per stabilire, motivando, se i punti $A$, $B$ e $C$ sono allineati oppure no.
2. b) Applica il Metodo 1 calcolando i moduli $|\vec{AB}|$ e $|\vec{AC}|$ e semplificando i radicali ottenuti, e verifica che si giunge alla stessa conclusione.
3. c) Confronta criticamente i due metodi e scrivi una giustificazione motivata su quale sia il più conveniente. Considera nella tua analisi due aspetti: il costo algebrico (presenza di radici quadrate rispetto a rapporti diretti) e la facilità di applicazione nel caso in cui la terza coordinata di $C$ contenesse un parametro letterale incognito $k$.

Si considerano i vettori dello spazio $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ e $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, nonché il vettore dipendente da un parametro reale $k$: $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni in due incognite ($a, b$) che traduce la condizione che $\vec{w}_k$ sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$, cioè $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Risolvi le equazioni indipendenti da $k$ per determinare gli unici coefficienti possibili $a$ e $b$. A partire da essi, deduci se esiste qualche valore del parametro $k$ per il quale $\vec{w}_k$ sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Supponi ora che sia definito il vettore $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Senza risolvere alcun sistema di equazioni, stabilisci se $\vec{t}$ è linearmente dipendente da $\vec{u}$ e descrivi la posizione reciproca delle rette che contengono i due vettori nello spazio.
4. d) Giustifica in modo formale e motivato perché nessuna coppia di scalari reali non nulli $\alpha, \beta \neq 0$ può soddisfare $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, collegando il tuo argomento all'indipendenza lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.