Esercizi: Prodotto scalare

Un gruppo di ingegneri sta progettando la struttura di un sostegno per un'antenna di telecomunicazioni. Hanno definito due cavi di sostegno rappresentati dai vettori $\vec{u} = (2, -3, 1)$ e $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcola il prodotto scalare dei due vettori per studiare l'angolo che formano nel nodo centrale.

Due droni di sorveglianza si trovano in posizioni fisse nello spazio. Il primo drone è nel punto $A(1, 2, -1)$ e il secondo nel punto $B(3, -2, 2)$. Se il centro di controllo è nell'origine delle coordinate $O(0, 0, 0)$, calcola il modulo del vettore posizione di ciascun drone, $|\vec{OA}|$ e $|\vec{OB}|$.

Determina il valore del parametro reale $k$ affinché i vettori $\vec{a} = (k, 4, -2)$ e $\vec{b} = (3, -2, 5)$ siano perpendicolari (ortogonali). Questo tipo di calcoli è fondamentale nella programmazione dei videogiochi per rilevare le collisioni tra superfici.

In un'attrazione di un parco divertimenti, due cavi tirano una cabina. Le direzioni dei cavi sono date dai vettori $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizzando la definizione di prodotto scalare, trova l'angolo $\alpha$ formato dai due cavi.

Un vettore vento ha componenti $\vec{w} = (3, -4, 12)$. In meteorologia è utile lavorare con direzioni normalizzate. Calcola il vettore unitario $\vec{u_w}$ con la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{w}$.

Dato il vettore $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcola la sua proiezione scalare sull'asse delle ascisse (asse $X$). Per farlo, utilizza il prodotto scalare di $\vec{a}$ con il versore di tale asse, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Rappresenta graficamente l'idea della proiezione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si considerano i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ e $C(1, 4, 1)$.

1. a) Trova i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
2. b) Calcola il loro prodotto scalare $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Giustifica se il triangolo $ABC$ ha un angolo retto nel vertice $A$.

In fisica, il lavoro compiuto da una forza costante si definisce come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Se una forza $\vec{F} = (5, 3, 2)$ newton sposta un oggetto dal punto $P(0, 0, 0)$ al punto $Q(2, 4, 1)$ metri, calcola il lavoro compiuto espresso in joule.

Elena deve calcolare la proiezione scalare del vettore $\vec{a} = (3, -1, 2)$ sul vettore $\vec{b} = (1, 2, -2)$ e dedurre se l'angolo da essi formato è acuto, retto od ottuso. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Calcoliamo la proiezione: $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Poiché una proiezione rappresenta una misura geometrica, non può essere negativa, quindi il risultato corretto è $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. Inoltre, essendo una quantità positiva, ciò dimostra che l'angolo formato da $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è acuto».

Individua motivando i tre errori concettuali commessi da Elena (nella formula usata, nell'interpretazione del segno della proiezione e nella conclusione sull'angolo), spiega perché sono errati e scrivi la risoluzione correttamente corretta.

Dati i vettori $\vec{u} = (4, 1, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 5, 2)$:

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico esatto:

• Osserva i segni e le grandezze delle componenti corrispondenti e stima in modo motivato se il prodotto scalare $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sarà positivo, negativo o molto vicino a zero. Da ciò prevedi se l'angolo $\alpha$ tra i due sarà acuto, ottuso o quasi retto.

• Sapendo che $\vec{u}$ ha quasi tutto il suo peso sull'asse $X$ e $\vec{v}$ sull'asse $Y$, stima se l'ombra o proiezione scalare di $\vec{u}$ su $\vec{v}$ sarà grande o piccola rispetto alla lunghezza di $\vec{v}$.

1. b) Calcola ora il prodotto scalare $\vec{u}\cdot\vec{v}$, i moduli $|\vec{u}|$ e $|\vec{v}|$, l'angolo esatto $\alpha$ (arrotondato al grado più vicino) e la proiezione scalare $\text{proy}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Confronta i risultati numerici ottenuti con le tue stime del punto a) e motiva se la tua intuizione geometrica iniziale era corretta.

Dati i vettori $\vec{u} = (m, 2, -1)$ e $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determina i valori del parametro reale $m$ affinché i due vettori siano ortogonali. Se esistono più valori, spiega se i vettori che si ottengono nei vari casi hanno lo stesso modulo.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori dello spazio tali che i loro moduli sono $|\vec{u}| = 4$ e $|\vec{v}| = 3$. Sapendo che l'angolo da essi formato è di $60^\circ$, calcola il valore del prodotto scalare dei vettori $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ e $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizzando le proprietà distributiva e commutativa.

Calcola la proiezione scalare e la proiezione vettoriale del vettore $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sul vettore $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calcola la proiezione scalare di $\vec{a}$ su $\vec{b}$.

1. b) Calcola la proiezione vettoriale di $\vec{a}$ su $\vec{b}$.

1. c) Interpreta graficamente se il vettore proiezione ha lo stesso verso di $\vec{b}$, basandoti sul segno del prodotto scalare $\vec{a}\cdot\vec{b}$ che hai ottenuto.

I vertici di un triangolo nello spazio sono $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ e $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcola l'angolo interno nel vertice $A$.

• b) Utilizza il prodotto scalare per stabilire se il triangolo è acutangolo, rettangolo od ottusangolo.

Un vettore $\vec{w}$ ha modulo 10 e i suoi primi due coseni direttori sono $\cos \alpha = 0,6$ e $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina il terzo coseno direttore, $\cos \gamma$.

• b) Trova le componenti del vettore $\vec{w}$.

In una struttura di ingegneria, una forza $\vec{F} = (4, -3, 2)$ newton agisce su un punto spostandolo dalla posizione $P(1, 1, 1)$ a $Q(5, 2, -3)$ (coordinate in metri). Calcola il lavoro compiuto dalla forza, ricordando che il lavoro è il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determina il valore di $k$ affinché l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, 1, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, k)$ sia esattamente $45^\circ$. Giustifica se il valore di $k$ ottenuto è unico o se esistono più orientamenti possibili per il vettore $\vec{v}$.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori unitari. Dimostra che il vettore somma $\vec{u} + \vec{v}$ e il vettore differenza $\vec{u} - \vec{v}$ sono sempre perpendicolari tra loro, indipendentemente dalle componenti di tali vettori. Usa questo risultato per spiegare la relazione geometrica tra le diagonali di un rombo.

Determina tutti i vettori $\vec{w} = (x, y, z)$ dello spazio che soddisfano contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. È ortogonale al vettore $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Forma un angolo di $45^\circ$ con il vettore $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. Il suo modulo è $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Una volta ottenuti i vettori, spiega con argomenti geometrici perché il problema ammette esattamente due soluzioni distinte (interpreta l'intersezione geometrica tra il piano di ortogonalità, il cono ad angolo costante e la sfera di raggio fissato).

In un impianto fotovoltaico situato in Puglia, i pannelli sono montati su una struttura fissa orientata secondo il vettore normale unitario $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ rispetto a un sistema di riferimento in cui il semiasse $X$ positivo punta a Est, il semiasse $Y$ positivo a Nord e il semiasse $Z$ positivo verso lo zenit (verticale verso l'alto). Alle 14:00 di un giorno di primavera, la radiazione solare incide nella direzione del vettore unitario $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ (orientato nel verso di avanzamento dei raggi verso il suolo).

1. a) Modellizza la direzione dei raggi solari rispetto al pannello: ottieni il vettore unitario che punta verso il Sole, $\vec{u}_{\text{sol}} = -\vec{s}$, e calcola mediante il prodotto scalare l'angolo di incidenza $\theta$ che i raggi formano con il vettore normale $\vec{n}$ del pannello.
2. b) La potenza istantanea generata dall'impianto si modellizza come $P = P_{\text{max}}\cdot \cos\theta$, dove $P_{\text{max}} = 20\text{ kW}$ corrisponde alla situazione ottimale in cui i raggi incidono perpendicolarmente al pannello. Calcola la potenza generata dall'impianto a quell'ora.
3. c) Partendo dalla formula del prodotto scalare, giustifica come dovrebbe essere riorientato il vettore normale del pannello a quell'ora per ottenere la potenza massima.

Un gruppo di ingegneri sta calibrando il sensore di orientamento di un drone per ispezioni industriali. Il sistema di riferimento è fissato alla base di decollo. Si sa che l'asse principale del drone deve seguire la direzione di un vettore $\vec{w}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il vettore $\vec{w}$ deve essere unitario.

2. $\vec{w}$ deve essere ortogonale al vettore $\vec{u} = (1, -2, 2)$, che rappresenta la direzione del vento dominante.

3. L'angolo che $\vec{w}$ forma con il vettore posizione dell'obiettivo, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, deve essere di $45^\circ$.

Determina le coordinate dei possibili vettori $\vec{w}$ che il software di navigazione del drone può utilizzare.

Si considera un tetraedro di vertici $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ e $C(0, 0, c)$ con $a, b, c > 0$. Sia $M$ il punto medio del segmento $BC$.

1. a) Utilizzando esclusivamente il prodotto scalare, dimostra che il vettore $\vec{AM}$ è perpendicolare al segmento $BC$ se e solo se i cateti della base sugli assi $Y$ e $Z$ hanno la stessa lunghezza ($b = c$).

1. b) Se fissiamo $a=4$, $b=2$ e $c=2$, calcola la proiezione ortogonale del vettore $\vec{OA}$ sulla direzione definita dal vettore $\vec{AB}$. Esprimi il risultato come vettore.

Nella progettazione di una struttura architettonica d'avanguardia, occorre collocare un cavo di tensione che unisca un punto fisso $P(1, 2, 3)$ con un punto variabile $Q$ situato su una trave metallica la cui traiettoria è data dalla retta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Si vuole che il cavo sia il più corto possibile. Utilizza il concetto di prodotto scalare e di proiezione per:

1. a) Determinare le coordinate del punto $Q$ che minimizza la lunghezza del cavo.
2. b) Verificare che, per tale punto, il vettore $\vec{PQ}$ è perpendicolare al vettore direzione della trave $r$.

Dati i vettori $\vec{u} = (m, 1, 1)$ e $\vec{v} = (1, m, 1)$, si chiede di:

1. a) Determinare i valori del parametro reale $m$ per i quali l'angolo formato da $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sia esattamente di $60^\circ$.

1. b) Per il valore di $m=0$, trova un vettore $\vec{w}$ di modulo $\sqrt{6}$ che sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$, e che sia inoltre ortogonale al vettore $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Dimostra, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, che per due vettori qualsiasi $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$ vale la seguente identità (nota come identità di polarizzazione):

Successivamente, utilizza questo risultato per calcolare il prodotto scalare di due vettori la cui somma e la cui differenza hanno moduli $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ e $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. Quale angolo formano tali vettori se sappiamo inoltre che i loro moduli sono uguali?

Un satellite artificiale si sposta seguendo una traiettoria rettilinea. In un dato istante, il suo vettore posizione è $\vec{r} = (2, 2, 1)$ e il suo vettore velocità è $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Un centro di controllo a Terra emette un segnale radio la cui direzione è data dal vettore $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la proiezione della velocità del satellite sulla direzione del segnale radio sia nulla. Interpreta fisicamente che cosa significa che tale proiezione sia zero in termini di avvicinamento o allontanamento del satellite rispetto alla sorgente del segnale.

Sia $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ una base di $\mathbb{R}^3$ non necessariamente ortonormale. Si conoscono i seguenti prodotti scalari tra i vettori della base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcola il modulo del vettore $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ e determina il coseno dell'angolo che questo vettore $\vec{u}$ forma con il vettore $\vec{e}_1$.

Considera i punti dello spazio $A(1, 0, -1)$ e $B(3, 2, 1)$. Sia $r$ la retta che passa per il punto $C(0, 4, 3)$ e ha come direzione il vettore $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Determina se esiste un punto $P$ appartenente alla retta $r$ tale che i vettori $\vec{AP}$ e $\vec{BP}$ siano ortogonali. Esiste un'unica soluzione? Giustifica la risposta analizzando l'equazione di secondo grado che ottieni.

Si considerano due vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dello spazio tali che $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ e l'angolo da essi formato è $\alpha = 120^\circ$. Si definisce il vettore combinazione lineare $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$. Si chiede di trovare il modulo di $\vec{w}$ e l'angolo $\beta$ che $\vec{w}$ forma con $\vec{u}$. Per risolvere il problema si propongono due strategie:

• Metodo 1 (analitico per coordinate): fissare un sistema cartesiano opportuno in cui $\vec{u} = (3, 0, 0)$ e $\vec{v} = (5\cos 120^\circ, 5\sin 120^\circ, 0) = (-2,5; 2,5\sqrt{3}; 0)$, calcolare le componenti di $\vec{w}$ e applicare le consuete formule in coordinate.

• Metodo 2 (algebrico intrinseco): sviluppare $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ usando soltanto le proprietà del prodotto scalare (commutativa, distributiva, estrazione degli scalari e $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$), e calcolare $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ sviluppando il numeratore senza introdurre assi.

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi fino a ottenere il valore esatto di $|\vec{w}|$ e di $\cos\beta$.
2. b) Confronta criticamente i due metodi: quale richiede meno passaggi di calcolo ed evita di trascinarsi radici inutili? Quale difficoltà aggiuntiva presenterebbe il Metodo 1 se avessi tre vettori nello spazio non complanari di cui conosci solo i moduli e gli angoli a due a due? Giustifica quale metodo è concettualmente più potente e generalizzabile in matematica.

In un capannone logistico di Bologna, una gru a ponte applica una forza $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ su un nodo strutturale. Un pilastro guida di ancoraggio segue la direzione del vettore $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Ogni vettore $\vec{F}$ si scompone in modo unico come $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$, dove $\vec{F}_\parallel$ è parallelo a $\vec{d}$ e $\vec{F}_\perp$ è ortogonale a $\vec{d}$. Deduci in modo ragionato, ponendo $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ e imponendo che $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$, la formula vettoriale $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$. Calcola le componenti esatte di $\vec{F}_\parallel$ e $\vec{F}_\perp$.
2. b) Verifica esplicitamente che $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ e che vale la relazione pitagorica $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$.
3. c) Si toglie la forza $\vec{F}$ e si applica un'altra forza incognita $\vec{G}$ di modulo $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$. Senza conoscere le componenti di $\vec{G}$, si sa che forma un angolo ottuso con il vettore $\vec{d}$ e che l'intensità della sua componente perpendicolare al cavo è $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$. Utilizzando le relazioni vettoriali dimostrate, calcola il valore numerico esatto della proiezione scalare $\text{proy}_{\vec{d}}\vec{G}$ e del prodotto scalare $\vec{G}\cdot\vec{d}$, giustificando con rigore il segno ottenuto.