Esercizi: Risoluzione dei triangoli rettangoli

Un triangolo rettangolo ha cateti che misurano $5$ cm e $12$ cm. Calcola la lunghezza dell'ipotenusa e la misura in gradi dei suoi due angoli acuti.

Una scala lunga $4$ m è appoggiata a un muro verticale. Se la base della scala si trova a $1,2$ m dalla parete, determina l'angolo che la scala forma con il suolo orizzontale e l'altezza raggiunta dalla sua estremità superiore sul muro.

Un obelisco proietta un'ombra lunga $15$ m sul suolo orizzontale nel momento in cui i raggi del sole formano un angolo di $42^\circ$ con l'orizzontale. Calcola l'altezza dell'obelisco.

Un bambino fa volare un aquilone trattenuto da un filo lungo $45$ m, completamente teso. Se il filo forma un angolo di $55^\circ$ con il suolo orizzontale, a che altezza si trova l'aquilone? (Supponi che il bambino tenga il filo a livello del suolo).

In uno schermo di computer di formato rettangolare, la diagonale misura $60$ cm e forma un angolo di $29^\circ$ con il lato inferiore della cornice. Calcola la larghezza e l'altezza dello schermo.

Una rampa rettilinea di accesso per sedie a rotelle è lunga $6$ m e supera un dislivello verticale di $0,45$ m. Determina l'angolo di inclinazione della rampa rispetto all'orizzontale.

Un triangolo isoscele ha due lati uguali che misurano $14$ cm ciascuno, e l'angolo diverso (quello compreso tra essi) misura $40^\circ$. Tracciando l'altezza relativa alla base per dividerlo in due triangoli rettangoli, calcola la lunghezza di tale base.

I punti $A(0,0)$, $B(8,0)$ e $C(8,6)$ formano un triangolo rettangolo nel piano cartesiano. Calcola le funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) dell'angolo con vertice in $A$.

Per calcolare la distanza tra la base di un faro costiero alto $24\text{ m}$ sul livello del mare e una barca all'ancora, Luca misura un angolo di depressione di $20^\circ$ dalla lanterna del faro. Sul quaderno scrive:

1. a) Senza usare la calcolatrice, spiega con un semplice ragionamento geometrico (confrontando mentalmente con la forma di un triangolo di $45^\circ$) perché un risultato di $8,74\text{ m}$ è evidentemente assurdo per un angolo di depressione di soli $20^\circ$.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Luca nel collocare l'angolo di depressione rispetto alla verticale anziché all'orizzontale.
3. c) Correggi l'impostazione e calcola la distanza orizzontale reale $x$ tra il faro e la barca.

Nella ristrutturazione di un poliambulatorio in Toscana, si progetta una rampa rettilinea di accesso per superare un dislivello verticale di $1,2\text{ m}$. Per limiti di spazio urbano sul marciapiede, lo sviluppo orizzontale massimo disponibile è esattamente $10\text{ m}$.

1. a) Prima di calcolare: stabilisci se l'angolo di inclinazione della rampa sarà maggiore o minore di $10^\circ$. Per argomentare, considera quale angolo di inclinazione corrisponderebbe a una pendenza del $100\,\%$ (cateti uguali) e come varia la funzione tangente per angoli acuti piccoli.
2. b) Calcola la misura esatta dell'angolo di inclinazione $\alpha$ della rampa con l'orizzontale e la lunghezza che un utente percorrerà su di essa in linea retta.
3. c) Il D.M. 236/1989 sull'accessibilità fissa per le rampe una pendenza massima dell'$8\,\%$, ma il capitolato di questo progetto, più restrittivo, impone di non superare una pendenza del $6\,\%$ (cioè $\tan(\alpha) \le 0,06$). Verifica se la rampa progettata rispetta il vincolo di progetto e indica se la tua stima iniziale del punto a) era coerente.

Da un punto a terra si osserva la navicella di un aerogeneratore con un angolo di elevazione di $32^\circ$. Avanzando di $25$ m in linea retta verso la base del palo, il nuovo angolo di elevazione è di $50^\circ$. Imposta un sistema di equazioni trigonometriche e calcola l'altezza dell'aerogeneratore.

Calcola l'area e il perimetro di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $12$ cm. (Ricorda di dividere il poligono in triangoli per usare la trigonometria).

Dalla lanterna di un faro, situata a $45$ m sul livello del mare, si osservano due barche che navigano allineate con la base del faro. L'angolo di depressione sotto cui si vede la barca più vicina è di $34^\circ$, e quello della barca più lontana è di $18^\circ$. Calcola la distanza esatta che separa le due barche.

Le diagonali di un rombo misurano $24$ cm e $10$ cm. Sapendo che le diagonali di un rombo si intersecano perpendicolarmente nel loro punto medio, calcola la misura dei lati del rombo e l'ampiezza dei suoi quattro angoli interni.

Un cartello stradale segnala una pendenza prolungata del $15\%$. Ciò indica che per ogni $100$ m percorsi nella proiezione orizzontale, si salgono $15$ m in verticale. Calcola l'angolo di inclinazione della strada e la distanza reale che un veicolo percorrerà sull'asfalto se avanza di $600$ m nella proiezione orizzontale.

Due ciminiere industriali verticali alte $20$ m e $35$ m sono costruite su un terreno pianeggiante. Dal punto medio del segmento rettilineo che unisce le loro basi, si osserva la sommità della prima ciminiera con un angolo di elevazione di $35^\circ$. Con quale angolo di elevazione si osserverà la sommità della seconda ciminiera dallo stesso punto medio?

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di raggio $8$ cm si tracciano le due rette tangenti alla circonferenza. Se la distanza dal punto $P$ al centro della circonferenza è di $17$ cm, calcola l'angolo totale formato tra loro dalle due rette tangenti.

Un pannello solare rettangolare lungo $2,5$ m è inclinato di $35^\circ$ rispetto all'orizzontale di una copertura piana. Calcola la lunghezza dell'ombra proiettata dal pannello sulla copertura quando i raggi del sole incidono in modo perfettamente perpendicolare al piano della copertura.

In un tratto del passo del Brennero, un cartello stradale segnala una pendenza pericolosa del «$12\,\%$», che indica un dislivello verticale di $12\text{ m}$ ogni $100\text{ m}$ di avanzamento in proiezione orizzontale. Il contachilometri di un veicolo indica che ha percorso $2,5\text{ km}$ lungo l'asfalto in salita continua in tale tratto.

1. a) Modella la situazione mediante un triangolo rettangolo, individuando con precisione a quale elemento geometrico (cateto o ipotenusa) corrisponde la distanza registrata dal veicolo, e determina l'angolo di inclinazione $\alpha$ della strada in gradi sessagesimali.
2. b) Calcola il dislivello guadagnato dal veicolo in metri e la distanza orizzontale reale percorsa.
3. c) Un conducente calcola a mente il dislivello moltiplicando direttamente la distanza sull'asfalto per la percentuale: $2500 \cdot 0,12 = 300\text{ m}$. Spiega matematicamente quale confusione concettuale tra funzioni trigonometriche ha commesso, calcola l'errore in metri della sua approssimazione e spiega perché per le pendenze abituali delle strade tale differenza è così piccola.

Risolvendo un problema di topografia per determinare l'altezza $h$ della torre civica di Cremona misurando angoli da due punti allineati con la sua base su terreno pianeggiante, uno studente ha annotato alla lavagna solo l'equazione finale a cui è arrivato dopo aver impostato un sistema ed eliminato l'incognita della distanza orizzontale:

1. a) Ricostruisci il testo completo del problema originale: descrivi la posizione relativa dei due punti di osservazione rispetto alla torre, specifica a quale distanza si trovano tra loro e chiarisci il significato topografico degli angoli $28^\circ$ e $44^\circ$.
2. b) Giustifica geometricamente perché nella parentesi compare una differenza di rapporti e non una somma: dove avrebbero dovuto trovarsi i due osservatori perché i termini si sommassero anziché sottrarsi?
3. c) Risolvi l'equazione e trova l'altezza $h$ della torre con due cifre decimali.

Sulla terrazza piana di un edificio è installata un'antenna per telecomunicazioni. Da un punto a terra, situato a $45$ m dalla base dell'edificio, un topografo osserva la base dell'antenna con un angolo di elevazione di $38^\circ$ e la punta superiore dell'antenna con un angolo di elevazione di $46^\circ$. Calcola l'altezza dell'edificio e la lunghezza esatta dell'antenna.

In un triangolo rettangolo, la lunghezza di un cateto è $x$ cm, quella dell'altro cateto è $(x+7)$ cm e l'ipotenusa misura $(x+14)$ cm. Imposta e risolvi l'equazione corrispondente per determinare il valore di $x$. Poi calcola il valore esatto (sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini) del seno e del coseno dell'angolo di minore ampiezza del triangolo.

Due osservatori, $A$ e $B$, si trovano a una distanza di $300$ m su una pianura orizzontale. Entrambi guardano un drone fermo che si trova esattamente nel piano verticale passante per la retta che li unisce, e situato tra loro. L'osservatore $A$ vede il drone con un angolo di elevazione di $60^\circ$ e l'osservatore $B$ lo vede con un angolo di $45^\circ$. Calcola l'altezza esatta a cui vola il drone, esprimendo il risultato con radicali.

Due circonferenze secanti hanno raggi di $10$ cm e $17$ cm. La lunghezza della corda comune alle due circonferenze è di $16$ cm e i centri si trovano da parti opposte rispetto a tale corda. Calcola la distanza tra i centri delle due circonferenze e determina l'angolo formato tra loro dalle rispettive rette tangenti in uno dei punti di intersezione.

Si vuole costruire una rampa rettilinea per superare un dislivello verticale di altezza $h$. Se l'angolo di inclinazione della rampa rispetto all'orizzontale è $\alpha$, dimostra, utilizzando le definizioni delle funzioni trigonometriche, che la somma della lunghezza della base della rampa (la sua proiezione orizzontale) e della lunghezza della rampa stessa è uguale a $h \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Una guardia costiera rileva che una nave $A$ naviga in linea retta verso Est a una velocità costante di $20$ nodi, e una nave $B$ naviga verso Nord a $15$ nodi. In un istante determinato ($t=0$), entrambe le navi si trovano esattamente nello stesso punto, dove si incrociano le loro traiettorie. Sotto quale angolo rispetto alla direzione Nord il capitano della nave $A$ osserverà la nave $B$ esattamente $2$ ore dopo l'incrocio?

In un triangolo isoscele la cui base misura $12$ cm e la cui altezza relativa a tale base è di $18$ cm, si inscrive un rettangolo in modo che uno dei suoi lati poggi sulla base del triangolo e gli altri due vertici tocchino i lati uguali. Se le diagonali di tale rettangolo si intersecano formando un angolo di $60^\circ$ (essendo questo l'angolo che sottende la base del rettangolo), imposta il sistema trigonometrico e geometrico necessario per calcolare le dimensioni esatte di tale rettangolo.

Un palo verticale proietta un'ombra su un terreno pianeggiante. In un momento della mattina, quando l'elevazione del sole è di $\alpha = 30^\circ$, l'ombra misura $L$ metri. Un paio d'ore più tardi, quando l'elevazione del sole è aumentata a $\beta = 45^\circ$, si verifica che l'ombra si è accorciata esattamente di $10$ metri. Imposta un sistema di equazioni e calcola l'altezza esatta del palo espressa con radicali.

Su una scogliera verticale a picco sul mare si erge una torre di avvistamento alta $18\text{ m}$. Da una motovedetta ferma in acqua si misurano gli angoli di elevazione fino alla base della torre ($\alpha = 24^\circ$) e fino alla sua sommità ($\beta = 31^\circ$). Si vuole calcolare l'altezza $H$ della scogliera sul livello del mare.

Due ufficiali propongono metodi trigonometrici diversi:

• Metodo 1 (angoli con l'orizzontale): Utilizzare la distanza orizzontale incognita $d$ dalla scogliera mediante $\tan(24^\circ) = \frac{H}{d}$ e $\tan(31^\circ) = \frac{H+18}{d}$, ricavando $d$ dalla prima e sostituendo nella seconda.

• Metodo 2 (angoli con la verticale / zenitali): Lavorare con gli angoli che le linee di vista formano rispetto alla verticale della scogliera ($\theta_1 = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$ e $\theta_2 = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ$), esprimendo $d = H \cdot \tan(66^\circ)$ e $d = (H+18) \cdot \tan(59^\circ)$, e uguagliando le due espressioni.

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi in modo completo fino a trovare $H$.
2. b) Analizza algebricamente i due percorsi: quale dei due richiede di ricavare un'incognita posta al denominatore e quale conduce a un'equazione lineare diretta in $H$ senza frazioni algebriche?
3. c) Se in un quaderno di campagna i valori delle tangenti vengono arrotondati a soli due decimali nei passaggi intermedi, dimostra numericamente quale dei due metodi propaga un errore maggiore nel risultato finale e giustifica quale sceglieresti per programmare il software di navigazione dell'imbarcazione.

Un gruppo tecnico progetta un campo solare fotovoltaico sulla copertura piana orizzontale di un centro logistico a Verona. Ogni fila di pannelli è lunga $2,4\text{ m}$ sul proprio piano inclinato e viene montata orientata a sud con un angolo di elevazione fisso di $36^\circ$ rispetto alla copertura.

1. a) Modella la sezione trasversale di una fila mediante un triangolo rettangolo e calcola l'altezza verticale $h$ del suo bordo superiore e la lunghezza della sua base orizzontale proiettata $b$.
2. b) Al solstizio d'inverno alle 12:00 (ora solare), i raggi del sole raggiungono a quella latitudine la loro inclinazione minima dell'anno, con un angolo di elevazione solare di soli $\gamma = 25^\circ$ sull'orizzonte. Modella il triangolo rettangolo che descrive l'ombra proiettata dalla fila e ricava la distanza orizzontale minima $D$ che deve esserci tra la parte posteriore di una fila e il piede della successiva per evitare qualsiasi ombreggiamento sui pannelli.
3. c) Se la copertura misura esattamente $45\text{ m}$ di profondità in direzione nord-sud, determina il numero massimo di file complete che si possono installare garantendo l'assenza totale di ombre al solstizio d'inverno e indica quanti metri di profondità della copertura restano inutilizzati alla fine.