Esercizi: Formule di duplicazione

Sapendo che $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\sin(2\alpha)$.

Dato che $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ e che $\alpha$ appartiene al secondo quadrante, determina il valore esatto di $\cos(2\alpha)$.

Se $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcola il valore di $\tan(2\alpha)$ esprimendo il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Semplifica la seguente espressione trigonometrica fino a un unico valore numerico esatto:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Calcola il valore esatto della seguente espressione senza usare la calcolatrice:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Scrivi la seguente espressione in funzione di un'unica funzione trigonometrica dell'angolo $x$, semplificando al massimo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Trova il valore esatto della seguente operazione usando le identità di duplicazione:

$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$

Sapendo che $\cos(x) = 0,6$, determina il valore di $\cos(2x)$ usando esclusivamente l'identità che mette in relazione il coseno dell'angolo doppio con il coseno dell'angolo semplice.

Marco deve calcolare il valore di $\sin(2\alpha)$ sapendo che $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ e che $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Nel compito scrive la seguente risoluzione:

«Trattandosi dell'angolo doppio, il valore del seno semplicemente raddoppia: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$. Tuttavia, poiché il seno di un qualsiasi angolo reale non può mai essere maggiore di $1$, questo esercizio non ha soluzione e l'angolo proposto è impossibile».

1. a) Individua i due errori commessi da Marco (uno concettuale sulla presunta linearità delle funzioni trigonometriche e uno nella sua conclusione finale).
2. b) Correggi l'esercizio calcolando il valore esatto di $\sin(2\alpha)$ mediante l'identità dell'angolo doppio e determina con un ragionamento in quale quadrante si trova $2\alpha$ studiando il segno di $\cos(2\alpha)$.

Si considera un angolo acuto $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ di cui si sa che $\cos\alpha = 0,8$.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo algebrico, stima con un ragionamento il segno di $\cos(2\alpha)$. Per farlo, confronta $\cos\alpha = 0,8$ con il valore di riferimento $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, deduci se $\alpha$ è maggiore o minore di $45^\circ$ e stabilisci in quale quadrante deve cadere l'angolo doppio $2\alpha$.
2. b) Scegli la variante della formula di $\cos(2\alpha)$ che dipende solo dal coseno per calcolarne il valore numerico esatto in forma decimale. Verifica se il segno ottenuto coincide con la tua stima precedente.

Nella costruzione di un capannone industriale sono state progettate due falde di copertura contigue. La prima falda ha un'inclinazione $\alpha$ rispetto all'orizzontale tale che $\tan(\alpha) = 0,4$. Per ragioni di drenaggio dell'acqua, la seconda falda è stata progettata con un angolo di inclinazione esattamente doppio rispetto a quello della prima, cioè $2\alpha$. Calcola la pendenza esatta (tangente) della seconda falda.

In fisica, la gittata massima $R$ di un proiettile lanciato su un terreno orizzontale è modellata dalla formula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, dove $v_0$ è la velocità iniziale, $\theta$ è l'angolo di lancio e $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ è l'accelerazione di gravità. Se un cannone di prova spara un proiettile con una velocità iniziale di $30 \text{ m/s}$ e si vuole colpire un bersaglio situato a una distanza di $45 \text{ m}$, trova i possibili angoli di lancio $\theta$ in gradi.

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, trovando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Un meccanismo a forbice per un sollevatore idraulico ha un perno centrale che forma un angolo di apertura $2\alpha$. La forza di taglio sul perno centrale è data da un'espressione proporzionale a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Dimostra che questa espressione si può semplificare in un'unica funzione trigonometrica dell'angolo $\alpha$.

Risolvi la seguente equazione trigonometrica e dai le soluzioni in gradi per l'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Un raggio di luce incide su un sistema di specchi in modo che il suo angolo di deviazione finale è $2\theta$. Se le misurazioni di laboratorio indicano che $\cos(2\theta) = 0,28$ e sappiamo che l'angolo di incidenza $\theta$ è acuto, determina il valore esatto di $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, trasformando il primo membro fino a ottenere il secondo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

Nel rombo $ABCD$ della figura, le diagonali misurano $AC = 16 \text{ cm}$ e $BD = 12 \text{ cm}$. Sia $\alpha$ la metà dell'angolo interno nel vertice $A$. Calcola il valore esatto di $\sin(2\alpha)$ e $\cos(2\alpha)$ per determinare il seno e il coseno dell'angolo intero $\widehat{A}$.

Per risolvere nell'intervallo $[0, 2\pi)$ l'equazione trigonometrica $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$, due compagni di classe propongono strategie diverse:

• Alba propone: «Divido entrambi i membri per $\cos(x)$ per ottenere $\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} - \sqrt{3} = 0$, sostituisco $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, semplifico il fattore $\cos(x)$ e ricavo direttamente $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$».

• Bruno propone: «Sostituisco prima $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ nell'equazione, raccolgo il fattore comune $\cos(x)$ senza dividere per nessuna incognita e pongo ciascun fattore uguale a zero».

1. a) Analizza criticamente il metodo di Alba: spiega quale errore algebrico commette dividendo per $\cos(x)$ e quali soluzioni concrete dell'intervallo $[0, 2\pi)$ si perdono applicando il suo procedimento.
2. b) Sviluppa in modo completo e rigoroso il metodo di Bruno e scrivi tutte le soluzioni esatte dell'equazione nell'intervallo $[0, 2\pi)$ espresse in radianti.

Nel Centro di Preparazione Olimpica di Formia, un gruppo di biomeccanica analizza la gittata orizzontale dei tiri in porta nel calcio. Secondo il modello fisico semplificato su terreno pianeggiante, la gittata orizzontale è data dall'espressione $d(\alpha) = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$, dove $v_0$ è la velocità iniziale del calcio, $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$ e $\alpha$ è l'angolo di elevazione rispetto all'orizzontale ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

In una prima prova con velocità $v_0$ fissa, un calciatore colpisce il pallone con un angolo $\alpha_1$ tale che $\tan(\alpha_1) = \frac{3}{4}$.

1. a) Calcola il valore esatto di $\sin(2\alpha_1)$ per determinare il coefficiente di gittata di questo primo tiro.
2. b) Se in un secondo lancio con identica velocità iniziale il giocatore raddoppia l'angolo di elevazione portandolo a $\alpha_2 = 2\alpha_1$, calcola il valore esatto di $\sin(2\alpha_2) = \sin(4\alpha_1)$ applicando in successione le formule di duplicazione.
3. c) Confronta le due gittate ($d(\alpha_1)$ rispetto a $d(\alpha_2)$) e spiega dal punto di vista fisico perché raddoppiare l'inclinazione iniziale del colpo non raddoppia la distanza raggiunta, ma produce l'effetto contrario.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, valida per qualsiasi angolo $x$ per cui le espressioni siano definite:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Un braccio robotico piano è formato da due segmenti, entrambi di lunghezza $L$. Il primo segmento forma un angolo $\alpha$ con il semiasse orizzontale positivo. Il secondo segmento forma un angolo $2\alpha$ rispetto all'orizzontale. La coordinata $x$ dell'effettore finale $P$ è data dall'espressione $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina il valore esatto dell'angolo $\alpha \in [0, \pi/2]$ per cui l'effettore finale si trova esattamente sull'asse y ($x_P = 0$).

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, determinando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

Trova i valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ per i quali l'equazione $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ ha esattamente una soluzione nell'intervallo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Dimostra prima l'identità $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. Poi usa questo risultato per risolvere l'equazione $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.

In una circonferenza di centro $O$ e raggio $R$, l'angolo al centro $\widehat{AOB}$ misura $2\alpha$ e sottende la corda $AB$. Un punto $P$ situato nel punto medio dell'arco maggiore sottende un angolo alla circonferenza $\widehat{APB}$ che misura $\alpha$. Sapendo che $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcola il rapporto (il quoziente) tra l'area del triangolo centrale $\triangle OAB$ e l'area del triangolo inscritto $\triangle PAB$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni trigonometriche in $x, y \in [0, \pi/2]$:

$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$

La funzione di ricavo di un'azienda per la vendita di un prodotto stagionale è data dall'espressione $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, dove $x$ è il tempo in mesi trascorso ($x \ge 0$). Esprimi $I(x)$ in funzione di $\sin(2x)$ e $\cos(2x)$, e determina il ricavo massimo che l'azienda può raggiungere.

Si vogliono progettare e ricostruire equazioni trigonometriche a partire dalle loro condizioni geometriche e dalle loro soluzioni.

1. a) Si sa che un certo angolo $\alpha$ appartenente al secondo quadrante $\left(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$ soddisfa $\cos(2\alpha) = -\frac{7}{25}$. Deduci in modo univoco i valori esatti di $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ e $\tan\alpha$, giustificando la scelta del segno in ogni passaggio a partire dal quadrante di appartenenza.
2. b) Costruisci un'equazione trigonometrica della forma $\cos(2x) + b\cos(x) + c = 0$ (con $b, c \in \mathbb{R}$) le cui uniche soluzioni nell'intervallo chiuso $[0, \pi]$ siano esattamente $x = \frac{\pi}{3}$ e $x = \pi$. Mostra passo dopo passo come determini i coefficienti $b$ e $c$ impostando preventivamente un'equazione di secondo grado nella variabile ausiliaria $u = \cos(x)$, e verifica che in tale intervallo non compaia alcuna soluzione spuria.

Si considera la funzione $f(x) = \sin(2x) - 2\sin(x)$ definita nell'intervallo $[0, 2\pi]$.

1. a) Applica la formula di duplicazione per esprimere $f(x)$ come prodotto della forma $2\sin(x)(\cos(x) - 1)$ e determina in modo esatto tutti i punti dell'intervallo $[0, 2\pi]$ in cui il grafico interseca l'asse orizzontale ($f(x) = 0$).
2. b) Esegui uno studio analitico del segno di ciascuno dei fattori nei vari quadranti e dimostra, senza ricorrere alle derivate né a grafici al computer, che $f(x) \le 0$ per ogni $x \in [0, \pi]$ e che $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [\pi, 2\pi]$. $f(x)$ può assumere valori strettamente positivi nel primo quadrante? Giustifica la risposta.
3. c) Uno studente afferma: «Poiché il valore minimo di $\sin(2x)$ è $-1$ e il valore minimo di $-2\sin(x)$ è $-2$, il valore minimo assoluto che può raggiungere $f(x)$ è $-1 + (-2) = -3$». Confuta questo ragionamento spiegando perché i due termini non possono essere ottimizzati in modo indipendente e verifica che per $x = \frac{2\pi}{3}$ la funzione raggiunge un valore inferiore a $-2,5$ calcolandone il valore esatto.