Esercizi: Tecniche di conteggio

Un ristorante offre $4$ primi piatti, $3$ secondi e $2$ dessert. Se un cliente sceglie il suo menù a caso, qual è la probabilità che scelga esattamente l'insalata come primo, il salmone come secondo e la torta come dessert?

In una gara di $100$ metri piani partecipano $6$ atleti. Se tutti hanno la stessa probabilità di vincere e non ci sono pareggi, qual è la probabilità che l'ordine di arrivo sia esattamente A, B, C, D, E, F?

In un circolo di scacchi di $10$ membri si deve eleggere a caso un presidente, un segretario e un tesoriere. Qual è la probabilità che Anna sia eletta presidente, Carlo segretario ed Elena tesoriera?

Da un gruppo di $8$ studenti se ne scelgono $3$ a caso per formare una commissione rappresentativa. Qual è la probabilità che gli eletti siano esattamente i $3$ studenti più grandi di età del gruppo?

Si lancia un dado equilibrato a $6$ facce $4$ volte consecutive. Qual è la probabilità che esca il numero $5$ in tutti i lanci?

In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $4$ palline blu. Si estraggono $2$ palline a caso contemporaneamente. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse?

Si formano tutte le parole possibili, abbiano o no significato, riordinando le lettere della parola "ROMA". Se si sceglie a caso una di queste parole, qual è la probabilità che inizi con la lettera "M"?

Si lanciano in aria contemporaneamente $5$ monete equilibrate. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ teste e $3$ croci?

Per rappresentare la tua classe di prima liceo (formata da $20$ studenti) davanti al comitato dei rappresentanti d'istituto, si deve scegliere per sorteggio una commissione di $3$ persone senza distinzione di cariche né gerarchia. Marco afferma in classe: «Poiché per la prima persona ci sono $20$ possibilità, per la seconda $19$ e per la terza $18$, il numero totale di commissioni possibili è $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$. Quindi la probabilità che la commissione eletta sia formata esattamente da Lucia, Davide e me è $\frac{1}{6840}$».\na) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega perché il suo calcolo del numero di commissioni possibili non è corretto.\nb) Correggi il suo ragionamento calcolando in modo adeguato il numero di commissioni possibili mediante le tecniche di conteggio e ottieni la probabilità reale che venga eletta proprio quella terna.

Un utente dimentica il codice PIN di $4$ cifre della SIM del suo telefono cellulare. Ricorda con assoluta certezza due condizioni: le quattro cifre erano diverse tra loro e tutte erano cifre pari (cioè scelte esclusivamente tra $\{0, 2, 4, 6, 8\}$). Decide di provare una combinazione a caso rispettando entrambe le condizioni.\na) Prima di effettuare qualsiasi calcolo matematico formale, fai una stima: pensi che la probabilità di sbloccare il telefono al primo tentativo sia maggiore, minore o circa uguale a $1\,\%$? Giustifica brevemente l'intuizione su cui ti basi.\nb) Modella lo spazio campionario utilizzando il principio moltiplicativo o le disposizioni semplici per calcolare con esattezza il numero di codici possibili e la probabilità reale di indovinare al primo tentativo (espressa come frazione ridotta ai minimi termini e in percentuale).\nc) Confronta il valore esatto con la tua stima precedente e valuta se la nostra intuizione tende a sottostimare o sovrastimare l'effetto del principio moltiplicativo.

Con le cifre $1, 2, 3, 4, 5, 6$ si formano a caso numeri di $4$ cifre distinte. Qual è la probabilità che il numero formato sia pari?

In un'azienda tecnologica lavorano $7$ ingegneri e $5$ economisti. Si deve formare un gruppo di progetto di $4$ persone scelte a caso. Qual è la probabilità che il gruppo sia formato esattamente da $2$ ingegneri e $2$ economisti?

Da un mazzo di $40$ carte si estraggono $3$ carte a caso senza reinserimento. Qual è la probabilità che le tre carte siano dello stesso seme?

In uno scaffale si dispongono a caso $5$ libri di matematica e $3$ di fisica. Qual è la probabilità che tutti i libri di fisica risultino collocati vicini?

Un lotto di $20$ microchip contiene $4$ pezzi difettosi. Si seleziona un campione casuale di $3$ microchip per l'ispezione. Qual è la probabilità che nel campione ci sia almeno un microchip difettoso?

Quattro amici salgono su un autobus in cui mancano $6$ fermate al termine del percorso. Se ciascuno ha la stessa probabilità di scendere a una qualsiasi delle fermate, qual è la probabilità che i quattro amici scendano a fermate diverse?

Si formano tutte le parole possibili riordinando le lettere della parola "BANANA". Qual è la probabilità che le tre lettere "A" compaiano consecutive?

Un test a risposta multipla consta di $10$ domande, ciascuna con $4$ opzioni di risposta di cui una sola è corretta. Se uno studente risponde a tutte le domande a caso, qual è la probabilità che indovini esattamente $6$ domande?

In Italia, la motorizzazione assegna a ogni veicolo una targa formata da un blocco di $4$ cifre (da $0000$ a $9999$) seguito da un blocco di $3$ lettere consonanti. Per evitare parole sconvenienti si escludono le $5$ vocali, e per evitare confusioni di lettura si scartano la Ñ e la Q, restando disponibili esattamente $20$ consonanti.\nUn veicolo appena uscito dalla fabbrica riceve una targa assegnata in modo casuale ed equiprobabile tra tutte le combinazioni ammesse dal sistema.\na) Modella lo spazio campionario e calcola quante targhe teoriche diverse si possono generare se è consentita la ripetizione di cifre e lettere.\nb) Un appassionato di numeri cerca una targa «simmetrica»: le $4$ cifre devono formare un numero palindromo (per esempio, $4884$ o $0330$) e le $3$ lettere devono formare una parola palindroma (la prima e la terza lettera devono coincidere, come in $KPK$). Qual è la probabilità che a un'auto venga assegnata a caso una targa simmetrica? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini e in percentuale.

In un liceo si bandiscono $2$ posti per un soggiorno linguistico estivo tra gli studenti del primo anno del triennio. Si presentano $5$ studenti dell'indirizzo umanistico e di scienze sociali e un gruppo di $n$ studenti dell'indirizzo scientifico ($n \ge 2$). L'assegnazione dei due posti avviene per sorteggio consecutivo e senza reinserimento tra tutte le candidature.\nLa vicepreside annuncia che la probabilità che almeno uno dei due posti vada a uno studente dell'indirizzo umanistico e di scienze sociali è esattamente uguale a $\frac{7}{9}$.\na) Imposta un'equazione che metta in relazione $n$ con la probabilità fornita, utilizzando tecniche di conteggio combinatorio e basandoti sull'evento contrario (nessun posto agli studenti dell'indirizzo umanistico e di scienze sociali).\nb) Risolvi con ragionamento l'equazione ottenuta, giustifica lo scarto delle soluzioni algebriche non valide e concludi quanti studenti dell'indirizzo scientifico e quanti studenti in totale hanno partecipato al sorteggio.

Da un mazzo di $52$ carte francesi (composto da $13$ valori diversi in $4$ semi) si estraggono $5$ carte a caso. Qual è la probabilità di ottenere un "Full House" (cioè tre carte dello stesso valore e due carte di un altro valore diverso)?

Otto persone, tra le quali ci sono due fratelli, si siedono a caso attorno a un tavolo circolare. Qual è la probabilità che i due fratelli non siedano su sedie vicine?

Si scelgono a caso $3$ vertici distinti di un decagono regolare. Qual è la probabilità che il triangolo formato da questi $3$ vertici sia un triangolo rettangolo?

Si distribuiscono a caso $5$ palline distinguibili in $3$ urne distinguibili. Qual è la probabilità che nessuna delle tre urne resti vuota?

Un dipartimento universitario è formato da $6$ professori ordinari e $8$ professori associati. Si sceglie a caso un comitato di $5$ persone. Qual è la probabilità che nel comitato ci sia una maggioranza di professori ordinari (cioè $3$ o più)?

Al piano terra di un edificio di $8$ piani salgono sull'ascensore $5$ persone. Se ciascuna persona sceglie a caso il piano in cui scendere (dal $1$ al $8$), qual è la probabilità che esattamente due persone scendano allo stesso piano e le altre tre scendano a piani diversi tra loro e diversi da quello della coppia?

Si lancia un dado equilibrato a $6$ facce $6$ volte consecutive. Qual è la probabilità che compaiano tutti i numeri da $1$ a $6$ esattamente una volta, sapendo che nei primi tre lanci sono usciti esclusivamente numeri pari?

Quattro persone lasciano i cappotti al guardaroba di un teatro. All'uscita, a causa di un blackout, l'addetto restituisce loro i quattro cappotti a caso. Qual è la probabilità che esattamente una persona riceva il proprio cappotto?

Per costituire una commissione valutatrice di $5$ membri in una scuola, si devono scegliere per sorteggio i componenti a partire da un collegio di $12$ docenti disponibili: $7$ appartengono all'ambito scientifico-tecnologico e $5$ a quello socio-linguistico. La dirigenza esige che la commissione sia mista (cioè che comprenda obbligatoriamente almeno un docente per ciascuno dei due ambiti). Per trovare la probabilità che una scelta a caso soddisfi questo requisito, tre professori propongono vie di risoluzione diverse:\n- Metodo di Alberto: assicura la presenza di entrambi gli ambiti scegliendo prima $1$ di Scienze ($7$ possibilità) e $1$ di Lettere ($5$ possibilità), e poi sceglie i $3$ membri rimanenti tra i $10$ professori che restano, dividendo il risultato per $\binom{12}{5}$.\n- Metodo di Beatrice: scompone i casi favorevoli sommando le quattro configurazioni valide disgiunte: $(1\text{ C, } 4\text{ H}) + (2\text{ C, } 3\text{ H}) + (3\text{ C, } 2\text{ H}) + (4\text{ C, } 1\text{ H})$, e divide la somma per $\binom{12}{5}$.\n- Metodo di Carlo: calcola la probabilità dell'evento complementare (che tutti siano di Scienze o tutti siano di Lettere) e la sottrae a $1$.\nSi chiede:\na) Analizza la proposta di Alberto: dimostra numericamente perché è errata e spiega con precisione quale errore di conteggio commette la sua impostazione.\nb) Confronta i metodi di Beatrice e di Carlo: giustifica quale dei due è più efficiente in termini di calcolo e applicalo per ottenere la probabilità esatta sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.

Nel pronto soccorso di un ospedale pubblico, la squadra di guardia notturna di ogni sabato è formata da $4$ medici estratti a sorte da un organico disponibile di $10$ professionisti: $4$ medici strutturati (esperti) e $6$ medici specializzandi. Perché la guardia sia operativa secondo il protocollo della struttura, devono essere soddisfatte simultaneamente due condizioni:\n1. Criterio assistenziale di sicurezza: deve esserci almeno $1$ medico strutturato nella squadra.\n2. Criterio pedagogico di tutoraggio: due specializzandi in particolare, Irene e Sergio, seguono un piano di formazione congiunto, per cui devono fare obbligatoriamente la guardia insieme se uno dei due è convocato (cioè o entrano entrambi nella squadra o non entra nessuno dei due).\nSe la squadra di $4$ professionisti viene sorteggiata in modo equiprobabile tra i $10$ disponibili:\na) Modella lo spazio dei casi favorevoli distinguendo i due scenari disgiunti imposti dal criterio pedagogico di Irene e Sergio, e calcola quante squadre soddisfano entrambi i criteri contemporaneamente.\nb) Determina la probabilità che la squadra selezionata a caso soddisfi entrambe le esigenze normative.\nc) Valuta l'impatto organizzativo: calcola quale sarebbe la probabilità di ottenere una guardia valida se si richiedesse soltanto il criterio assistenziale (senza il vincolo su Irene e Sergio) e rifletti sul costo in termini di flessibilità che comportano le condizioni di raggruppamento in blocco.

Sfida del tema. Il tuo ambiente è vulnerabile a un attacco a forza bruta? Valuterai la robustezza delle password più comuni elaborando un rapporto tecnico di cybersicurezza.

1. Raccolta dei dati: Sottoponi un breve sondaggio anonimo a $10$ persone (familiari o amici) oppure consulta le statistiche dell'ISTAT o di altri enti di cybersicurezza per registrare quali strutture usano (PIN di $4$ cifre, password di $6$ lettere minuscole o alfanumeriche di $8$ caratteri).

2. Tecniche di conteggio: Modella ogni formato di password individuando lo spazio campionario $\Omega$. Applica tecniche di conteggio (disposizioni con e senza ripetizione, combinazioni) per calcolare quante password diverse si possono formare in ciascuna categoria.

3. Analisi di probabilità: In un foglio di calcolo, calcola la probabilità, secondo la definizione classica, di scoprire la password al primo tentativo e in $100$ tentativi (senza ripetere password già provate). Definisci e illustra eventi compatibili, incompatibili e complementari (come «non includere numeri» rispetto a «includere almeno un numero»).

4. Proposta argomentata: Redigi un rapporto di una pagina che metta in relazione la dimensione dello spazio campionario con la probabilità di vulnerabilità, proponendo linee guida di sicurezza basate sui tuoi calcoli.

Verrà valutato:

• Scelta e corretta esecuzione delle tecniche di conteggio adeguate a ciascun caso.

• Rigore nell'uso della notazione formale della probabilità ($P(A)$, eventi, $\Omega$) e del foglio di calcolo.

• Giustificazione coerente delle raccomandazioni matematiche nel rapporto finale.