Esercizi: Probabilità totale e teorema di Bayes

In un liceo, gli studenti dell'ultimo anno possono scegliere tra due piattaforme per svolgere i propri lavori nel cloud: il $65\%$ utilizza Google Workspace e il resto utilizza Microsoft 365. Si sa che il $20\%$ degli utenti di Google utilizza strumenti di intelligenza artificiale per redigere bozze, mentre in Microsoft lo fa il $15\%$.

Calcola la probabilità che uno studente scelto a caso utilizzi l'intelligenza artificiale per le sue bozze.

Una catena di supermercati vende yogurt di due fornitori diversi. Il $40\%$ proviene dal Fornitore A e il $60\%$ dal Fornitore B. Il controllo di qualità indica che il $5\%$ degli yogurt del Fornitore A presenta difetti di confezionamento, mentre per il Fornitore B questo difetto compare solo nel $2\%$ dei casi.

Se compriamo uno yogurt e verifichiamo che ha un difetto di confezionamento, qual è la probabilità che provenga dal Fornitore A?

Un creatore di contenuti di TikTok osserva che i suoi video brevi vengono visualizzati in due modi: tramite l'Algoritmo di raccomandazione ($80\%$ delle volte) o tramite Ricerca diretta ($20\%$). La probabilità che un utente metta "Mi piace" è $0,10$ se il video arriva tramite raccomandazione, e $0,30$ se l'utente lo ha cercato direttamente.

Trova la probabilità che un utente qualsiasi che visualizza il video metta "Mi piace".

In un torneo di eSport, un giocatore arriva in finale. Può scegliere tra due strategie: Offensiva (la sceglie il $70\%$ delle volte) o Difensiva (il $30\%$). Se gioca in modo offensivo, vince la partita con probabilità $0,6$, mentre se gioca in modo difensivo la sua probabilità di vittoria è $0,4$.

Sapendo che il giocatore ha vinto la partita, calcola la probabilità che abbia usato una strategia difensiva.

Un servizio di corriere utilizza tre percorsi per consegnare pacchi in una città: Percorso Nord ($50\%$), Percorso Sud ($30\%$) e Percorso Centro ($20\%$). I ritardi nella consegna si verificano il $2\%$ delle volte sul percorso Nord, il $4\%$ sul Sud e il $10\%$ sul percorso Centro.

Determina la percentuale totale di pacchi consegnati in ritardo in questa città.

Si realizza uno studio su una nuova app di allenamento fisico. Si stima che il $1\%$ degli adolescenti di una città la utilizzi. L'app ha una funzione di "sfida giornaliera" che viene completata con successo il $95\%$ delle volte se l'utente è costante, ma se non lo è (il $99\%$ della popolazione non usa l'app), la probabilità di completare una sfida simile per caso è solo $0,05$.

Se scegliamo un giovane a caso e vediamo che ha completato la sfida con successo, qual è la probabilità che sia un utente costante dell'app?

In un'azienda di design, il $60\%$ dei dipendenti sono Designer Senior e il $40\%$ sono Junior. Nell'ultima campagna pubblicitaria, il $90\%$ dei Senior ha usato software di grafica vettoriale, mentre tra i Junior lo ha fatto solo il $70\%$.

Se scegliamo un dipendente a caso, calcola la probabilità che non abbia usato software di grafica vettoriale.

Una concessionaria di auto elettriche vende tre modelli: Compatta ($40\,\%$), Berlina ($35\,\%$) e SUV ($25\,\%$). Si è osservato che hanno bisogno di un controllo del software nel primo mese il $3\,\%$ delle Compatte, il $2\,\%$ delle Berline e il $5\,\%$ dei SUV. La figura mostra il diagramma ad albero della situazione.

Se un cliente chiama perché la sua auto ha avuto bisogno di un controllo del software nel primo mese, quale modello è più probabile che abbia acquistato? Giustifica la risposta calcolando le probabilità corrispondenti.

Marco sta risolvendo un problema di controllo di qualità per una cooperativa olearia della Puglia. La fornitura di olive proviene da due poderi: il podere $F_1$ apporta il $60\,\%$ del raccolto e il podere $F_2$ il $40\,\%$. La percentuale di olive non idonee a produrre olio extravergine è del $5\,\%$ nel podere $F_1$ e del $10\,\%$ nel podere $F_2$. Il testo chiede di calcolare la probabilità che un'oliva non idonea provenga dal podere $F_1$. Marco scrive nel suo compito:

«$P(F_1 | \text{No apta}) = P(F_1) \cdot P(\text{No apta} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Quindi c'è una probabilità del $3\,\%$ che provenga dal podere $F_1$. Ha senso perché è un numero minore di $1$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco (uno legato alla confusione tra intersezione e probabilità condizionata, e l'altro relativo al teorema di Bayes).
2. b) Correggi l'esercizio calcolando in modo rigoroso la probabilità richiesta.

Secondo i rapporti sulla mobilità dei viaggiatori su una tratta ferroviaria italiana, il $50\,\%$ degli utenti viaggia sui servizi di Alta Velocità (Frecciarossa/Italo), il $30\,\%$ sui regionali veloci e il restante $20\,\%$ sui treni regionali. I registri di puntualità indicano che la probabilità di subire un ritardo superiore a $15$ minuti è del $2\,\%$ in Alta Velocità, del $6\,\%$ sui regionali veloci e del $10\,\%$ sui regionali.

1. a) Giustifica che i tipi di treno formano un sistema completo di eventi e definisci con chiarezza gli eventi coinvolti.
2. b) Calcola la probabilità che un viaggiatore scelto a caso su quella tratta arrivi a destinazione con più di $15$ minuti di ritardo.
3. c) Se un viaggiatore scelto a caso ha subito un ritardo superiore a $15$ minuti, calcola la probabilità che il suo viaggio sia stato in Alta Velocità. Commenta il risultato: perché questa probabilità è relativamente bassa nonostante la metà dei biglietti venduti corrisponda a tale servizio?

In un centro di alto rendimento per gli e-sport, i giocatori si allenano su tre piattaforme diverse: PC, console e dispositivi mobili. Il $50\ \%$ dei giocatori usa il PC, il $30\ \%$ usa la console e i restanti i dispositivi mobili. Si è osservato che il rendimento cala per affaticamento visivo nel $8\ \%$ dei giocatori su PC, nel $5\ \%$ di quelli su console e nel $12\ \%$ di quelli che usano dispositivi mobili.

1. a) Calcola la probabilità che un giocatore scelto a caso presenti affaticamento visivo.

1. b) Se scegliamo un giocatore e vediamo che soffre di affaticamento visivo, qual è la probabilità che si alleni abitualmente con un dispositivo mobile?

Un'azienda di cybersicurezza analizza il traffico di posta elettronica di una startup tecnologica. Il $70\ \%$ delle email ricevute è interno, il $20\ \%$ proviene da clienti noti e il $10\ \%$ restante sono email esterne di origine sconosciuta. Il filtro di sicurezza segnala come «sospetto» il $1\ \%$ delle email interne, il $4\ \%$ delle email dei clienti e il $25\ \%$ delle email sconosciute.

1. a) Determina la probabilità che un'email scelta a caso sia segnalata come sospetta dal sistema.

1. b) Se un dipendente riceve una notifica di email sospetta, qual è la probabilità che l'email sia realmente di origine sconosciuta?

In uno stabilimento di assemblaggio di batterie per auto elettriche si utilizzano due linee di produzione, $L_1$ e $L_2$. La linea $L_1$ produce il $60\ \%$ delle batterie e la $L_2$ il resto. Si sa che il $2\ \%$ delle batterie di $L_1$ presenta difetti di sigillatura, mentre in $L_2$ questo difetto compare nel $5\ \%$ delle unità.

1. a) Se si sceglie una batteria a caso dalla produzione totale, qual è la probabilità che non sia difettosa?

1. b) Se durante un controllo di qualità si rileva una batteria difettosa, quale linea ha la maggiore probabilità di averla fabbricata? Giustifica la risposta calcolando entrambe le probabilità a posteriori.

Uno studio sulla mobilità sostenibile in una città indica che il $45\ \%$ degli spostamenti avviene con i mezzi pubblici, il $35\ \%$ in bicicletta o monopattino elettrico e il $20\ \%$ in auto privata. Si stima che la probabilità di arrivare in ritardo al lavoro sia 0,15 se si usano i mezzi pubblici, 0,05 se si usa la bicicletta/monopattino e 0,30 se si usa l'auto privata (a causa del traffico).

1. a) Calcola la probabilità che un cittadino scelto a caso arrivi puntuale al lavoro.

1. b) Se sappiamo che un lavoratore è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che abbia viaggiato con la propria auto privata?

Un laboratorio farmaceutico sviluppa un test rapido per rilevare una carenza vitaminica che riguarda il $5\ \%$ della popolazione giovane. Le sperimentazioni cliniche mostrano che il test risulta positivo nel $96\ \%$ delle persone che hanno realmente la carenza. Tuttavia, dà anche un «falso positivo» nel $2\ \%$ delle persone sane.

1. a) Quale percentuale della popolazione totale risulterà positiva al test?

1. b) Se un giovane si sottopone al test e il risultato è positivo, qual è la probabilità reale che soffra di tale carenza vitaminica? Commenta se il risultato ti sembra alto o basso in relazione all'affidabilità del test.

In una materia dell'ultimo anno di liceo, gli studenti possono scegliere di realizzare un progetto finale su tre temi: Robotica, Programmazione o Energie rinnovabili. Il $25\ \%$ sceglie Robotica, il $40\ \%$ Programmazione e il $35\ \%$ Energie rinnovabili. La probabilità di ottenere una valutazione di Ottimo è 0,20 in Robotica, 0,15 in Programmazione e 0,10 in Energie rinnovabili.

1. a) Trova la probabilità che uno studente della classe, scelto a caso, non ottenga Ottimo.

1. b) Sapendo che uno studente ha ottenuto Ottimo, qual è la probabilità che il suo progetto fosse di Robotica?

Un servizio di streaming musicale classifica i suoi utenti in tre categorie: «Free» (con pubblicità), «Premium» e «Family». Il $60\ \%$ sono utenti Free, il $30\ \%$ Premium e il $10\ \%$ Family. Si sa che il $80\ \%$ degli utenti Free ascolta più di 2 ore al giorno, mentre questa percentuale è del $90\ \%$ per i Premium e del $95\ \%$ per i Family.

1. a) Scelto un utente a caso, qual è la probabilità che ascolti musica 2 ore o meno al giorno?

1. b) Se scegliamo un utente che ascolta più di 2 ore al giorno di musica, qual è la probabilità che appartenga alla modalità «Premium»?

In un test di ammissione all'università, uno studente trova una domanda a risposta multipla con 4 risposte possibili, di cui una sola è corretta. La probabilità che lo studente conosca la risposta corretta è 0,6. Se la conosce, risponde correttamente con certezza. Se non la conosce, sceglie una delle 4 opzioni a caso.

1. a) Qual è la probabilità che lo studente risponda correttamente alla domanda?

1. b) Se il correttore osserva che la risposta segnata è quella corretta, qual è la probabilità che lo studente conoscesse realmente la materia e non abbia risposto a caso?

In una campagna preventiva sulla sicurezza stradale della Polizia Stradale sulle strade extraurbane, si stima che il $1\,\%$ dei conducenti guidi dopo aver assunto sostanze non consentite ($S$). Il test salivare indicativo impiegato nei controlli ha una sensibilità del $98\,\%$ (se un conducente ha assunto sostanze, risulta positivo con probabilità $0{,}98$), ma presenta un tasso di falsi positivi del $4\,\%$ (nei conducenti che non hanno assunto sostanze, il test risulta positivo per errore con probabilità $0{,}04$).

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico: se un conducente risulta positivo al controllo, stima in modo intuitivo e spiega brevemente se la probabilità che abbia realmente assunto sostanze sarà più vicina al $90\,\%$, al $50\,\%$ o inferiore al $25\,\%$.
2. b) Applica il teorema di Bayes per calcolare con rigore $P(S | \text{Positivo})$.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima del punto a). Spiega quale fenomeno probabilistico determina questo risultato e perché la normativa richiede di inviare un secondo campione a un laboratorio tossicologico prima di avviare la sanzione.

Un centro logistico di spedizioni situato in un distretto industriale smista i suoi invii mediante due linee automatizzate di smistamento, $L_1$ e $L_2$. La linea $L_1$ si fa carico di una proporzione $p$ del volume totale dei pacchi ($0 < p < 1$), mentre la linea $L_2$ smista la frazione restante ($1-p$). A causa dell'usura meccanica, la linea $L_1$ danneggia il $1\,\%$ dei pacchi che tratta, mentre la linea $L_2$, di tecnologia più datata, ne danneggia il $4\,\%$.

1. a) Esprimi in funzione di $p$ la probabilità che un pacco scelto a caso al termine del processo risulti danneggiato, $P(D)$.
2. b) La direzione tecnica stabilisce che, per non sovraccaricare il reparto di perizia della linea $L_1$, tra tutti i pacchi che risultano danneggiati al massimo il $20\,\%$ debba provenire da tale linea ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Imposta la disequazione corrispondente e determina quale percentuale minima del traffico totale di pacchi deve essere assegnata alla linea $L_2$ per soddisfare questo criterio di qualità.

Un'azienda di cybersicurezza utilizza tre sistemi di intelligenza artificiale ($S_1$, $S_2$ e $S_3$) per rilevare tentativi di accesso non autorizzato in una rete aziendale. Il sistema $S_1$ gestisce il $45 \%$ degli allarmi, il $S_2$ il $35 \%$ e il $S_3$ il resto.

Da verifiche precedenti si sa che, tra gli allarmi emessi da ciascun sistema, sono falsi allarmi (un accesso legittimo viene segnalato come attacco) il $2 \%$ di quelli di $S_1$, il $5 \%$ di quelli di $S_2$ e il $8 \%$ di quelli di $S_3$. Gli altri allarmi di ciascun sistema corrispondono ad attacchi reali. D'altra parte, la probabilità che un sistema ignori un attacco reale (falso negativo) è del $1 \%$ in tutti i casi; è un dato che non ti servirà per questo problema.

A un certo momento, sul pannello di controllo scatta un allarme che segnala un attacco.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero indicando le probabilità di ogni ramo.

1. b) Calcola la probabilità che l'allarme emesso sia realmente un falso allarme.

1. c) Se si conferma che l'allarme era un falso allarme, qual è la probabilità che sia stato generato dal sistema $S_3$?

Una linea di montaggio automatizzata produce droni da corsa. La fabbrica utilizza due tipi di motori: il motore Alpha, che viene installato nel $60 \%$ dei droni, e il motore Beta, che viene installato nei restanti. A causa dell'elevata precisione richiesta, alcuni motori presentano difetti di calibrazione.

Si sa che il $5 \%$ dei motori Alpha è difettoso. Dopo aver eseguito un test di qualità al termine della linea, si osserva che la probabilità totale di trovare un drone con motore difettoso è del $4,4 \%$.

1. a) Calcola la probabilità che un motore sia difettoso sapendo che è di tipo Beta.
2. b) Si sceglie un drone a caso e il test di qualità indica che il motore funziona correttamente. Qual è la probabilità che il drone monti un motore Alpha?

In un centro sportivo di alto rendimento, gli atleti si sottopongono a un controllo antidoping. Il $1 \%$ degli atleti assume una sostanza proibita. Il test utilizzato ha un'affidabilità del $98 \%$ (probabilità di risultare positivo se si è assunta la sostanza). Tuttavia, il test produce anche un $3 \%$ di «falsi positivi» (risultare positivo in atleti che non hanno assunto nulla).

1. a) Se un atleta risulta positivo al controllo, qual è la probabilità che abbia realmente assunto la sostanza?
2. b) Il comitato decide di effettuare un secondo test indipendente sullo stesso atleta se il primo è positivo. Se anche questo secondo test (con la stessa affidabilità) risulta positivo, qual è ora la probabilità che l'atleta sia colpevole? Giustifica se la fiducia nel verdetto è aumentata in modo significativo.

Uno studio sul consumo di contenuti in streaming rivela che il $70 \%$ dei giovani di una città è abbonato alla Piattaforma A, il $40 \%$ alla Piattaforma B e il $20 \%$ a entrambe. Si sceglie un giovane a caso.

1. a) Sapendo che è abbonato alla Piattaforma B, qual è la probabilità che lo sia anche alla Piattaforma A? Gli eventi «Essere abbonato ad A» ed «Essere abbonato a B» sono indipendenti?

1. b) Si sa che il $15 \%$ degli utenti della sola Piattaforma A preferisce i documentari, il $25 \%$ degli utenti della sola Piattaforma B li preferisce ugualmente e, tra quelli abbonati a entrambe le piattaforme, tale preferenza sale al $50 \%$. Tra i giovani che non sono abbonati a nessuna delle due piattaforme, il $10 \%$ preferisce i documentari. Se un giovane scelto a caso preferisce i documentari, qual è la probabilità che sia abbonato a entrambe le piattaforme?

In un laboratorio di biotecnologie si manipolano tre tipi di batteri: $T_1$, $T_2$ e $T_3$. C'è un contenitore che contiene 100 campioni: 20 di $T_1$, 30 di $T_2$ e 50 di $T_3$. La probabilità che un campione sviluppi resistenza agli antibiotici in 24 ore è $0,2$ per $T_1$, $0,4$ per $T_2$ e un valore incognito $p$ per $T_3$.

Si estrae un campione a caso e si osserva che ha sviluppato resistenza dopo 24 ore. Sapendo che la probabilità che tale campione sia del tipo $T_2$ è $0,375$:

1. a) Determina il valore della probabilità $p$ associata ai batteri del tipo $T_3$.
2. b) Con il valore di $p$ ottenuto, calcola la probabilità che, scegliendo un campione a caso, questo non sviluppi resistenza.

Un canale di notizie utilizza tre fonti diverse per ottenere informazioni: Agenzie ($A$), Corrispondenti ($C$) e Social network ($R$). Il $50 \%$ delle notizie proviene da $A$, il $30 \%$ da $C$ e il resto da $R$.

La probabilità che una notizia sia falsa (fake news) è $0,01$ se proviene da $A$ e $0,05$ se proviene da $C$. Si è rilevato che, se si sceglie una notizia a caso e risulta falsa, la probabilità che provenga dai Social network è $0,75$.

1. a) Calcola la probabilità che una notizia proveniente dai Social network sia falsa.
2. b) Calcola la probabilità totale che una notizia scelta a caso in questo canale sia veritiera.

Tre macchine, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, fabbricano pezzi di precisione. $M_1$ produce il doppio dei pezzi di $M_2$, e $M_3$ produce lo stesso numero di $M_1$ e $M_2$ insieme. La percentuale di pezzi difettosi è del $2 \%$ per $M_1$ e del $4 \%$ per $M_2$.

Si sa che, prendendo un pezzo a caso dalla produzione totale, la probabilità che sia difettoso è del $2,5 \%$.

1. a) Calcola la percentuale di pezzi difettosi prodotti dalla macchina $M_3$.
2. b) Se prendiamo un pezzo e verifichiamo che è difettoso, quale macchina ha la maggiore probabilità di averlo fabbricato?

In un esame di concorso, il programma consta di 80 argomenti. La commissione estrae due argomenti a caso (senza reinserimento) e il candidato deve sceglierne uno da svolgere. Un candidato ha preparato solo 45 argomenti.

1. a) Qual è la probabilità che il candidato possa scegliere almeno un argomento che conosce?
2. b) Supponiamo che il candidato superi la prova se l'argomento scelto è uno di quelli che ha preparato. Se sappiamo che il candidato è stato bocciato perché non ha potuto scegliere nessuno degli argomenti estratti, qual è la probabilità che, se l'esame fosse consistito nell'estrarre tre argomenti anziché due, avrebbe avuto la possibilità di sceglierne almeno uno? Giustifica matematicamente se la probabilità di superare la prova aumenterebbe in modo significativo.

In un programma di sanità pubblica del Servizio Sanitario Nazionale (SSN) per la diagnosi precoce del tumore del colon-retto nelle persone tra $50$ e $69$ anni, la prevalenza della patologia in questo gruppo demografico è del $0{,}5\,\%$. Il test del sangue occulto fecale utilizzato ha una sensibilità del $80\,\%$ (risulta positivo nel $80\,\%$ delle persone malate) e un tasso di falsi positivi del $3\,\%$ (risulta positivo nel $3\,\%$ delle persone sane). Un paziente risulta positivo allo screening e si vuole calcolare la probabilità che sia realmente affetto dalla malattia, $P(E | +)$.

1. a) Metodo 1 (algebra degli eventi): imposta formalmente il sistema completo di eventi, le probabilità a priori, le verosimiglianze e risolvi $P(E | +)$ applicando il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes.
2. b) Metodo 2 (frequenze naturali): modella la situazione a partire da una coorte ipotetica di $100.000$ persone. Costruisci una tabella di contingenza $2 \times 2$ con le quantità intere di individui sani/malati e positivi/negativi, e deduci direttamente da essa il valore di $P(E | +)$.
3. c) Valutazione critica: confronta i due metodi e giustifica con argomentazioni perché diverse ricerche di psicologia cognitiva e didattica della matematica sostengono che il Metodo 2 risulta molto più trasparente e riduce il bias cognitivo diagnostico rispetto alla formulazione algebrica astratta del Metodo 1.

Il reparto di audit informatico di una banca italiana supervisiona i bonifici internazionali per prevenire le frodi. Le operazioni hanno origine attraverso tre canali: Canale SEPA/UE ($70\,\%$ del volume totale), Canale internazionale ordinario ($20\,\%$) e Canale internazionale ad alto rischio ($10\,\%$). Dai registri storici si sa che la probabilità che un bonifico sia fraudolento ($F$) è del $0{,}1\,\%$ nel canale SEPA, del $0{,}5\,\%$ nel canale internazionale ordinario e di un valore incognito $k$ ($0 < k \le 1$) in quello ad alto rischio.

1. a) Se la probabilità globale che un bonifico scelto a caso nella banca sia fraudolento è esattamente $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$), calcola il valore del parametro $k$ mediante il teorema della probabilità totale.
2. b) Se il sistema di sicurezza intercetta un bonifico e si verifica che è fraudolento, determina mediante il teorema di Bayes da quale canale è più probabile che provenga.
3. c) Rispondi con una argomentazione alla seguente questione teorica: supponi che i tassi di frode intrinseci di ciascun canale (le percentuali condizionate $P(F|\text{canale})$ del testo) restino invariati. Sarebbe possibile modificare soltanto la ripartizione del volume di operazioni tra i tre canali in modo che, dato un bonifico che sappiamo fraudolento, sia più probabile che provenga dal Canale SEPA che dagli altri due insieme ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Giustifica la risposta deducendo quale condizione algebrica dovrebbero soddisfare le nuove quote dei canali.