Esercizi: Proprietà della probabilità

In una piattaforma di streaming, il $65\ \%$ degli utenti giovani è abbonato al Piano Musica ($M$) e il $40\ \%$ è abbonato al Piano Video ($V$). Si sa inoltre che il $25\ \%$ degli utenti usufruisce di entrambi i piani contemporaneamente.

Calcola la probabilità che un utente scelto a caso sia abbonato ad almeno uno dei due piani (musica o video).

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli eventi $A$ (studenti che praticano pallacanestro) e $B$ (studenti che praticano nuoto) in un centro sportivo:

Sapendo che i numeri rappresentano la probabilità di ciascuna regione, utilizza le proprietà della probabilità per calcolare:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilità che non pratichi pallacanestro).

Uno studio sulle abitudini digitali rivela che la probabilità che un adolescente usi un social network di microblogging è $P(S) = 0,72$.

Calcola la probabilità dell'evento contrario, cioè la probabilità che un adolescente scelto a caso non utilizzi tale social network.

Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili giustificando la risposta mediante il calcolo di $P(A \cap B)$.

In una competizione di e-sport, la probabilità che la squadra "Alfa" vinca la prima partita è $P(A) = 0,6$. La probabilità che vinca la seconda è $P(B) = 0,5$. Se la probabilità che vinca entrambe è $P(A \cap B) = 0,3$, calcola:

1. a) La probabilità che vinca la prima partita ma non la seconda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Illustra la situazione mediante uno schema di aree come il seguente, in cui il quadrato completo rappresenta probabilità 1 e ogni regione ha un'area uguale alla sua probabilità. Completa la probabilità delle altre tre regioni.

Utilizzando le leggi di De Morgan, calcola la probabilità che non si verifichi né l'evento $A$ né l'evento $B$ (cioè $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sapendo che la probabilità dell'unione è $P(A \cup B) = 0,84$.

In un'urna ci sono palline numerate. Siano gli eventi $A$ = "estrarre un numero pari" e $B$ = "estrarre un numero dispari minore di 5". Se sappiamo che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ e che gli eventi sono incompatibili, calcola la probabilità dell'unione $P(A \cup B)$.

Dati due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio, si conoscono i seguenti dati:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Trova il valore della probabilità dell'unione, $P(A \cup B)$. Suggerimento: calcola prima $P(A)$.

In una verifica di Matematica del quinto anno di liceo, si considerano due eventi $A$ e $B$ di uno stesso spazio campionario con probabilità $P(A) = 0,7$ e $P(B) = 0,5$. Marco scrive nel suo svolgimento: «Poiché $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,5 = 1,2$, e per gli assiomi di Kolmogorov nessuna probabilità può superare $1$, il testo contiene un errore e questi due eventi non possono verificarsi nello stesso esperimento».\na) Individua e spiega in modo motivato i due errori concettuali commessi da Marco (uno relativo alla formula impiegata e uno relativo alla compatibilità degli eventi).\nb) Utilizzando le proprietà dedotte dagli assiomi, calcola il limite minimo che deve assumere $P(A \cap B)$ affinché la situazione sia matematicamente coerente e determina in quale intervallo può variare $P(A \cup B)$.

Nell'elezione dei rappresentanti degli studenti di un istituto, sia $A$ l'evento «la persona eletta frequenta l'indirizzo scientifico» con $P(A) = 0,65$, e sia $B$ l'evento «la persona eletta partecipa al club di dibattito» con $P(B) = 0,45$.\na) Stima, prima di effettuare qualsiasi calcolo algebrico, se è possibile che le due caratteristiche siano incompatibili ($A \cap B = \emptyset$). Giustifica la tua intuizione a partire dalla somma delle loro probabilità rispetto allo spazio campionario totale.\nb) Verifica la tua stima calcolando formalmente i limiti di Fréchet per l'intersezione; cioè l'intervallo $[p_{\min}, p_{\max}]$ in cui deve necessariamente trovarsi $P(A \cap B)$.\nc) Valuta criticamente se una stima preliminare che proponesse $P(A \cap B) = 0,50$ sarebbe ammissibile o se contraddice la proprietà di monotonia della probabilità ($A \cap B \subseteq B$).

In uno studio sul consumo di contenuti digitali in una classe di quinto liceo, si sa che la probabilità che uno studente usi abitualmente TikTok (evento $A$) è $0,65$, la probabilità che usi Instagram (evento $B$) è $0,70$ e la probabilità che non usi nessuno dei due social è $0,15$.

Utilizzando le proprietà della probabilità, calcola:

1. a) La probabilità che uno studente, scelto a caso, utilizzi entrambi i social.
2. b) La probabilità che ne utilizzi solo uno dei due.
3. c) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Giustifica la risposta.

Due squadre di e-sport, "Titani" e "Fenice", partecipano a un torneo. La probabilità che i Titani vincano la loro partita è $P(T) = 0,8$ e quella che la Fenice vinca la sua è $P(F) = 0,7$. Supponendo che i risultati delle due squadre siano indipendenti, calcola mediante l'algebra degli eventi le seguenti probabilità:

1. a) Che entrambe le squadre vincano le rispettive partite.
2. b) Che almeno una delle due vinca.
3. c) Che vinca solo la squadra dei Titani.

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio tali che conosciamo $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e la probabilità dell'unione dei loro contrari è $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.
2. b) Trova $P(A \cup B)$.
3. c) Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili.
4. d) Calcola $P(A / \bar{B})$.

In un centro sportivo, il $60\%$ degli iscritti pratica allenamento di forza (evento $F$) e il $45\%$ pratica yoga (evento $Y$). Si sa inoltre che il $20\%$ di quelli che praticano forza è iscritto anche a yoga.

Costruisci una tabella di contingenza o un diagramma di Venn per rispondere alle seguenti domande:

1. a) Probabilità che un socio scelto a caso non pratichi né forza né yoga.

1. b) Se sappiamo che un socio pratica yoga, qual è la probabilità che non pratichi forza?

1. c) Gli eventi "praticare forza" e "praticare yoga" sono indipendenti?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Siano $A$ e $B$ due eventi tali che la probabilità che si verifichi $B$ se si è verificato $A$ è $P(B/A) = 0,25$. Se sappiamo che $P(A \cap B) = 0,15$ e che $P(B) = 0,45$:

1. a) Calcola $P(A)$.
2. b) Calcola $P(A \cup B)$.
3. c) Calcola la probabilità che non si verifichi $A$ dato che non si è verificato $B$, cioè $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Un sistema di sicurezza intelligente ha due sensori indipendenti, $S_1$ e $S_2$. La probabilità che il sensore $S_1$ rilevi un'intrusione è $0,92$ e la probabilità che la rilevi il sensore $S_2$ è $0,85$. Nel caso in cui avvenga un'intrusione, calcola:

1. a) La probabilità che sia rilevata da entrambi i sensori simultaneamente.
2. b) La probabilità che l'intrusione sia rilevata (cioè che almeno un sensore funzioni).
3. c) La probabilità che il sensore $S_1$ si guasti ma il $S_2$ funzioni correttamente.

Dati due eventi $A$ e $B$, si sa che $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.
2. b) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Motiva la risposta confrontando $P(A \cap B)$ con il prodotto delle loro probabilità individuali.
3. c) Calcola $P(\bar{A} / B)$.

Una piattaforma di streaming classifica i suoi utenti in "Premium" ($P$) o "Standard" ($S$). Si stima che il $40\%$ sia Premium. Inoltre, il $70\%$ degli utenti Premium guarda serie di fantascienza ($C$), mentre solo il $30\%$ degli utenti Standard le guarda. Scelto un utente a caso:

1. a) Calcola la probabilità che guardi serie di fantascienza.
2. b) Se l'utente scelto sta guardando una serie di fantascienza, qual è la probabilità che sia un utente Premium?
3. c) Gli eventi "Essere utente Premium" e "Guardare serie di fantascienza" sono indipendenti? Giustifica matematicamente mediante le proprietà della probabilità condizionata.

A partire da dati adattati dall'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) sulla dotazione e sull'uso delle tecnologie tra i giovani italiani di 16-24 anni, si sa che la probabilità che un giovane usi ogni giorno una piattaforma di video on demand (evento $V$) è $0,80$, e quella che ascolti podcast abitualmente (evento $P$) è $0,45$. Inoltre, la probabilità che non svolga nessuna di queste due attività è solo $0,05$.\na) Modella la condizione «non svolge nessuna delle due attività» mediante operazioni tra insiemi e, applicando le leggi di De Morgan e la proprietà dell'evento contrario, calcola la probabilità dell'unione $P(V \cup P)$.\nb) Determina la probabilità che un giovane scelto a caso svolga entrambe le attività, $P(V \cap P)$.\nc) Un'agenzia pubblicitaria afferma che almeno il $20\,\%$ dei giovani ascolta podcast abitualmente ma non consuma video on demand ogni giorno ($P \cap \overline{V}$). Utilizzando la scomposizione degli eventi in parti incompatibili ($P = (P \cap V) \cup (P \cap \overline{V})$), dimostra in modo motivato se tale affermazione è vera o falsa.

Considera due eventi $A$ e $B$ di uno spazio campionario le cui probabilità dipendono da un parametro reale $k$, in modo che $P(A) = 2k$ e $P(B) = 3k - 0,1$. Si sa che la probabilità che si verifichi esattamente uno dei due eventi è uguale a $0,5$.\na) Esprimi l'evento «si verifica esattamente uno dei due eventi» mediante operazioni tra insiemi e dimostra che la sua probabilità equivale a $P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$.\nb) Supponendo in primo luogo che $A$ e $B$ siano eventi incompatibili, determina il valore di $k$ e verifica rigorosamente che le probabilità risultanti per $A$ e $B$ soddisfano gli assiomi di Kolmogorov ($0 \leq P(S) \leq 1$ e $P(A \cup B) \leq 1$).\nc) Se ora si ammette che $A$ e $B$ possano essere compatibili e si fissa $k = 0,20$, determina il valore che deve necessariamente avere $P(A \cap B)$ per mantenere la condizione iniziale e giustifica se tale valore rispetta i limiti teorici ammessi per l'intersezione.

Siano $A$, $B$ e $C$ tre eventi di uno stesso esperimento aleatorio tali che formano un sistema completo di eventi. Si conoscono le seguenti relazioni tra le loro probabilità:

• La probabilità di $A$ è il doppio di quella di $B$.

• La probabilità dell'unione di $B$ e $C$ è il triplo della probabilità di $B$.

Dimostra, utilizzando gli assiomi di Kolmogorov e le proprietà della probabilità, se è possibile che $P(C) = 0,4$. In caso negativo, determina il valore esatto delle probabilità di ciascun evento.

In un sistema di sicurezza ridondante per un'infrastruttura di server, vengono installati tre nodi di controllo ($N_1, N_2, N_3$). Si sa che il sistema si guasta se almeno due dei nodi cadono simultaneamente. Le probabilità di guasto di ciascun nodo sono $P(N_1) = 0,05$, $P(N_2) = 0,08$ e $P(N_3) = 0,10$.

Poiché condividono la stessa rete elettrica, i guasti non sono indipendenti. Si sa che:

• La probabilità che si guastino il primo e il secondo nodo è $P(N_1 \cap N_2) = 0,02$.

• La probabilità che si guastino il secondo e il terzo è $P(N_2 \cap N_3) = 0,03$.

• La probabilità che si guastino il primo e il terzo è $P(N_1 \cap N_3) = 0,01$.

• La probabilità che si guastino tutti e tre contemporaneamente è $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0,005$.

1. a) Disegna un diagramma di Venn con i tre eventi $N_1$, $N_2$ e $N_3$ all'interno dello spazio campionario e calcola la probabilità di ciascuna delle otto regioni (inclusa quella esterna ai tre cerchi).

1. b) Calcola la probabilità che il sistema globale non si guasti, cioè che si guasti al massimo un nodo. Aiutati con il diagramma del punto precedente per motivare la tua risposta.

Dimostra formalmente la seguente generalizzazione delle leggi di De Morgan per tre eventi utilizzando esclusivamente le proprietà delle operazioni tra insiemi e gli assiomi della probabilità:

Successivamente, utilizza questo risultato per risolvere il seguente problema: In un'azienda di sviluppo software, il $60\%$ dei dipendenti padroneggia Python, il $40\%$ Java e il $30\%$ C++. Si sa che il $20\%$ padroneggia Python e Java, il $15\%$ Java e C++, e il $10\%$ Python e C++. Se solo il $5\%$ padroneggia tutti e tre i linguaggi, calcola la probabilità che un dipendente scelto a caso non conosca nessuno di questi tre linguaggi di programmazione.

Un ingegnere aeronautico analizza l'affidabilità di un componente critico. Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = \frac{1}{3}$ e $P(B) = p$.

1. Se $A$ e $B$ sono indipendenti, esprimi la probabilità che si verifichi esattamente uno dei due eventi in funzione di $p$.

2. Se $A$ e $B$ sono incompatibili, qual è il valore massimo che può assumere $p$?

3. Determina il valore di $p$ affinché la probabilità che non si verifichi né $A$ né $B$ sia uguale a $\frac{1}{4}$, supponendo che $A$ e $B$ siano indipendenti.

In una rete di sensori IoT, due sensori $S_1$ e $S_2$ rilevano anomalie termiche in modo indipendente. La probabilità che il sensore $S_1$ rilevi un'anomalia è $P(S_1) = x$ e quella del sensore $S_2$ è $P(S_2) = y$.

Si definisce un nuovo evento $Z$ come il fatto che l'anomalia sia rilevata da almeno uno dei due sensori. Se sappiamo che $P(Z) = 0,8$ e che la probabilità che entrambi i sensori falliscano simultaneamente è il quadruplo della probabilità che entrambi rilevino, imposta un sistema di equazioni e calcola i valori di $x$ e $y$ (supponendo $x < y$).

Considera due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio. Si sa che $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$.

Basandoti sugli assiomi di Kolmogorov, dimostra che:

1. Il valore minimo possibile per $P(A \cap B)$ è $0,3$.

2. Il valore massimo possibile per $P(A \cap B)$ è $0,6$.

3. Se si aggiunge un terzo evento $C$ tale che $P(C) = 0,8$, qual è il valore minimo della probabilità che si verifichino tutti e tre gli eventi contemporaneamente, $P(A \cap B \cap C)$? Giustifica la tua risposta utilizzando la disuguaglianza di Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

In un laboratorio di biotecnologie si studia la reazione di una proteina a due reagenti, $\alpha$ e $\beta$. La probabilità di reazione a $\alpha$ è $P(\alpha) = 0,4$. La probabilità che non reagisca a nessuno dei due è $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0,3$.

Se indichiamo con $R$ l'evento "la proteina reagisce a esattamente uno dei due reagenti", e sappiamo che $P(R) = 0,5$, determina:

1. a) La probabilità di reazione al reagente $\beta$.
2. b) Gli eventi reagire a $\alpha$ e reagire a $\beta$ sono indipendenti? Giustifica la tua risposta con dei calcoli.
3. c) Sono compatibili?

Sia dato uno spazio campionario $E$ e due eventi $A, B \subset E$ con probabilità non nulle. Si definisce la "differenza simmetrica" tra gli eventi come $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Se sappiamo che $P(A \Delta B) = 0,6$ e che $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calcola $P(A \cap B)$.

2. Se inoltre vale $P(A | B) = 0,4$, trova i valori individuali di $P(A)$ e $P(B)$.

3. Utilizzando i valori ottenuti, verifica se vale l'identità $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$.

Dimostra, utilizzando esclusivamente gli assiomi di Kolmogorov e le proprietà delle operazioni tra eventi (come $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ essendo questi ultimi incompatibili), la formula generale per la probabilità dell'unione di tre eventi qualsiasi $A$, $B$ e $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio le cui probabilità dipendono da un parametro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ e $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sapendo che gli eventi $A$ e $B$ non sono esaustivi (cioè $P(A \cup B) < 1$), determina l'intervallo dei valori possibili per il parametro $x$. Per $x = 1,2$, calcola $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

In un satellite spaziale ci sono tre sensori $S_1$, $S_2$ e $S_3$. Da prove di stress si conoscono le seguenti probabilità di guasto:

• La probabilità che si guasti esclusivamente $S_1$ è $0,10$.

• La probabilità che si guasti esclusivamente $S_2$ è $0,08$.

• La probabilità che si guastino $S_1$ e $S_2$ simultaneamente, ma non $S_3$, è $0,05$.

• La probabilità che si guasti $S_3$ è $0,30$.

• La probabilità che si guastino tutti e tre contemporaneamente è $0,02$.

Sapendo che gli eventi "guasto di $S_1$" e "guasto di $S_3$" sono incompatibili se $S_2$ non si guasta, calcola la probabilità che si guasti almeno uno dei tre sensori.

Due giocatori, Anna e Bruno, lanciano alternativamente una moneta equilibrata. Vince il primo che ottiene "Testa". Anna lancia per prima. Definisci lo spazio campionario infinito di questo esperimento e, utilizzando la somma di una progressione geometrica, calcola la probabilità che ha Bruno di vincere il gioco (cioè che la prima "Testa" esca in un lancio pari).

Nel controllo di qualità di componenti aeronautici si analizzano tre potenziali difetti: termico ($T$), strutturale ($E$) e di montaggio ($M$). Si conoscono le seguenti probabilità registrate:\n$P(T) = 0,12$, $P(E) = 0,08$, $P(M) = 0,06$;\n$P(T \cap E) = 0,03$, $P(T \cap M) = 0,02$, $P(E \cap M) = 0,01$;\ne la probabilità che si presentino tutti e tre i difetti contemporaneamente è $P(T \cap E \cap M) = 0,004$.\nSi vuole calcolare la probabilità che un pezzo scelto a caso sia completamente privo di difetti, cioè $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\na) Confronta due strategie per risolvere il problema:\n- Metodo 1: Calcolare prima $P(T \cup E \cup M)$ mediante il principio di inclusione-esclusione per tre eventi e applicare poi la proprietà dell'evento contrario combinata con le leggi di De Morgan.\n- Metodo 2: Partizionare lo spazio campionario nelle otto regioni disgiunte di un diagramma di Venn, calcolando una a una le probabilità delle sette regioni con difetto per poi sottrarle da $1$.\nGiustifica quale dei due metodi è più efficiente e meno soggetto a errori algebrici in una prova di verifica.\nb) Applica la strategia scelta giustificando ogni uguaglianza con la corrispondente proprietà assiomatica per trovare il valore esatto di $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\nc) Ragiona su come cambierebbe la probabilità di ottenere un pezzo privo di difetti se i tre difetti fossero incompatibili a due a due e spiega perché in tal caso non sarebbe necessario conoscere alcuna intersezione.

L'Agenzia meteorologica monitora tre fenomeni avversi in una zona montana durante l'inverno: allerta per nevicata ($N$), allerta per raffiche di vento di forza uragano ($V$) e allerta per gelata severa ($H$). I registri meteorologici stabiliscono che:\n- $P(N) = 0,40$, $P(V) = 0,35$ e $P(H) = 0,50$.\n- La fitta copertura nuvolosa che accompagna le nevicate impedisce per ragioni fisiche che si verifichi una gelata per irraggiamento notturno, quindi gli eventi $N$ e $H$ sono mutuamente esclusivi ($N \cap H = \emptyset$).\n- La probabilità di allerta congiunta per nevicata e vento è $P(N \cap V) = 0,15$.\na) Scrivi la probabilità che si attivi almeno un'allerta, $P(N \cup V \cup H)$, mediante la regola generale di inclusione-esclusione per tre eventi, e semplificala deducendo in modo motivato il valore di $P(N \cap V \cap H)$.\nb) Se si constata che $P(V \cap H) = 0,10$, calcola in modo giustificato la probabilità che la zona trascorra una giornata invernale completamente priva di allerte meteorologiche e interpreta il significato del risultato ottenuto.\nc) Supponi ora che il valore concreto di $P(V \cap H)$ sia sconosciuto. Dimostra, applicando con rigore gli assiomi di Kolmogorov ($P(E) = 1$ e additività per eventi disgiunti nei sottoinsiemi di $V$), che il valore di $P(V \cap H)$ può variare solo nell'intervallo $[0,10;\ 0,20]$ affinché il modello sia matematicamente coerente.