Esercizi: Esperimenti aleatori

Classifica i seguenti esperimenti come deterministici o aleatori, giustificando brevemente la risposta in ciascun caso:

1. a) Lasciar cadere uno smartphone da un metro di altezza e osservare se cade verso il suolo.
2. b) Aprire una playlist in modalità casuale e annotare quale è la prima canzone che parte.
3. c) Calcolare il tempo che impiega un'auto a percorrere $200$ km se viaggia a una velocità costante di $100$ km/h.
4. d) Chiedere alla prima persona che incontri per strada in quale mese è nata.
5. e) Estrarre una carta da un mazzo di $40$ carte napoletane e osservarne il seme.

Uno studente ha nell'astuccio tre penne di colori diversi: Blu (B), Nera (N) e Rossa (R). Decide di estrarre due penne consecutivamente e senza rimettere la prima nell'astuccio.

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$ di questo esperimento.
2. b) Indica quanti eventi elementari formano tale spazio campionario.
3. c) Definisci l'evento composto $S = \text{"estrarre la penna blu in qualsiasi posizione"}$.

Consideriamo l'esperimento aleatorio che consiste nel lanciare un dado tetraedrico (4 facce) con le facce numerate da $1$ a $4$, e una moneta da $1$ euro. Annotiamo il numero della faccia inferiore del dado e se la moneta mostra testa $(C)$ o croce $(X)$.

1. a) Utilizza un diagramma ad albero per rappresentare tutti i risultati possibili.
2. b) Scrivi lo spazio campionario $E$.
3. c) Determina gli elementi dell'evento $A = \text{"ottenere un numero pari con il dado e testa con la moneta"}$.

In una classe di quinta liceo si analizzano gli abbonamenti alle piattaforme di streaming. Chiamiamo $A$ l'evento "essere abbonato a Netflix" e $B$ l'evento "essere abbonato a Spotify". Esprimi a parole il significato dei seguenti eventi legati alle operazioni tra insiemi:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o evento contrario di $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Un videogioco di ruolo permette di creare un personaggio scegliendo tra due fazioni: Guerriero (G) o Mago (M). Inoltre, il personaggio può appartenere a tre razze: Umano (H), Elfo (E) o Nano (D).

Si sceglie un personaggio a caso dal server di gioco.

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$ utilizzando la nomenclatura delle iniziali (per esempio, $GH$ per Guerriero Umano).
2. b) Descrivi l'evento $S = \text{"il personaggio non è un Mago"}$.
3. c) Se chiamiamo $A$ l'evento $\text{"il personaggio è un Elfo"}$, indica quali elementi compongono l'evento contrario $\bar{A}$.

Sia $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ lo spazio campionario di un esperimento aleatorio. Dati gli eventi $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, ottieni i seguenti insiemi:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifica se vale la prima legge di De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta la distribuzione degli studenti che praticano Basket ($B$) e Calcio ($F$) in un centro sportivo comunale.

A partire dal grafico, definisci mediante operazioni tra eventi le seguenti regioni:

1. a) Studenti che praticano entrambi gli sport.
2. b) Studenti che praticano basket ma non calcio.
3. c) Studenti che praticano almeno uno dei due sport.
4. d) Studenti che non praticano nessuno dei due sport citati.

Estraiamo una pallina da un'urna che contiene $5$ palline numerate da $1$ a $5$. Indica se i seguenti eventi sono possibili, certi o impossibili:

1. a) $A = \text{"ottenere un numero maggiore di 0"}$.
2. b) $B = \text{"ottenere il numero 7"}$.
3. c) $C = \text{"ottenere un numero pari"}$.
4. d) $D = \text{"ottenere un numero minore o uguale a 5"}$.
5. e) $F = \text{"ottenere un numero negativo"}$.

Ugo, studente di quinta liceo, analizza il controllo di qualità di componenti elettronici in uno stabilimento automobilistico in Piemonte. Per ogni componente scelto a caso, definisce gli eventi $A$: «il componente presenta un difetto elettrico» e $B$: «il componente presenta un difetto meccanico». Nello scrivere il rapporto tecnico, Ugo afferma: «L'evento consistente nel fatto che un componente non presenti nessuno dei due difetti si esprime formalmente come $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Trova l'errore concettuale commesso da Ugo e spiega con precisione quale tipo di componenti è realmente rappresentato dall'unione $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Correggi la sua proposta scrivendo in modo matematicamente rigoroso l'evento «il componente non presenta nessuno dei due difetti» in due forme equivalenti: prima come intersezione di eventi e poi applicando le leggi di De Morgan a partire da un'unione.

In uno studio sulla puntualità del trasporto pubblico della Lombardia, si analizza la linea S5 del servizio ferroviario suburbano tra due stazioni. Considera le seguenti tre situazioni associate a un tragitto:\n1. Misurare la distanza esatta in chilometri del tracciato ferroviario tra le due stazioni.\n2. Registrare se un treno programmato alle $14{,}15\text{ h}$ arriva a destinazione con un ritardo superiore a $3$ minuti rispetto all'orario ufficiale.\n3. Calcolare il tempo esatto che impiegherà un convoglio sapendo in anticipo che viaggerà a una velocità costante fissata automaticamente dal computer di $60\text{ km/h}$ su un tratto rettilineo di $15\text{ km}$.\na) Classifica con motivazione ciascuna delle tre situazioni come esperimento deterministico o aleatorio.\nb) Per la situazione 2, descrivi formalmente il suo spazio campionario $E_1$. Se si osserva il treno per due giorni lavorativi consecutivi annotando se subisce un ritardo superiore a $3$ minuti ($R$) o se è puntuale ($P$), scrivi lo spazio campionario composto $E_2$ ed elenca gli eventi elementari che formano l'evento $S$: «il treno subisce ritardo al massimo in uno dei due giorni».

In un esperimento aleatorio, lo spazio campionario è formato da un insieme di numeri interi positivi $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Si definiscono tre eventi $A$, $B$ e $C$ di cui si conosce la seguente informazione:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ è un evento incompatibile con $A$ ($A \cap C = \emptyset$), ma compatibile con $B$, e vale che $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. Il numero di eventi elementari che formano $C$ è uguale a $3$.\na) Ricostruisci con motivazione gli insiemi che definiscono gli eventi $A$, $B$, $C$ e lo spazio campionario completo $E$, determinando il valore della cardinalità $n$.\nb) Esprimi mediante operazioni formali tra insiemi (unioni, intersezioni o complementari) e scrivi esplicitamente gli elementi dell'evento: «si verifica esattamente uno dei tre eventi ($A$, $B$ o $C$)».

Un gruppo di analisti di dati di una piattaforma di e-commerce con sede in Italia classifica ogni reclamo secondo due fattori: il canale di ingresso (Telefono, Web, App mobile) e il reparto di risoluzione assegnato (Logistica, Fatturazione, Garanzie, Assistenza clienti). L'esperimento aleatorio consiste nel registrare entrambi i fattori per il prossimo reclamo ricevuto.\na) Senza scrivere l'elenco dettagliato dei casi, fai una stima intuitiva di quanti risultati elementari compongono lo spazio campionario $E$ e di quanti eventi distinti in totale (sottoinsiemi di $E$) si possono definire teoricamente in questo esperimento. Verifica le tue stime calcolando la cardinalità di $E$ mediante il principio moltiplicativo e la cardinalità dell'insieme delle parti $\mathcal{P}(E)$. Commenta se l'ordine di grandezza del numero totale di eventi corrisponde alla tua intuizione iniziale.\nb) Si definiscono gli eventi $A$: «il reclamo non arriva dall'App mobile» e $B$: «il reclamo è assegnato a Logistica o Fatturazione». Descrivi con precisione il significato verbale dell'evento $\overline{A \cup B}$, trasformalo applicando le leggi di De Morgan e determina quanti eventi elementari lo compongono.\nc) Giustifica analiticamente se gli eventi $A$ e $\overline{B}$ sono compatibili o incompatibili.

In un ambiente di sviluppo di applicazioni mobili, un programmatore sta testando la sicurezza di un sistema di accesso. Si definisce un esperimento aleatorio consistente nel generare una chiave casuale di 4 cifre usando soltanto i numeri $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si considerano i seguenti eventi:

• $A$: "La chiave contiene almeno due cifre uguali consecutive".

• $B$: "La somma delle cifre della chiave è un numero primo maggiore di 15".

• $C$: "La chiave è palindroma (si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra)".

Descrivi dettagliatamente lo spazio campionario $E$ indicandone la cardinalità e usa l'algebra degli eventi per esprimere simbolicamente i seguenti eventi:

1. a) La chiave non è palindroma oppure la somma delle sue cifre non è un numero primo maggiore di 15.

1. b) La chiave è palindroma e ha almeno due cifre uguali consecutive, ma la somma delle sue cifre non è un numero primo maggiore di 15.

1. c) Dimostra se gli eventi $A$ e $C$ sono compatibili o incompatibili, giustificando la risposta con un esempio di un elemento dello spazio campionario.

Un satellite per telecomunicazioni invia raffiche di dati composte da sequenze binarie di lunghezza $n=3$. A causa del rumore cosmico, ogni bit ha una probabilità di essere alterato. Definiamo lo spazio campionario $E$ come l'insieme di tutte le terne binarie possibili. Siano gli eventi:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Usando le leggi di De Morgan, semplifica al massimo l'espressione dell'evento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Una volta semplificata, descrivi a parole quale caratteristica comune hanno le sequenze che formano tale evento $S$ rispetto al numero di "uno" presenti nella raffica.

In un laboratorio di genetica si studia la mutazione di una catena di DNA rappresentata da quattro basi azotate consecutive $\{A, C, G, T\}$. L'esperimento consiste nell'osservare una catena di 3 posizioni. Si considerano gli eventi:

• $M$: "La catena contiene almeno una base $G$".

• $N$: "La catena inizia con $A$ o termina con $T$".

Determina il numero di elementi dei seguenti eventi usando tecniche di conteggio:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Spiega con una motivazione se l'insieme di eventi $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma una partizione dello spazio campionario $E$.

Consideriamo un esperimento aleatorio il cui spazio campionario è l'insieme dei numeri interi positivi, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definiamo gli eventi:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ è multiplo di } k\}$ per ogni $k \in \{2, 3, 5\}$.

Esprimi in funzione di $A_2$, $A_3$ e $A_5$ i seguenti eventi e determina i loro cinque elementi più piccoli:

1. a) "Il numero è multiplo di 2 e di 3, ma non di 5".

1. b) "Il numero è multiplo di uno solo dei tre valori $\{2, 3, 5\}$".

1. c) "Il numero non è multiplo di nessuno dei tre valori".

Un sistema robotico di smistamento pacchi commette errori in modo casuale. Analizzando lo storico di 1000 pacchi, si definiscono gli eventi:

• $A$: "Il pacco ha un peso errato".

• $B$: "Il pacco ha un codice a barre illeggibile".

• $C$: "Il pacco è stato inviato su un percorso sbagliato".

Si sa che nessun pacchetto presenta contemporaneamente i tre errori ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Se indichiamo con $n(X)$ il numero di pacchetti nell'evento $X$, si ha:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ e $n(B \cap C) = 5$.

Calcola il numero di elementi dei seguenti eventi ed esprimili mediante operazioni tra insiemi:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Si effettua un esperimento aleatorio che consiste nel lanciare una freccetta a un bersaglio circolare di raggio $R$. Il risultato dell'esperimento è la distanza $d$ dal centro del bersaglio al punto di impatto. Definiamo gli eventi:

• $S_1$: "La freccetta colpisce a una distanza $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "La freccetta colpisce a una distanza $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilizzando la notazione degli intervalli per il valore di $d$:

1. Definisci lo spazio campionario $E$.

2. Determina gli intervalli corrispondenti agli eventi $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ e $S_1 - S_2$.

3. Trova l'evento complementare di $S_1 \cup S_2$ e spiega il suo significato fisico nel contesto del gioco.

Siano $A, B$ e $C$ tre eventi qualsiasi di un esperimento aleatorio. Dimostra formalmente, utilizzando le proprietà dell'algebra degli eventi (distributiva, complementarità, ecc.), la seguente identità:

Spiega che nome ha questa operazione nella teoria degli insiemi e rappresenta l'evento risultante mediante un diagramma di Venn con la zona opportuna colorata.

In un torneo di e-sports, tre giocatori ($P_1, P_2, P_3$) si sfidano in partite a eliminazione "1 contro 1". L'esperimento consiste nel registrare il vincitore di ogni partita finché un giocatore non vince due partite consecutive o si sono giocate al massimo 4 partite.

1. Disegna il diagramma ad albero che rappresenta questo esperimento aleatorio sapendo che nella prima partita giocano $P_1$ contro $P_2$, e chi perde viene sostituito dal giocatore che aspettava ($P_3$).

2. Scrivi esplicitamente tutti gli elementi dello spazio campionario $E$.

3. Definisci l'evento $X$: "Il giocatore $P_3$ gioca almeno due partite" e l'evento $Y$: "Il torneo termina alla terza partita". $X$ e $Y$ sono eventi incompatibili? Giustificalo analizzando la loro intersezione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un nuovo gioco da tavolo strategico, un giocatore deve lanciare un dado tetraedrico (facce numerate da $1$ a $4$) e, contemporaneamente, estrarre una carta da un mazzo ridotto che contiene soltanto i quattro assi e i quattro re del mazzo di carte napoletane.

Considerando l'esperimento aleatorio di annotare il numero del dado e il valore della carta (Asso o Re):

1. a) Descrivi lo spazio campionario $E$ dell'esperimento.
2. b) Siano gli eventi:

$A$ = "Ottenere un numero pari sul dado".

$B$ = "Ottenere un Asso di qualsiasi seme".

$C$ = "Ottenere un numero minore di $3$ sul dado e la carta è un Re".

Determina gli elementi che compongono gli eventi $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Un'azienda di cybersicurezza analizza i tentativi di accesso a un server. Considera lo spazio campionario $\Omega$ formato da tutti i possibili accessi, che in base al loro stato si classificano in: $L$ (Legittimo), $S$ (Sospetto) e $M$ (Malevolo). Si sa che un sistema di filtraggio automatico classifica gli accessi in due categorie: $F$ (Filtrato) e $P$ (Consentito).

Utilizzando i diagrammi di Venn, rappresenta la situazione e definisci simbolicamente i seguenti eventi:

1. a) L'accesso è malevolo o sospetto, ma è stato consentito.
2. b) L'accesso non è malevolo ed è stato filtrato.
3. c) Si verifica la seconda legge di De Morgan per gli eventi "Accesso malevolo" ($M$) e "Accesso filtrato" ($F$).

In un laboratorio di robotica si stanno testando due sensori indipendenti, $S_1$ e $S_2$. L'esperimento consiste nel verificare se ciascun sensore si attiva ($1$) o no ($0$) in risposta a uno stimolo.

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$.
2. b) Descrivi l'evento contrario di $A$, dove $A$ = "Almeno uno dei sensori si attiva".
3. c) Se definiamo l'evento $B$ = "I due sensori si comportano in modo identico", determina $A \cap B$ e l'evento differenza $B - A$.

Un adolescente decide di organizzare la sua playlist per studiare. Ha $3$ canzoni di genere Lo-fi, $2$ di Jazz e $2$ di Indie. L'esperimento consiste nello scegliere due canzoni a caso, una dopo l'altra, senza ripetizione (senza reinserimento).

1. a) Rappresenta l'esperimento mediante un diagramma ad albero, indicando su ogni ramo i possibili generi risultanti.

1. b) Trova il numero totale di risultati possibili dello spazio campionario (considerando le canzoni come elementi distinguibili).

1. c) Descrivi l'evento composto "Le due canzoni scelte sono di genere diverso".

Consideriamo l'esperimento aleatorio che consiste nel lanciare un dado ottaedrico (facce da $1$ a $8$) e un normale dado cubico (facce da $1$ a $6$). Definiamo i seguenti eventi:

$A$ = "La somma dei punti è un numero primo".

$B$ = "Il prodotto dei punti è un multiplo di $10$".

1. a) $A$ e $B$ sono eventi compatibili o incompatibili? Giustifica la risposta indicando almeno un elemento dell'intersezione, se esiste.
2. b) Calcola il numero di elementi dell'evento contrario di $B$.

Si realizza uno studio sull'uso dei social network in un liceo. Si scelgono due studenti a caso e si chiede loro se usano abitualmente il social $X$ e il social $Y$. Sia $x_i$ l'evento "lo studente $i$ usa il social $X$" e $y_i$ l'evento "lo studente $i$ usa il social $Y$".

Esprimi simbolicamente, utilizzando le operazioni di unione, intersezione e complementare, i seguenti eventi:

1. a) Solo il primo studente usa entrambi i social network.
2. b) Almeno uno dei due studenti usa il social $X$ ma nessuno usa il social $Y$.
3. c) I due studenti hanno esattamente le stesse abitudini d'uso rispetto a questi due social network.

Un'urna della tombola contiene $10$ palline numerate da $0$ a $9$. Si estraggono tre palline successivamente e senza reinserimento per formare un numero di tre cifre (la prima pallina corrisponde alle centinaia, la seconda alle decine e la terza alle unità; sono ammessi anche i risultati che iniziano con $0$, come $047$).

1. a) Quanti elementi ha lo spazio campionario $E$?
2. b) Descrivi l'evento $S$ = "Il numero formato è palindromo".
3. c) Descrivi l'evento $M$ = "Il numero formato è multiplo di $5$ e maggiore di $700$".

Sia $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ lo spazio campionario di un esperimento aleatorio. Consideriamo gli eventi $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ e $C = \{1, 2, 3\}$.

Trova gli insiemi risultanti dalle seguenti operazioni e verifica se sussiste qualche relazione di inclusione tra essi:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ rappresenta l'evento complementare di $C$.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) progetta uno studio sulle abitudini di mobilità sostenibile in cui classifica i cittadini secondo tre eventi compatibili: $A$ («usa abitualmente la bicicletta»), $B$ («usa abitualmente il trasporto pubblico») e $C$ («si sposta abitualmente a piedi»). Per un rapporto tecnico, un analista formula la seguente condizione di inclusione degli utenti:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nPer semplificare $S$ e dedurre a quale evento equivale in forma irriducibile, si propongono due strade:\n- Metodo 1 (Algebra diretta degli eventi): Applicare le proprietà distributive, associative e del complementare ($X \cup \overline{X} = E$).\n- Metodo 2 (Complementazione e De Morgan): Negare due volte l'espressione totale ($\overline{\overline{S}}$) e trasformare le unioni in intersezioni di complementari.\na) Sviluppa completamente il Metodo 1, indicando esplicitamente quale proprietà algebrica giustifica ogni passaggio fino a ottenere l'espressione minima di $S$.\nb) Imposta l'inizio del Metodo 2, analizza in modo motivato le difficoltà algebriche che emergono rispetto al Metodo 1 e giustifica quale dei due procedimenti è più efficiente e meno soggetto a errori per semplificare questo tipo di espressioni.\nc) Utilizzando l'espressione ridotta ottenuta in (a), semplifica l'evento $\overline{S \cup B}$ applicando rigorosamente le leggi di De Morgan e interpreta il suo significato sociologico nel contesto della mobilità urbana.

Terna modellizza la sicurezza della fornitura elettrica tra una centrale di generazione rinnovabile $G$ e una zona industriale $P$. La rete dispone di tre interruttori automatici: $I_1$, $I_2$ e $I_3$. La corrente fluisce da $G$ a $P$ se rimane chiuso almeno un percorso: un percorso diretto che dipende esclusivamente dall'interruttore $I_1$, e un percorso alternativo formato dagli interruttori $I_2$ e $I_3$ collegati in serie (devono funzionare entrambi contemporaneamente perché il percorso alternativo conduca energia).\nSi considerano gli eventi di guasto di ciascun interruttore in caso di sovraccarico: $F_1$ («si guasta l'interruttore $I_1$»), $F_2$ («si guasta l'interruttore $I_2$») e $F_3$ («si guasta l'interruttore $I_3$»).\na) Modella in termini di $F_1$, $F_2$ e $F_3$, mediante operazioni tra eventi ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- L'evento $C$: «la fornitura elettrica tra $G$ e $P$ si interrompe totalmente».\n- L'evento $O$: «la fornitura elettrica tra $G$ e $P$ resta operativa».\nb) Dimostra formalmente, mediante le leggi di De Morgan e le proprietà distributive dell'algebra degli eventi, che la tua espressione di $O$ è rigorosamente uguale al complementare di $C$ (cioè $O = \overline{C}$).\nc) Supponi che gli interruttori $I_1$ e $I_2$ dispongano di un sistema fisico differenziale condiviso che impedisce che si guastino entrambi contemporaneamente, così che $F_1$ e $F_2$ siano eventi incompatibili ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Ragiona se questa restrizione tecnica permette di semplificare l'espressione booleana dell'evento di interruzione totale $C$ e determina se gli eventi $F_1$ e $(F_2 \cup F_3)$ sono o no compatibili sotto tale condizione.