Esercizi: Diagrammi ad albero e tabelle di contingenza

In uno studio sull'uso dei social network in un liceo di Roma, si è osservato che in un gruppo di $100$ studenti di liceo, $65$ usano abitualmente TikTok e $45$ usano Instagram. Inoltre, si sa che $25$ studenti usano entrambe le piattaforme.

Rappresenta questi dati in una tabella di contingenza (con le righe «TikTok» e «No TikTok», le colonne «Instagram» e «No Instagram», e i totali di righe e colonne) e calcola la probabilità che, scegliendo uno studente a caso:

1. a) Non usi nessuno dei due social network.

1. b) Usi TikTok, sapendo che usa già Instagram.

Una scatola di forniture tecnologiche contiene $8$ mouse wireless di colore bianco e $4$ di colore nero. Se si estraggono successivamente due mouse senza reinserimento:

1. a) Disegna il diagramma ad albero che descrive tutti i risultati possibili, indicando le probabilità su ogni ramo.
2. b) Calcola la probabilità che i due mouse estratti siano dello stesso colore.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Uno studente dell'ultimo anno di liceo sostiene un esame finale di Fisica. Si sa che il $70\%$ degli studenti che hanno studiato con la piattaforma digitale della scuola è stato promosso, mentre solo il $40\%$ di quelli che non l'hanno usata ha ottenuto la sufficienza. Si stima che il $60\%$ della classe abbia utilizzato tale piattaforma.

Utilizzando un diagramma ad albero, determina:

1. a) La probabilità che uno studente scelto a caso abbia superato l'esame.
2. b) Se sappiamo che uno studente non ha superato l'esame, qual è la probabilità che non abbia usato la piattaforma digitale?

In una scuola di lingue, gli studenti si dividono in base al corso che frequentano: il $50\%$ studia Inglese, il $30\%$ Francese e il $20\%$ Tedesco. Inoltre, si sa che la percentuale di donne in ciascun corso è rispettivamente del $60\%$, $55\%$ e $45\%$.

Se si sceglie uno studente a caso, costruisci una tabella di contingenza (considerando un totale ipotetico di 1000 studenti) e calcola:

1. a) La probabilità che lo studente sia maschio.
2. b) Sapendo che lo studente è maschio, la probabilità che studi Inglese.

Abbiamo due urne preparate per un'estrazione. L'Urna A contiene $3$ palline verdi e $2$ rosse. L'Urna B contiene $1$ pallina verde e $4$ rosse. L'esperimento consiste nel lanciare una moneta: se esce testa, estraiamo una pallina dall'Urna A; se esce croce, la estraiamo dall'Urna B.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero.
2. b) Calcola la probabilità che la pallina estratta sia rossa.

Un laboratorio di riparazione di cellulari riceve dispositivi con due tipi principali di guasti: schermo rotto o batteria difettosa. Il mese scorso, dei $200$ cellulari riparati, $120$ avevano lo schermo rotto, $70$ avevano problemi di batteria e $30$ avevano entrambi i guasti.

Organizza le informazioni in una tabella di contingenza e rispondi:

1. a) Qual è la probabilità che un cellulare scelto a caso abbia solo lo schermo rotto?

1. b) Se il cellulare ha la batteria difettosa, qual è la probabilità che abbia anche lo schermo rotto?

In un'azienda di produzione di componenti elettronici si usano due macchine, $M_1$ e $M_2$, per produrre chip. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei chip e il resto lo produce $M_2$. Il $2\%$ dei chip di $M_1$ è difettoso, mentre per $M_2$ la percentuale di difettosi è del $5\%$.

1. a) Costruisci il diagramma ad albero associato a questo processo produttivo.
2. b) Se si seleziona un chip a caso e risulta difettoso, qual è la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina $M_1$?

È stato svolto un sondaggio su $80$ persone riguardo alle loro abitudini di lettura in formato digitale o cartaceo. I risultati mostrano che $32$ persone leggono esclusivamente su carta, $28$ persone leggono in entrambi i formati e le restanti leggono esclusivamente in digitale.

1. a) Elabora una tabella di contingenza che riassuma questi dati.
2. b) Calcola la probabilità che una persona scelta a caso legga in formato digitale.
3. c) Se sappiamo che la persona legge su carta, qual è la probabilità che legga anche in digitale?

Paolo e Clara preparano una lotteria di beneficenza di fine anno con un'urna che contiene esattamente $10$ chiavette USB apparentemente identiche: $3$ sono di $64\text{ GB}$ e $7$ sono di $128\text{ GB}$. Il gioco consiste nell'estrarre due chiavette consecutivamente senza reinserimento. Paolo vuole calcolare la probabilità che entrambe le chiavette siano di $64\text{ GB}$ e scrive alla lavagna:

$$P(\text{entrambe di } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Quando Clara gli fa notare che il risultato è sbagliato, Paolo si difende dicendo: «La proporzione di chiavette di $64\text{ GB}$ nella scatola è di $3$ su $10$; quella probabilità è una proprietà fissa delle chiavette e non può cambiare per il semplice fatto che io ne estragga una».

1. a) Spiega in modo motivato l'errore concettuale di Paolo. Quale regola dei diagrammi ad albero ha violato e cosa significa in questo contesto che i rami del secondo stadio riportano probabilità condizionate a quanto già avvenuto?
2. b) Modella l'esperimento descrivendo i rami che partirebbero da ciascun nodo in un diagramma ad albero corretto (con le loro probabilità precise).
3. c) Calcola la probabilità reale che entrambe le chiavette siano di $64\text{ GB}$ e la probabilità che almeno una delle due sia di $128\text{ GB}$.

In un liceo del Piemonte sono iscritti $200$ studenti all'ultimo anno. Di essi, $120$ frequentano l'indirizzo scientifico, mentre i restanti $80$ frequentano l'indirizzo umanistico. Tra gli studenti dello scientifico, $30$ hanno scelto il Francese come materia opzionale. Tra quelli dell'umanistico, $40$ studiano Francese.

1. a) Vengono proposti due modi di organizzare l'informazione: un diagramma ad albero sequenziale o una tabella di contingenza a doppia entrata ($2 \times 2$). Spiega quale delle due rappresentazioni è più diretta, chiara e adatta quando i dati descrivono caratteristiche simultanee di una popolazione fissa anziché fasi temporali successive.
2. b) Costruisci una tabella di contingenza completando tutte le celle interne (intersezioni) e i totali marginali per righe e per colonne a partire dai dati forniti.
3. c) Utilizzando esclusivamente le somme e le celle della tabella, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso frequenti l'indirizzo di Umanistica e Scienze sociali sapendo che non studia Francese.

Una piattaforma di streaming offre due tipi di abbonamento: Standard e Premium. Si sa che il $60 \%$ degli utenti ha l'abbonamento Standard, mentre gli altri hanno il Premium. Tra gli utenti con abbonamento Standard, il $25 \%$ guarda contenuti in risoluzione 4K, mentre tra gli utenti Premium questa percentuale sale al $80 \%$.

Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero e calcola:

1. a) La probabilità che un utente scelto a caso guardi contenuti in 4K.

1. b) Se sappiamo che un utente sta guardando un film in 4K, qual è la probabilità che abbia un abbonamento Standard?

In un liceo di Roma è stato svolto un sondaggio sull'uso dei social network negli ultimi anni di liceo. I dati sono stati organizzati nella seguente tabella di contingenza, anche se alcuni valori sono andati persi:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Totale
Quarto anno	$45$		$110$
Quinto anno		$60$
Totale	$85$		$210$

1. a) Completa la tabella di contingenza sul tuo quaderno.
2. b) Se scegliamo uno studente a caso e risulta essere di quinto anno, qual è la probabilità che il suo social preferito sia Instagram?
3. c) Gli eventi "essere di quarto anno" e "preferire TikTok" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta matematicamente.

Un'azienda tecnologica produce componenti per droni in tre stabilimenti diversi: $F_1$, $F_2$ e $F_3$. Il $40 \%$ della produzione totale proviene da $F_1$, il $35 \%$ da $F_2$ e il resto da $F_3$. Il controllo qualità indica che la percentuale di componenti difettosi è del $3 \%$ in $F_1$, del $2 \%$ in $F_2$ e del $5 \%$ in $F_3$.

1. a) Calcola la probabilità che un componente scelto a caso dalla produzione complessiva non sia difettoso.
2. b) Se un cliente acquista un componente e questo risulta difettoso, in quale stabilimento è più probabile che sia stato prodotto? Giustifica il risultato applicando il teorema di Bayes.

Un analista di dati studia la relazione tra l'uso del trasporto pubblico e la puntualità dei dipendenti di un grande ufficio. Dopo aver osservato $500$ lavoratori, ottiene che $350$ usano il trasporto pubblico e gli altri vengono in veicolo privato. Di quelli che usano il trasporto pubblico, il $10 \%$ arriva in ritardo, mentre di quelli che vengono in veicolo privato, il $20 \%$ arriva in ritardo.

1. a) Organizza queste informazioni in una tabella di contingenza di frequenze assolute.
2. b) Qual è la probabilità che un lavoratore scelto a caso arrivi puntuale?
3. c) Se un lavoratore è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che sia venuto con il trasporto pubblico?

In un torneo di eSports, il comitato organizzatore svolge test di rendimento sui giocatori. Si stima che il $5 \%$ dei partecipanti utilizzi qualche tipo di software vietato (imbroglio). Il test usato per rilevare questi imbrogli ha un'affidabilità del $98 \%$ (rileva il software se il giocatore imbroglia), ma ha un $2 \%$ di "falsi positivi" (indica che c'è imbroglio quando il giocatore è in regola).

1. a) Se si sceglie un giocatore a caso, qual è la probabilità che il test dia esito positivo (indicando imbroglio)?
2. b) Se il test di un giocatore è risultato positivo, qual è la probabilità reale che stia imbrogliando? Interpreta il risultato ottenuto.

In un corso di formazione professionale ci sono $10$ studenti che svolgono il tirocinio in azienda, dei quali $6$ sono in aziende tecnologiche e $4$ in aziende industriali. Si scelgono due studenti a caso in modo consecutivo e senza reinserimento.

1. a) Disegna il diagramma ad albero indicando le probabilità su ogni ramo.
2. b) Calcola la probabilità che i due studenti scelti siano nello stesso tipo di azienda.
3. c) Calcola la probabilità che almeno uno sia in un'azienda tecnologica.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si studia l'abitudine alla lettura di due gruppi di persone: Giovani (sotto i 25 anni) e Adulti. Si sa che il $70 \%$ degli intervistati sono Adulti. Il $40 \%$ dei Giovani legge almeno un libro al mese, mentre il $60 \%$ degli Adulti lo fa.

1. a) Costruisci la tabella di contingenza delle probabilità associate (frequenze relative).
2. b) Calcola la probabilità che una persona scelta a caso legga almeno un libro al mese.
3. c) Se una persona afferma di non leggere nessun libro al mese, qual è la probabilità che sia Giovane?

Un'app di navigazione GPS stima il tempo di arrivo a destinazione in base al traffico. Se il traffico è scorrevole (probabilità $0,7$), l'app indovina il tempo stimato il $90 \%$ delle volte. Se il traffico è intenso, indovina solo il $40 \%$ delle volte.

1. a) Calcola la probabilità che l'app non indovini la sua stima del tempo.
2. b) Se oggi l'app ha sbagliato la sua previsione, qual è la probabilità che il traffico fosse scorrevole?

Sul corridoio ferroviario ad alta velocità Roma-Milano competono tre operatori di trasporto passeggeri: Trenitalia, che gestisce il $50\,\%$ dei collegamenti giornalieri; Italo, che opera il $30\,\%$; e un terzo operatore, che copre il restante $20\,\%$. Secondo i dati di puntualità, la probabilità che un treno subisca un ritardo superiore a $15$ minuti è del $3\,\%$ per Trenitalia, del $5\,\%$ per Italo e del $10\,\%$ per il terzo operatore.

1. a) Modella la scelta e il viaggio di un passeggero preso a caso mediante un diagramma ad albero in cui figurino tutti gli eventi semplici, le loro probabilità marginali e le probabilità condizionate di ritardo.
2. b) Se un treno selezionato a caso arriva a destinazione senza ritardo (cioè puntuale o con meno di $15$ minuti di ritardo), qual è la probabilità che il servizio sia stato operato dal terzo operatore?
3. c) Un'associazione di consumatori sostiene sui social: «Poiché il terzo operatore presenta di gran lunga il tasso di ritardi più alto ($10\,\%$), dato un treno che arriva in ritardo alla stazione di Milano Centrale, è molto probabile che appartenga a quell'operatore». Dimostra formalmente, calcolando le probabilità a posteriori di ciascuna compagnia dato un treno in ritardo, se questa affermazione è vera o falsa, e ragiona su quale peso abbia la quota di mercato nella conclusione.

Un sistema di sicurezza informatica di un'infrastruttura critica in Italia è composto da tre barriere di filtraggio sequenziali per rilevare tentativi di intrusione (attacchi a forza bruta).

1. La Barriera A rileva il $95 \%$ degli attacchi, ma lascia passare il resto.

2. La Barriera B riceve ciò che la Barriera A non ha rilevato. Questa barriera ha una probabilità di successo del $80 \%$.

3. La Barriera C è l'ultima risorsa e rileva il $60 \%$ degli attacchi residui.

Tuttavia, il sistema non è perfetto e a volte genera falsi allarmi (rileva traffico legittimo come attacco). Si sa che la probabilità che un pacchetto di dati sia un attacco reale è $0,001$. Le probabilità di falso allarme sono del $1 \%$ per la Barriera A, $2 \%$ per la Barriera B e $5 \%$ per la Barriera C.

Utilizzando un diagramma ad albero, calcola:

1. a) La probabilità che un pacchetto di dati venga bloccato dal sistema (cioè rilevato da una qualsiasi delle tre barriere).

1. b) Se il sistema ha appena bloccato un pacchetto di dati, qual è la probabilità che si tratti realmente di un attacco informatico e non di un falso allarme?

In una prestigiosa accademia di e-sports, i giocatori sono classificati in base al rendimento in due categorie: Élite ($E$) e Promessa ($P$). È stato condotto uno studio sull'uso di tastiere meccaniche ($M$) e tastiere a membrana ($\bar{M}$).

Si sa che il $30 \%$ dei giocatori è di categoria Élite. Inoltre, tra i giocatori Promessa, la probabilità che usino una tastiera a membrana è il doppio di quella che usino una tastiera meccanica. Infine, si sa che la probabilità che un giocatore scelto a caso sia Élite e usi una tastiera meccanica è $0,24$.

1. a) Costruisci la tabella di contingenza completa con le probabilità di ciascun evento.

1. b) Calcola la probabilità che un giocatore usi una tastiera meccanica.

1. c) Se scegliamo un giocatore che usa una tastiera meccanica, qual è la probabilità che appartenga alla categoria Promessa?

1. d) Gli eventi "essere un giocatore Élite" e "usare una tastiera meccanica" sono indipendenti? Giustifica la risposta matematicamente.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un laboratorio farmaceutico sta analizzando l'efficacia di un nuovo test per rilevare una variante di un virus respiratorio. Si sa che nella popolazione attuale la prevalenza della malattia è del $5 \%$.

Il test ha una particolarità: se applicato a una persona malata, risulta positivo nel $98 \%$ dei casi. Se applicato a una persona sana, risulta negativo nel $96 \%$ dei casi. Nel sospetto di un errore in una campagna di test di massa, si decide che tutte le persone risultate positive al primo test si sottopongano a un secondo test identico e indipendente dal primo.

1. a) Rappresenta la situazione con un diagramma ad albero per una persona scelta a caso nella popolazione che si sottopone all'intero processo, se necessario.

1. b) Qual è la probabilità che una persona della popolazione risulti positiva al secondo test (sapendo che è già risultata positiva al primo)?

1. c) Se una persona è risultata positiva a entrambi i test, qual è la probabilità che sia realmente malata? Commenta il risultato confrontandolo con la probabilità dopo un solo test positivo.

In un laboratorio di tecnologia, due urne contengono pezzi realizzati con materiali diversi per un progetto.

• L'Urna A contiene 6 pezzi di bioplastica (PLA) e 4 pezzi di resina.

• L'Urna B contiene 3 pezzi di PLA e 7 pezzi di resina.

L'esperimento consiste in quanto segue: si estrae a caso un pezzo dall'Urna A e lo si inserisce nell'Urna B senza vederne il materiale. Successivamente, si estraggono contemporaneamente due pezzi dall'Urna B.

1. a) Calcola la probabilità che i due pezzi estratti dall'Urna B siano di resina.

1. b) Se sappiamo che i due pezzi estratti dall'Urna B sono di resina, qual è la probabilità che il pezzo trasferito dall'Urna A fosse di PLA?

Un algoritmo di raccomandazione di una piattaforma di streaming musicale utilizza tre modelli diversi ($M_1, M_2, M_3$) per suggerire canzoni agli utenti. Il $40 \%$ delle volte usa $M_1$, il $35 \%$ usa $M_2$ e le restanti volte usa $M_3$.

La probabilità che un utente metta "mi piace" a una canzone suggerita da $M_1$ è $0,3$. Se la canzone è suggerita da $M_2$, la probabilità è $0,45$. Si sa che la probabilità totale che un utente metta "mi piace" a una canzone scelta a caso è $0,4325$.

1. a) Calcola la probabilità che un utente metta "mi piace" a una canzone suggerita dal terzo modello, $M_3$.

1. b) Se un utente ha messo "non mi piace" (evento contrario a "mi piace") a una canzone, qual è la probabilità che sia stata suggerita dal modello $M_1$?

1. c) Si scelgono tre canzoni suggerite in modo indipendente. Qual è la probabilità che almeno una di esse riceva un "mi piace"?

In un sondaggio svolto tra gli studenti dell'ultimo anno di liceo sulle loro preferenze di studio dopo il diploma, sono stati ottenuti i seguenti dati, rappresentati parzialmente in questa tabella di contingenza. Le variabili sono il Genere ($H$ per maschio, $M$ per femmina) e l'Area di interesse ($I$ per Ingegneria, $S$ per Salute, $O$ per Altre).

Sapendo che gli eventi "essere femmina" e "avere interesse per l'ingegneria" sono indipendenti, e che nel campione di 200 persone il numero totale di maschi è uguale a quello delle femmine:

	Ingegneria ($I$)	Salute ($S$)	Altre ($O$)	Totale
Maschio ($H$)	40
Femmina ($M$)		45
Totale		75		200

1. a) Completa la tabella di contingenza motivando i passaggi.

1. b) Calcola la probabilità che uno studente scelto a caso abbia interesse per la Salute o sia maschio.

1. c) Se scegliamo uno studente che non ha interesse per l'Ingegneria, qual è la probabilità che sia femmina?

Un robot di esplorazione autonoma su Marte ha due sensori per rilevare la presenza di depositi di ghiaccio sotto la superficie. Il Sensore Principale rileva il ghiaccio con probabilità $0,9$ quando questo esiste, ma dà anche un falso positivo (indica ghiaccio quando non c'è) il $5 \%$ delle volte.

Si sa che il robot esplora una zona in cui la probabilità a priori di trovare ghiaccio è del $15 \%$.

Il robot è programmato per inviare un segnale di conferma solo se il Sensore Principale rileva ghiaccio. Tuttavia, per risparmiare energia, se il Sensore Principale rileva ghiaccio si attiva automaticamente un Sensore di Riserva la cui probabilità di successo è del $95 \%$ (sia per confermare la presenza sia per confermare l'assenza).

1. a) Calcola la probabilità che il robot invii un segnale che indica che il Sensore Principale ha rilevato ghiaccio.

1. b) Se il Sensore Principale ha rilevato ghiaccio, qual è la probabilità che il Sensore di Riserva non rilevi ghiaccio?

1. c) Qual è la probabilità che ci sia realmente ghiaccio se entrambi i sensori hanno dato esito positivo?

Due amici, Lucia e Carlo, giocano a un videogioco di strategia a turni. Lucia è più esperta e vince il $60 \%$ delle partite singole (questa è la probabilità che vinca la prima partita). Decidono di giocare un torneo al meglio delle tre partite (chi vince per primo due partite vince il torneo).

A causa della stanchezza e dell'apprendimento durante il gioco, le probabilità non sono costanti:

• Se Lucia vince una partita, la probabilità che vinca la successiva aumenta a $0,7$.

• Se Lucia perde una partita, la probabilità che vinca la successiva scende a $0,5$.

1. a) Disegna il diagramma ad albero che rappresenta lo svolgimento del torneo, indicando su ogni ramo la sua probabilità e, al termine di ogni percorso, chi vince il torneo.

1. b) Calcola la probabilità che Carlo vinca il torneo.

1. c) Se il torneo è durato esattamente tre partite, qual è la probabilità che lo abbia vinto Lucia?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un processo penale che si tiene in una Corte d'Assise si analizza un campione biologico trovato sul luogo del delitto. La perizia stabilisce che il profilo genetico rinvenuto coincide con quello dell'imputato. Il laboratorio forense certifica che la prova ha una sensibilità del $100\,\%$ (se una persona è colpevole, la prova coincide sempre) e che la probabilità che una persona innocente presenti per puro caso genetico questo stesso profilo è di $1$ su $10.000$ ($P(\text{Coincidenza} \mid \text{Innocente}) = 0,0001$).

Durante la sua requisitoria finale, il pubblico ministero afferma: «Signori giudici, la probabilità che una persona innocente abbia questo profilo genetico è appena del $0,01\,\%$. Di conseguenza, la probabilità che l'imputato sia innocente è solo del $0,01\,\%$, il che dimostra la sua colpevolezza oltre ogni ragionevole dubbio con una probabilità del $99,99\,\%$.»

Per verificare questa affermazione, il tribunale delimita una popolazione di riferimento di $100.000$ persone tra le quali si ha la certezza che si trovi l'unico autore materiale del delitto.

1. a) Individua con precisione matematica l'errore di ragionamento commesso dal pubblico ministero (noto come «fallacia del pubblico ministero»). Scrivi, usando la notazione formale di eventi e probabilità condizionata, quale probabilità fornisce realmente la perizia forense e quale probabilità il pubblico ministero sostiene di aver dimostrato.
2. b) Modella la situazione dei $100.000$ sospettati mediante una tabella di contingenza di $2 \times 2$ (Colpevole / Innocente rispetto a Coincidenza / Non coincidenza del DNA), deducendo il numero atteso di individui che occuperà ciascuna delle quattro celle interne.
3. c) A partire dai valori della tabella di contingenza, calcola la probabilità reale che l'imputato sia colpevole sapendo che il suo DNA coincide con il campione, cioè $P(\text{Colpevole} \mid \text{Coincidenza})$.
4. d) Interpreta la differenza radicale tra la percentuale sostenuta dal pubblico ministero e il valore ottenuto nel punto precedente. Spiega che relazione ha questo fenomeno con la dimensione dell'insieme dei sospettati e perché una coincidenza tecnica molto affidabile non equivale automaticamente a colpevolezza.