Esercizi: Probabilità condizionata

In una convention di appassionati di gaming, si sorteggia una console di ultima generazione tra i presenti. Partecipano 120 persone di Roma, 80 di Milano e 50 di Napoli. Inoltre, si sa che il 60 % dei partecipanti totali è minorenne. Se si sceglie un vincitore a caso, calcola:

1. a) Lo spazio campionario associato alla provenienza dei partecipanti.

1. b) La probabilità che il vincitore sia di Roma.

1. c) La probabilità che il vincitore sia maggiorenne.

Un analista di social network studia il comportamento degli adolescenti su due piattaforme: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Dopo aver intervistato un gruppo di liceali, ottiene che la probabilità che uno studente usi TikTok è $P(T) = 0,75$, quella che usi Instagram è $P(I) = 0,60$ e quella che usi entrambe le piattaforme è $P(T \cap I) = 0,45$.

Il diagramma di Venn riporta questi dati; le regioni contrassegnate con «?» sono probabilità non ancora note.

Calcola la probabilità che uno studente scelto a caso:

1. a) Usi TikTok o Instagram.
2. b) Usi TikTok ma non Instagram ($T - I$).
3. c) Non usi nessuna delle due piattaforme.

In una scuola di lingue, il 40 % degli studenti è iscritto al corso di Tedesco ($A$). Tra gli iscritti a Tedesco, il 30 % frequenta anche le lezioni di conversazione ($C$). Se si sceglie a caso uno studente della scuola, determina:

1. a) La probabilità che uno studente sia iscritto a Tedesco e frequenti le lezioni di conversazione.
2. b) Sapendo che uno studente è iscritto a Tedesco, qual è la probabilità che non frequenti le lezioni di conversazione?

Siano $A$ e $B$ due eventi indipendenti associati a un esperimento aleatorio, tali che $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$. Trova le seguenti probabilità:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Si realizza uno studio sul possesso di animali domestici in un gruppo di 100 persone. I risultati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

1. a) Completa la tabella di contingenza.
2. b) Se scegliamo una persona a caso, qual è la probabilità che abbia cane e gatto?
3. c) Sapendo che la persona scelta ha il cane, qual è la probabilità che abbia anche il gatto?

Un'urna contiene 5 palline bianche e 3 palline nere. Si estraggono successivamente due palline con reinserimento (la prima viene rimessa nell'urna prima di estrarre la seconda). Rappresenta la situazione con un diagramma ad albero e calcola:

1. a) La probabilità che entrambe le palline siano bianche.
2. b) La probabilità che la prima sia nera e la seconda bianca.
3. c) La probabilità che le due palline siano dello stesso colore.

In un centro sanitario si stima che la probabilità che un paziente abbia l'influenza sia $P(G) = 0,15$. Si sa che se un paziente ha l'influenza, la probabilità che presenti febbre è $0,90$, mentre se non ha l'influenza la probabilità di presentare febbre si riduce a $0,10$.

Se si sceglie un paziente a caso e presenta febbre, come si chiama la probabilità condizionata $P(G|F)$ e quale teorema si usa abitualmente per calcolarla? (Non è necessario eseguire il calcolo numerico finale, basta identificare i concetti).

Si lanciano contemporaneamente due dadi equilibrati a sei facce. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) Ottenere una somma dei punti uguale a 7.
2. b) Sapendo che nel primo dado è uscito un numero pari, qual è la probabilità che la somma sia 7?
3. c) Gli eventi "somma uguale a 7" e "primo dado pari" sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando $P(S=7|Par)$ con $P(S=7)$.

In un liceo sono stati raccolti i dati di 200 studenti dell'ultimo anno su due eventi: $A$ (superare il compito di Matematica) e $B$ (frequentare abitualmente la biblioteca della scuola). Il registro mostra che 120 frequentano la biblioteca, 90 superano il compito e 60 fanno entrambe le cose.

Marco vuole calcolare la probabilità che uno studente superi Matematica sapendo che frequenta la biblioteca, e scrive nel suo compito:

1. a) Identifica con precisione quale probabilità ha realmente calcolato Marco e spiega qual è l'errore concettuale della sua impostazione rispetto alla definizione di probabilità condizionata e al cambio di spazio campionario.
2. b) Correggi il calcolo determinando il valore corretto di $P(A|B)$.
3. c) Giustifica formalmente se per questo gruppo di studenti frequentare la biblioteca e superare Matematica sono eventi statisticamente indipendenti.

Secondo i dati della Motorizzazione sul conseguimento della patente B in una provincia, il $40\%$ dei candidati supera l'esame pratico alla prima convocazione (evento $A$). Inoltre, il $30\%$ dei candidati svolge preventivamente un corso intensivo al simulatore (evento $S$), e si sa che il $20\%$ del totale dei candidati svolge il corso al simulatore e inoltre supera l'esame al primo tentativo.

1. a) Modella la situazione definendo gli eventi con la relativa notazione di probabilità e indica il valore di $P(A)$, $P(S)$ e $P(A \cap S)$.
2. b) Se si sceglie a caso un candidato che ha svolto il corso al simulatore, calcola la probabilità che superi l'esame pratico al primo tentativo.
3. c) Alla luce dei risultati, svolgere il corso al simulatore modifica la probabilità di superare l'esame al primo tentativo o gli eventi sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando $P(A|S)$ con $P(A)$.

In una piattaforma di streaming, il $60\%$ degli utenti guarda serie di fantascienza (evento $S$) e il $45\%$ guarda documentari (evento $D$). Si sa che il $20\%$ degli utenti apprezza entrambi i generi. Se scegliamo a caso un utente che sappiamo guardare serie di fantascienza, calcola la probabilità che guardi anche documentari. Gli eventi "guardare serie di fantascienza" e "guardare documentari" sono indipendenti? Motiva la risposta.

Un centro di preparazione sportiva analizza il rendimento dei suoi 120 atleti. Si osserva che 65 di loro seguono una dieta specifica, 70 svolgono allenamenti ad alta intensità e 40 soddisfano entrambe le condizioni.

1. Organizza i dati in una tabella di contingenza.

2. Se scegliamo un atleta a caso e risulta che non svolge allenamenti ad alta intensità, qual è la probabilità che segua la dieta specifica?

3. Se l'atleta scelto non segue la dieta, qual è la probabilità che non svolga nemmeno allenamenti ad alta intensità?

Un'app musicale ha due playlist. La playlist $A$ contiene 8 canzoni pop e 4 rock. La playlist $B$ contiene 5 canzoni pop e 7 rock. Lanciamo un dado equilibrato: se esce un numero minore di 3, l'app riproduce una canzone a caso dalla playlist $A$; altrimenti la riproduce dalla playlist $B$.

1. Calcola la probabilità che la canzone riprodotta sia rock.

2. Se la canzone riprodotta è risultata pop, qual è la probabilità che provenga dalla playlist $A$?

In un controllo di qualità di una fabbrica di componenti elettronici, si sa che l'evento $F$ (il componente ha un difetto di saldatura) ha probabilità $P(F) = 0,08$, e l'evento $C$ (il componente ha un difetto di involucro) ha probabilità $P(C) = 0,12$. Se i due eventi sono indipendenti, calcola:

1. La probabilità che un componente abbia entrambi i difetti.

2. La probabilità che abbia almeno un difetto.

3. La probabilità che non abbia alcun difetto.

4. Sapendo che il componente ha un difetto di involucro, qual è la probabilità che non abbia difetto di saldatura?

Un test per rilevare una vulnerabilità di sicurezza nei server informatici risulta positivo nel $98\%$ dei server realmente infetti. Tuttavia, dà un "falso positivo" (positivo su server sani) nel $2\%$ dei casi. Si stima che in una rete aziendale il $1\%$ dei server sia infetto.

1. Se un server risulta positivo al test, qual è la probabilità che sia realmente infetto?

2. Interpreta se il test è affidabile per un uso di massa in questa rete basandoti sul risultato precedente.

Si estraggono successivamente e senza reinserimento due carte da un mazzo di 40 carte italiane. Calcola le seguenti probabilità:

1. Che la seconda carta sia un Re, sapendo che la prima era un Asso.

2. Che la seconda carta sia un Re, sapendo che anche la prima era un Re.

3. Che le due carte siano figure (Fante, Cavallo o Re).

4. Sapendo che la seconda carta è un Denaro, qual è la probabilità che anche la prima lo fosse?

Un'azienda di logistica consegna pacchi in tre distretti: Nord ($40\%$), Centro ($35\%$) e Sud ($25\%$). La percentuale di consegne in ritardo è del $5\%$ al Nord, del $8\%$ al Centro e del $12\%$ al Sud.

1. Se scegliamo un pacco a caso, qual è la probabilità che sia stato consegnato in orario?

2. Se un pacco è stato consegnato in ritardo, qual è la probabilità che fosse destinato al distretto Sud?

Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ e $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcola $P(A \cap B)$.

2. Calcola $P(B)$.

3. Calcola $P(A|B)$.

4. Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili e se sono indipendenti. Motiva le tue conclusioni.

In una zona di allevamento si applica un test diagnostico per rilevare un'infezione batterica con prevalenza molto bassa: solo il $2\%$ del bestiame è infetto (evento $E$). Il test veterinario ha una sensibilità del $95\%$ (probabilità di risultare positivo essendo infetto, $P(+|E) = 0,95$) e un tasso di falsi positivi del $5\%$ (probabilità di risultare positivo in un animale sano, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Prima di calcolare, stima in modo intuitivo: se si prende un capo a caso e il suo test è positivo, pensi che la probabilità che sia realmente infetto sia sopra il $80\%$, vicina al $50\%$ o sotto il $30\%$? Scrivi la tua stima motivando in una o due righe la tua prima impressione.
2. b) Modella il problema con la formula della probabilità totale e calcola rigorosamente la probabilità condizionata $P(E|+)$.
3. c) Confronta il risultato matematico ottenuto con la tua stima iniziale. Giustifica perché il risultato risulta controintuitivo per molte persone e spiega come la prevalenza globale dell'infezione condiziona l'affidabilità finale del risultato positivo.

Nell'esame di maturità di un distretto universitario si analizzano le iscrizioni a due materie: Disegno tecnico ($D$) e Fisica ($F$). Dai verbali ufficiali risulta che la probabilità che uno studente scelga Disegno tecnico è $P(D) = 0,35$ e la probabilità che scelga almeno una delle due materie è $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Imposta un'equazione e determina quale valore esatto dovrebbe avere la probabilità a priori di scegliere Fisica, $P(F)$, perché la scelta delle due materie fosse totalmente indipendente.
2. b) La realtà del distretto mostra che non sono indipendenti e che la probabilità condizionata di scegliere Disegno sapendo che si è scelta Fisica è $P(D|F) = 0,40$. Calcola la probabilità reale di scegliere Fisica, $P(F)$, e la probabilità condizionata inversa $P(F|D)$.
3. c) Con i dati del punto b), costruisci la tabella di contingenza completa delle probabilità per gli eventi $D$, $\overline{D}$, $F$ e $\overline{F}$.

In un laboratorio di biotecnologie si studia la resistenza di un batterio a due tipi di antibiotici, $A$ e $B$. Si sa che la probabilità che il batterio sia resistente all'antibiotico $A$ è $P(A) = 0,65$ e la probabilità che sia resistente all'antibiotico $B$ è $P(B) = 0,48$. Inoltre, si è determinato che la probabilità che non sia resistente a nessuno dei due è del $12\%$.

Calcola, motivando:

1. a) La probabilità che il batterio sia resistente a $A$ sapendo che è resistente a $B$.
2. b) La probabilità che sia resistente a uno solo dei due antibiotici.
3. c) Gli eventi "essere resistente a $A$" ed "essere resistente a $B$" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta mediante calcoli.

Un'azienda di corrieri utilizza tre percorsi diversi ($R_1, R_2, R_3$) per consegnare pacchi in una grande città. Il $30\%$ delle spedizioni è assegnato al percorso $R_1$, il $45\%$ al percorso $R_2$ e il resto al percorso $R_3$. Per esperienze passate si sa che le probabilità che un pacco arrivi in ritardo su ciascun percorso sono rispettivamente $4\%$, $6\%$ e $2\%$.

Se selezioniamo un pacco a caso e osserviamo che è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che NON abbia seguito il percorso $R_2$?

Un sistema di sicurezza per un server critico è composto da due componenti, $C_1$ e $C_2$, collegati in parallelo, il che significa che il sistema funziona se almeno uno dei componenti funziona. La probabilità che il componente $C_1$ si guasti in un anno è $0,05$ e quella che si guasti $C_2$ è $0,08$. I guasti dei componenti sono eventi indipendenti.

Calcola:

1. a) La probabilità che il sistema funzioni correttamente per un anno.
2. b) Sapendo che il sistema ha funzionato correttamente, qual è la probabilità che il componente $C_1$ si sia guastato?

In un torneo di e-sports, un giocatore deve superare due fasi. La probabilità di superare la prima fase è $0,7$. Se supera la prima, la probabilità di superare la seconda è $0,5$. Tuttavia, se non supera la prima, ha un'opportunità di ripescaggio in cui la probabilità di passare direttamente alla finale (saltando la seconda fase) è solo $0,2$.

1. a) Calcola la probabilità che il giocatore arrivi alla finale (superando entrambe le fasi o tramite ripescaggio).
2. b) Se il giocatore è arrivato alla finale, qual è la probabilità che vi sia arrivato tramite ripescaggio?

Disponiamo di due urne con palline colorate. L'urna $U_1$ contiene 4 palline bianche e 6 palline nere. L'urna $U_2$ contiene 5 palline bianche e 3 palline nere. Si estrae una pallina a caso dall'urna $U_1$ e, senza guardarne il colore, la si introduce nell'urna $U_2$. Successivamente si estrae una pallina dall'urna $U_2$.

Calcola:

1. a) La probabilità che la pallina estratta dalla seconda urna sia bianca.
2. b) Se la pallina estratta dalla seconda urna è bianca, qual è la probabilità che la pallina trasferita dalla prima alla seconda fosse nera?

È stato eseguito un test diagnostico per rilevare una vulnerabilità in un software gestionale. Il $5\%$ delle applicazioni analizzate contiene tale vulnerabilità. Il test risulta positivo nel $98\%$ dei casi in cui la vulnerabilità è presente, ma dà anche un $2\%$ di falsi positivi (risulta positivo quando l'applicazione è sicura).

1. a) Se il test risulta positivo, qual è la probabilità che l'applicazione abbia realmente la vulnerabilità?
2. b) Se il test risulta negativo, qual è la probabilità che l'applicazione sia realmente sicura?
3. c) Interpreta i risultati: il test è più affidabile per confermare la vulnerabilità o per escluderla?

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio tali che le probabilità condizionate verificano $P(A|B) = 0,25$ e $P(B|A) = 0,4$. Se sappiamo che la probabilità dell'unione dei due è $P(A \cup B) = 0,55$, calcola i valori di $P(A)$ e $P(B)$.

In un centro sportivo di alto rendimento, il $40\%$ degli atleti si allena nel nuoto ($N$), il $30\%$ nel ciclismo ($C$) e i restanti nella corsa ($R$). La probabilità di subire un infortunio muscolare nel corso della stagione è $0,15$ per i nuotatori, $0,20$ per i ciclisti e $0,35$ per i corridori.

1. a) Determina la probabilità che un atleta scelto a caso subisca un infortunio muscolare.
2. b) Se un atleta non ha subito alcun infortunio, qual è la probabilità che la sua specialità sia il nuoto?
3. c) Gli eventi "allenarsi nel ciclismo" e "subire un infortunio" sono indipendenti? Dimostralo.

Un rapporto di cybersicurezza sulle piccole e medie imprese italiane valuta l'efficacia di un firewall contro le intrusioni esterne. Si conoscono tre fatti:

• Il $8\%$ delle imprese subisce un serio tentativo di intrusione al mese (evento $I$).

• Se un'impresa subisce un tentativo di intrusione, il firewall genera un allarme con probabilità $P(A|I) = 0,90$.

• Se l'impresa non subisce alcuna intrusione, esiste una probabilità del $3\%$ di falso allarme per guasti del sistema, cioè $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

Il team dirigenziale vuole conoscere la probabilità che, essendo scattato l'allarme, si tratti in realtà di un falso allarme ($P(\overline{I}|A)$), nonché la probabilità che il sistema resti in silenzio e non ci sia intrusione ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Risolvi il problema applicando due metodi diversi:

• Metodo 1: diagramma ad albero e calcolo con le formule della probabilità condizionata e il teorema della probabilità totale.

• Metodo 2: tabella di contingenza con frequenze assolute riferite a una popolazione ipotetica di $10.000$ imprese.

1. b) Analizza e confronta i due metodi: quale dei due riduce più efficacemente il rischio di confondere $P(A|\overline{I})$ con $P(\overline{I}|A)$ nell'interpretare i risultati? Giustifica la risposta spiegando come ciascuna tecnica rappresenta il nuovo spazio campionario ridotto.

A partire dai microdati di un'indagine sulle forze di lavoro in una regione, si studiano due eventi nella fascia di giovani tra i 18 e i 24 anni: frequentare studi regolari ($E$) e avere un impiego retribuito ($T$). I tassi stimati sono $P(E) = 0,55$ e $P(T) = 0,30$.

Uno studente afferma: «Poiché studiare a tempo pieno e lavorare sono situazioni difficilmente compatibili, gli eventi sono incompatibili, e quindi sono anche indipendenti perché uno non dipende dall'altro».

1. a) Dimostra formalmente che due eventi $A$ e $B$ con probabilità non nulle ($P(A) > 0$ e $P(B) > 0$) non possono mai essere contemporaneamente incompatibili e indipendenti. Spiega a parole l'errore concettuale dello studente.
2. b) Se i dati dell'indagine indicano che il $40\%$ dei giovani non studia né lavora ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$), calcola la probabilità che un giovane abbia un impiego sapendo che frequenta studi, $P(T|E)$, applicando le leggi di De Morgan e le proprietà della probabilità condizionata.
3. c) Alla luce del valore di $P(T|E)$ confrontato con $P(T)$, determina con una motivazione se la condizione di frequentare studi favorisce, sfavorisce o è indipendente rispetto alla probabilità di essere occupato in tale popolazione.