Esercizi: Concetti preliminari

Si lancia un dado a $8$ facce a forma di ottaedro regolare, numerate da $1$ a $8$. Scrivi lo spazio campionario $E$ associato a questo esperimento aleatorio e determina gli elementi che compongono i seguenti eventi:

• $A =$ "Ottenere un numero primo".

• $B =$ "Ottenere un numero maggiore di $5$".

• $C = A \cap B$.

Nel reparto di controllo qualità di una fabbrica di componenti elettronici, si estrae a caso un pezzo da un lotto di prova. Il lotto contiene $5$ pezzi difettosi di colore rosso, $3$ pezzi funzionanti di colore blu e $2$ pezzi funzionanti di colore giallo.

Calcola, utilizzando la definizione classica di probabilità, la probabilità di:

1. a) Estrarre un pezzo di colore blu.
2. b) Estrarre un pezzo funzionante (non difettoso).
3. c) Estrarre un pezzo che non sia giallo.

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno stesso esperimento aleatorio. Si conoscono le seguenti probabilità: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e la probabilità che si verifichino entrambi simultaneamente è $P(A \cap B) = 0,15$.

Calcola la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi, cioè $P(A \cup B)$, e la probabilità che non si verifichi $A$, indicata come $P(\overline{A})$.

Da un mazzo di $40$ carte napoletane si estrae una carta a caso. Definisci gli eventi $A =$ "Estrarre un Re" e $B =$ "Estrarre una carta di Spade".

Determina le probabilità $P(A)$, $P(B)$ e $P(A \cap B)$. A partire da esse, calcola la probabilità di estrarre un Re o una carta di Spade.

Uno studente di ingegneria informatica sta configurando un nuovo server. Può scegliere tra $3$ modelli di processore, $4$ diverse capacità di memoria RAM e $2$ tipi di disco rigido (SSD o NVMe). Applicando il principio moltiplicativo, quante configurazioni diverse di server può creare scegliendo esattamente un componente per ciascun tipo? Se sceglie una configurazione a caso, qual è la probabilità che abbia un disco NVMe?

Si effettua l'esperimento aleatorio del lancio di un dado cubico perfetto numerato da $1$ a $6$. Considera gli eventi $A =$ "Ottenere un numero pari" e $B =$ "Ottenere un numero primo maggiore di $2$".

Scrivi gli elementi di ciascun evento e determina, giustificando la risposta, se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili.

Si lanciano simultaneamente $3$ monete equilibrate (non truccate). Scrivi lo spazio campionario completo $E$ usando la notazione $C$ per testa e $X$ per croce. Successivamente, calcola la probabilità di ottenere esattamente due teste.

In uno studio meteorologico, la probabilità che piova sabato è $P(S)$ e quella che piova domenica è $P(D)$. Sapendo che la probabilità che piova in almeno uno dei due giorni del fine settimana è $P(S \cup D) = 0,85$, utilizza le leggi di De Morgan o le proprietà dell'evento contrario per calcolare la probabilità che non piova in nessun giorno del fine settimana, cioè $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

In uno studio meteorologico, si registrano i seguenti eventi per un determinato giorno d'autunno: $L =$ «piove» e $V =$ «ci sono raffiche di vento forte», con probabilità note $P(L) = 0,40$, $P(V) = 0,30$ e $P(L \cap V) = 0,15$.

Lucia deve calcolare la probabilità che un giorno «non piova e non ci sia nemmeno vento forte». Nel suo quaderno scrive:

«L'evento contrario a quello in cui non accade nessuna delle due cose è che accadano entrambe nello stesso momento, cioè il complementare dell'intersezione: $\overline{L \cap V}$. Quindi: $P(\overline{L \cap V}) = 1 - P(L \cap V) = 1 - 0,15 = 0,85$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia nel tradurre la frase verbale in operazioni tra insiemi e spiega con ragionamento perché la sua equivalenza logica è falsa.
2. b) Scrivi l'espressione insiemistica corretta per l'evento «non piove e non c'è vento» e utilizza una delle leggi di De Morgan per trovarne la probabilità corretta.

Per un gioco di probabilità in classe, si progetta una roulette circolare divisa in $n$ settori identici equiprobabili, numerati da $1$ a $n$ (dove $n \ge 5$). Si definiscono gli eventi $A =$ «ottenere un numero pari» e $B =$ «ottenere un numero strettamente maggiore di $5$».

1. a) Determina per elencazione gli elementi dell'evento differenza $A - B$ e spiega perché il suo numero di elementi è costante per qualsiasi $n \ge 5$.
2. b) Imposta un'equazione che metta in relazione la probabilità teorica di $A - B$ con il parametro $n$, e calcola il valore di $n$ necessario affinché valga esattamente $P(A - B) = 0,25$.
3. c) Per il valore di $n$ trovato al punto precedente, giustifica se $A$ e $B$ sono eventi compatibili o incompatibili, e calcola la probabilità della loro unione $P(A \cup B)$.

In un istituto tecnologico di $150$ studenti è stato condotto un sondaggio sull'uso dei linguaggi di programmazione. I risultati mostrano che $85$ studenti programmano in Python ($P$), $60$ programmano in Java ($J$) e $25$ programmano in entrambi i linguaggi.

Se si seleziona a caso uno studente di questo liceo, determina le seguenti probabilità:

1. a) Che programmi in almeno uno dei due linguaggi.
2. b) Che non programmi in nessuno di questi due linguaggi.
3. c) Che programmi in Python, ma non in Java.

Per accedere a un database sicuro, un dipendente deve generare un codice PIN numerico di $4$ cifre (da $0$ a $9$). Il sistema permette che le cifre si ripetano. Calcola la probabilità che un PIN generato in modo completamente casuale soddisfi la seguente condizione: la prima cifra è un $7$ e l'ultima cifra è pari (considerando lo $0$ come pari).

In una catena di montaggio di motori elettrici si sa che la probabilità che un motore presenti un difetto di tipo meccanico è $P(M) = 0,06$, la probabilità che presenti un difetto di tipo elettrico è $P(E) = 0,04$, e la probabilità che presenti entrambi i difetti contemporaneamente è $P(M \cap E) = 0,01$. Calcola la probabilità che un motore scelto a caso:

1. a) Presenti almeno un difetto.

1. b) Non presenti alcun difetto.

1. c) Presenti un difetto meccanico sapendo che non presenta alcun difetto elettrico, cioè $P(M \mid \overline{E})$ (puoi servirti del fatto che $P(M \cap \overline{E}) = P(M) - P(M \cap E)$).

Si lanciano due dadi cubici equilibrati, uno rosso e uno blu. Si annota il punteggio della faccia superiore di ciascuno. Calcola la probabilità che si verifichi l'evento $A =$ "La somma dei punteggi è esattamente $8$" oppure l'evento $B =$ "Il valore assoluto della differenza tra i punteggi è esattamente $2$". $A$ e $B$ sono eventi incompatibili?

In una clinica veterinaria, il $55\%$ dei cani visitati è vaccinato contro la rabbia ($R$), il $40\%$ è vaccinato contro il parvovirus ($P$) e il $25\%$ è vaccinato contro entrambe le malattie. Si sceglie a caso la cartella di un cane. Calcola la probabilità che:

1. a) Sia vaccinato contro la rabbia ma non contro il parvovirus, cioè $P(R - P)$.
2. b) Sia vaccinato contro esattamente una delle due malattie.

Un gruppo di ricerca è formato da $12$ specialisti: $7$ biologi e $5$ chimici. Si deve selezionare a caso un comitato rappresentativo di $3$ persone per partecipare a un congresso internazionale. Utilizzando il calcolo combinatorio (combinazioni), calcola la probabilità che il comitato sia formato esclusivamente da biologi.

Si progetta il seguente gioco d'azzardo strutturato in due fasi: nella prima fase si estrae una carta da un mazzo di carte spagnole di $40$ carte. Se la carta estratta è una figura (fante, cavallo o re), nella seconda fase si lancia un dado cubico a $6$ facce. Se la carta non è una figura, nella seconda fase si lancia una moneta ($C$ o $X$).

Calcola il numero totale di risultati possibili che formano lo spazio campionario di questo esperimento composto. Se tutti i risultati elementari di ciascuna fase sono equiprobabili nel rispettivo sottospazio, lo spazio campionario composto finale è equiprobabile? Motiva la tua risposta.

Un'urna opaca contiene $4$ palline bianche e $6$ palline nere. Si estraggono $2$ palline consecutivamente.

1. a) Calcola la probabilità che entrambe le palline siano bianche se l'estrazione avviene con reinserimento (la prima pallina viene rimessa nell'urna prima di estrarre la seconda).
2. b) Calcola la probabilità che entrambe le palline siano bianche se l'estrazione avviene senza reinserimento.

In un sondaggio svolto tra gli studenti del terzo anno di liceo di un istituto sulle loro attività extrascolastiche, si definiscono gli eventi $D =$ «pratica sport regolarmente» e $M =$ «studia musica o suona uno strumento». Si sa che $P(D) = 0,70$ e $P(M) = 0,45$.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, giustifica mediante le proprietà della probabilità se è possibile che $D$ e $M$ siano eventi incompatibili. Da questa deduzione, stima l'intervallo di valori possibili (minimo e massimo) entro cui deve necessariamente trovarsi la probabilità dell'intersezione, $P(D \cap M)$.
2. b) Completato il sondaggio, si verifica che la probabilità che uno studente non pratichi sport né studi musica è esattamente $0,10$. Da questo dato e applicando le leggi di De Morgan, calcola il valore esatto di $P(D \cap M)$ e di $P(D - M)$.
3. c) Verifica se il valore di $P(D \cap M)$ ottenuto al punto b coincide con l'intervallo che avevi stimato al punto a e spiega il significato dell'evento $D - M$ nel contesto dell'istituto.

A partire dai dati sulla mobilità urbana giovanile pubblicati dai consorzi di trasporto in Italia, si analizza come si spostano gli studenti di un comune. Si considerano i seguenti eventi:

$M =$ «usa abitualmente la metropolitana»,

$A =$ «usa abitualmente l'autobus urbano»,

$B =$ «usa la bicicletta o il monopattino elettrico personale».

I dati registrati mostrano le seguenti probabilità: $P(M) = 0,45$; $P(A) = 0,50$; $P(B) = 0,30$; $P(M \cap A) = 0,20$; $P(M \cap B) = 0,12$; $P(A \cap B) = 0,15$, e la probabilità di combinare i tre mezzi è $P(M \cap A \cap B) = 0,05$.

1. a) Modella la situazione esprimendo nel linguaggio degli insiemi (usando unioni, intersezioni o complementari) i seguenti eventi: $S_1 =$ «usa almeno uno dei tre mezzi di trasporto», $S_2 =$ «non usa nessuno di questi tre mezzi di trasporto», e $S_3 =$ «usa esclusivamente la metropolitana».
2. b) Calcola la probabilità di $S_1$ applicando la formula generale per l'unione di tre eventi.
3. c) Determina la probabilità di $S_2$ e di $S_3$, indicando i passaggi intermedi.

In una piattaforma di intrattenimento digitale con $500$ abbonati si analizzano le preferenze per tre generi: Azione ($A$), Commedia ($C$) e Drammatico ($D$). I dati rivelano che:

• $220$ guardano Azione, $180$ guardano Commedia, $150$ guardano Drammatico.

• $70$ guardano Azione e Commedia, $50$ guardano Azione e Drammatico, $40$ guardano Commedia e Drammatico.

• $15$ guardano tutti e tre i generi.

Se si sceglie a caso un abbonato, determina la probabilità che:

1. a) Guardi esclusivamente film d'Azione.
2. b) Guardi esattamente uno solo dei tre generi.
3. c) Non guardi nessuno di questi tre generi.

Un server di database genera chiavi di sicurezza temporanee di $6$ caratteri. Ogni carattere viene scelto a caso da un insieme formato dalle $26$ lettere dell'alfabeto e dalle $10$ cifre numeriche, senza permettere la ripetizione di alcun carattere nella stessa chiave.

Utilizzando concetti di calcolo combinatorio (disposizioni e combinazioni), determina la probabilità che una chiave generata casualmente contenga esattamente $2$ lettere e $4$ cifre, indipendentemente dall'ordine in cui compaiono.

La differenza simmetrica di due eventi $A$ e $B$, indicata con $A \triangle B$, si definisce come l'evento in cui si verifica $A$ oppure $B$, ma non entrambi contemporaneamente. Algebricamente, $A \triangle B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

Dimostra la relazione $P(A \triangle B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$. Quindi, sapendo che $P(A \cup B) = 0,85$, $P(\overline{A}) = 0,3$ e $P(B) = 0,6$, calcola il valore numerico di $P(A \triangle B)$.

Un'antenna di telecomunicazioni ha un raggio di copertura circolare perfetto di $10\text{ km}$. L'antenna è situata esattamente al centro di una regione quadrata di lato $20\text{ km}$ (in modo che il cerchio di copertura sia inscritto nel quadrato).

Se si rileva il segnale di un dispositivo mobile in un punto casuale all'interno della regione quadrata (secondo una distribuzione uniforme), qual è la probabilità che il dispositivo si trovi all'interno della zona di copertura dell'antenna? Esprimi il risultato esatto in funzione di $\pi$ e la sua approssimazione con due cifre decimali.

Si è costruito un dado cubico truccato in modo che la probabilità che esca ciascuna faccia sia direttamente proporzionale al numero di quella faccia. Cioè $P(x) = k \cdot x$ per $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, dove $k$ è una costante reale.

1. a) Calcola il valore esatto della costante $k$ sapendo che la somma delle probabilità dello spazio campionario deve essere $1$.
2. b) Calcola la probabilità di ottenere un numero primo lanciando questo dado truccato.

Una scatola di componenti di robotica contiene $n$ LED di colore verde e $5$ LED di colore rosso. Si estraggono a caso e senza reinserimento $2$ LED dalla scatola. Se si sa che la probabilità che entrambi i LED estratti siano di colore verde è esattamente $\frac{1}{6}$, imposta un'equazione di secondo grado in funzione di $n$ e risolvila per determinare quanti LED verdi c'erano inizialmente nella scatola.

In un sistema di controllo aerospaziale, tre sensori $A$, $B$ e $C$ sono disposti in modo che il sensore $A$ sia in serie con un blocco formato dai sensori $B$ e $C$ in parallelo. Il sistema funziona se il segnale può attraversarlo da sinistra a destra.

Le probabilità di guasto individuale di ciascun sensore sono $P(F_A) = 0,1$, $P(F_B) = 0,2$ e $P(F_C) = 0,2$. Sapendo che i guasti avvengono in modo indipendente (cioè la probabilità dell'intersezione è il prodotto delle probabilità: $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$), calcola la probabilità che il sistema complessivo funzioni correttamente. (Nota: il sistema funziona se $A$ funziona e, inoltre, funziona $B$ oppure funziona $C$).

In uno studio di tossicologia ambientale su un fiume si monitorano tre contaminanti. Siano $A$, $B$ e $C$ gli eventi di trovare livelli pericolosi del rispettivo contaminante. Si sa che $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ e $P(C) = \frac{1}{4}$.

Inoltre, si sa che i contaminanti $A$ e $B$ non compaiono mai insieme a livelli pericolosi (sono eventi incompatibili), e che ogni volta che si rileva il contaminante $C$, si rileva anche il contaminante $B$ (cioè $C$ è un sottoinsieme di $B$, $C \subset B$).

Calcola la probabilità di non trovare né il contaminante $A$ né il contaminante $B$, cioè $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, e la probabilità di trovare almeno uno dei tre contaminanti, $P(A \cup B \cup C)$.

In uno stabilimento di produzione di microchip in Italia, ogni componente è sottoposto a tre controlli di qualità automatizzati. Si definiscono gli eventi di guasto: $F_1 =$ «fallisce il test elettrico», $F_2 =$ «fallisce il test termico» e $F_3 =$ «fallisce il test ottico». I dati storici di controllo sono: $P(F_1) = 0,08$; $P(F_2) = 0,06$; $P(F_3) = 0,05$; $P(F_1 \cap F_2) = 0,02$; $P(F_1 \cap F_3) = 0,015$; $P(F_2 \cap F_3) = 0,01$ e $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0,003$.

Il team di ingegneria della qualità deve determinare la probabilità che un pezzo superi con successo almeno uno dei tre test (cioè che non fallisca contemporaneamente in tutti).

Per calcolare tale probabilità, due tecnici propongono vie diverse:

• Metodo di Marco: Esprime l'evento come $\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}$ e propone di applicare direttamente la formula dell'unione di tre eventi: $P(\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}) = P(\overline{F_1}) + P(\overline{F_2}) + P(\overline{F_3}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_3}) - P(\overline{F_2} \cap \overline{F_3}) + P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$.

• Metodo di Sara: Applica le leggi di De Morgan generalizzate a tre eventi per trasformare l'unione di complementari nel complementare di un'intersezione diretta, calcolando il risultato in un unico passaggio.

1. a) Risolvi il problema applicando il metodo di Sara e calcola il valore numerico finale.
2. b) Senza bisogno di eseguire tutti i calcoli del metodo di Marco, spiega quale difficoltà operativa presenta: come dovrebbe calcolare Marco probabilità come $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2})$ o $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$ a partire dai dati forniti?
3. c) Confronta i due metodi: giustifica quale sia più efficiente e spiega perché il passaggio al complementare è una tecnica fondamentale per semplificare i problemi di probabilità.

Un laboratorio di analisi dei rischi valuta tre scenari critici $A$, $B$ e $C$ in un'infrastruttura. Si dispone delle seguenti informazioni sulle loro probabilità:

• Gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili ($A \cap B = \emptyset$).

• Gli eventi $B$ e $C$ sono incompatibili ($B \cap C = \emptyset$).

• Gli eventi $A$ e $C$ sono compatibili, con $P(A \cap C) = 0,10$.

• Le probabilità individuali dipendono da un parametro $p \in \mathbb{R}$: $P(A) = 2p$, $P(B) = 3p$ e $P(C) = 0,35$.

1. a) Dimostra algebricamente come si riduce la formula generale dell'unione di tre eventi, $P(A \cup B \cup C)$, sostituendo le condizioni di incompatibilità date.
2. b) Si sa che la probabilità che non si verifichi nessuno dei tre scenari di rischio è esattamente $0,15$. Imposta un'equazione a partire dalle leggi di De Morgan e determina il valore del parametro $p$.
3. c) Con il valore di $p$ ottenuto, analizza se è matematicamente possibile che esista un quarto scenario di rischio $D \subseteq E$ totalmente incompatibile con $A \cup B \cup C$ e la cui probabilità sia $P(D) = 0,20$. Se non è possibile, deduci con ragionamento qual è il limite superiore stretto per $P(D)$ e quale relazione di inclusione insiemistica esiste tra $D$ e il complementare $\overline{A \cup B \cup C}$.