Esercizi: Simmetrie nello spazio

In un software di progettazione di videogiochi, un oggetto situato nel punto $P(4, -2, 6)$ deve essere riflesso rispetto a un punto di controllo (centro di simmetria) situato in $M(1, 3, 2)$. Calcola le coordinate del punto simmetrico $P'$ in cui apparirà l'oggetto riflesso.

Si sa che il punto $A'(0, 8, -4)$ è il simmetrico di $A(2, -2, 6)$ rispetto a un centro di simmetria $C$. Determina le coordinate di tale centro $C$ utilizzando la relazione del punto medio.

Calcola il punto simmetrico di $Q(3, -5, 7)$ rispetto al piano coordinato $XY$.

Suggerimento: ricorda che l'equazione del piano $XY$ è $z = 0$.

Determina il punto simmetrico di $P(1, 2, 3)$ rispetto alla retta $r$ che coincide con l'asse $OX$.

Un raggio laser parte dal punto $A(2, 3, 4)$ e si riflette su uno specchio piano la cui equazione è $\pi: y = 5$. Determina le coordinate del punto simmetrico $A'$ rispetto a tale piano.

Dato il punto $P(1, 0, 1)$, determina il suo simmetrico rispetto al piano $\pi: x + y + z = 5$ seguendo questi passi:

1. Determina la retta $r$ perpendicolare a $\pi$ che passa per $P$.

2. Calcola il punto di intersezione $M$ tra la retta $r$ e il piano $\pi$ (piede della perpendicolare).

3. Utilizza $M$ come punto medio per determinare il simmetrico $P'$.

Calcola il punto simmetrico di $B(5, 5, 5)$ rispetto alla retta $s$ data da:

Nota: questa è una retta verticale, parallela all'asse $OZ$, che passa per il punto $(1, 2, 0)$.

La figura mostra la vista dall'alto (piano $XY$): la retta $s$, essendo verticale, appare come un punto, e si vede anche la proiezione di $B$.

In un cristallo con struttura a parallelogramma si conoscono tre vertici: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, 5, 6)$. Se il centro del parallelogramma $M$ è il centro di simmetria che collega vertici opposti, determina il quarto vertice $D$ sapendo che è il simmetrico di $B$ rispetto al punto medio del segmento $AC$.

Un drone subacqueo si trova nella posizione $D(4, -2, -5)$ (il piano XY rappresenta il livello del mare). Dapprima sale verticalmente di una certa distanza applicando il vettore di traslazione $\vec{v} = (0, 0, 5)$. Poi emette un impulso sonar che si riflette specularmente sul fondale marino, completamente piano e definito dall'equazione $z = -10$. Quali sono le coordinate del punto simmetrico della nuova posizione del drone rispetto al fondale?

Lucia deve calcolare le coordinate del punto simmetrico di $P(1, 0, -2)$ rispetto al piano $\pi: 2x - y + z + 5 = 0$. Nel suo compito svolge quanto segue:

1.º Scrive la retta $r$ perpendicolare a $\pi$ che passa per $P$: $r: (x, y, z) = (1 + 2t, -t, -2 + t)$.

2.º Sostituisce le equazioni parametriche di $r$ nel piano $\pi$ per determinare l'intersezione:

3.º Sostituisce il parametro $t$ nella retta e ottiene il punto $M\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$.

4.º Conclude: «Il punto simmetrico cercato è $P'\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia e spiega, basandoti sulla distanza dei punti dal piano $\pi$, perché il suo risultato è geometricamente impossibile.
2. b) Correggi il procedimento e calcola le coordinate corrette del punto simmetrico $P'$.

Si considerano il punto $P(4, 2, -1)$ e il piano $\pi: x + y - 2 = 0$.

1. a) Prima di effettuare calcoli analitici dettagliati, osserva il vettore normale del piano $\pi$ e rispondi con argomentazioni: quale coordinata di $P$ rimarrà invariata nel suo punto simmetrico $P'$? Inoltre, tenendo conto che le coordinate iniziali di $P$ verificano $x + y = 6 > 2$, stima con argomentazioni se le coordinate $x$ e $y$ di $P'$ dovranno essere maggiori o minori di quelle di $P$.
2. b) Determina analiticamente la proiezione ortogonale $M$ di $P$ su $\pi$ e trova le coordinate del simmetrico $P'$ applicando la relazione del punto medio.
3. c) Verifica se i valori numerici ottenuti per $P'$ confermano le stime geometriche che hai fatto nel punto a).

Un architetto sta progettando una struttura metallica e deve collocare due supporti in punti simmetrici rispetto al centro di una trave principale. Se uno dei supporti deve trovarsi nel punto $P(3, -2, 4)$ e il centro della trave si trova in $M(1, 2, 1)$, determina le coordinate in cui deve essere posto il secondo supporto $P'$.

Calcola le coordinate del punto $Q$, simmetrico del punto $P(1, 0, 5)$ rispetto al piano di equazione $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Spiega brevemente i passaggi seguiti (determinazione della retta perpendicolare, punto di intersezione e punto medio).

Data la retta $r$ definita dalle equazioni parametriche:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Determina il punto simmetrico di $A(3, 2, 1)$ rispetto a tale retta.

In uno studio di realtà virtuale, un oggetto situato in $V(2, 4, 6)$ si riflette su uno specchio piano che coincide con il piano coordinato $OXY$ ($z=0$).

1. a) Determina il punto simmetrico $V'$.
2. b) Se lo specchio viene spostato parallelamente fino alla posizione $\pi: z = 2$, qual è il nuovo punto simmetrico $V''$?

Considera i punti $A(1, 1, 1)$ e $B(3, 5, 5)$. Trova l'equazione del piano $\pi$ che funge da "piano di simmetria" tra i due punti (cioè il piano rispetto al quale $A$ e $B$ sono simmetrici).

Si sa che il punto $P'(5, -3, 0)$ è il simmetrico di $P(1, 1, 0)$ rispetto a una retta $r$. Se il vettore direzione della retta è $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina l'equazione in forma continua della retta $r$.

Un raggio laser parte dal punto $A(1, 2, 3)$, rimbalza su un vetro piano la cui equazione è $\pi: x + y + z = 12$ e arriva al punto $B$. Se sappiamo che il punto in cui il laser tocca il vetro è il punto di incidenza minima (il punto medio della traiettoria se $A$ e $B$ fossero simmetrici), determina le coordinate di $B$ sapendo che è il simmetrico di $A$ rispetto al piano $\pi$.

Determina il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché i punti $P(1, 2, -1)$ e $Q(a, b, 3)$ siano simmetrici rispetto al punto $C(0, 1, 1)$. Una volta trovati, verifica se il vettore $\vec{PQ}$ è parallelo al vettore $\vec{u} = (1, 1, -4)$.

Si sa che il punto $P'(-1, 5, 2)$ è il simmetrico di $P(3, 1, -2)$ rispetto a un piano di riflessione $\pi$ incognito.

1. a) Deduci con argomentazioni l'equazione generale del piano $\pi$. Giustifica ogni passaggio spiegando quali due proprietà geometriche fondamentali legano il segmento $PP'$ al piano di simmetria.
2. b) Una retta dello spazio è globalmente invariante rispetto a una simmetria speculare (cioè la sua retta simmetrica coincide con essa stessa, $r' = r$) se e solo se soddisfa una delle due possibili condizioni geometriche rispetto al piano $\pi$. Enuncia con argomentazioni quali sono queste due condizioni e determina se la retta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}$ è invariante rispetto al piano $\pi$ trovato nel punto precedente.

Nel progetto di ammodernamento di una galleria della tangenziale di Roma si utilizza un sistema di coordinate tridimensionale (in metri) per collocare sensori acustici simmetrici. La parete laterale sinistra del tratto è modellizzata dal piano $\pi: 2x - y + 2z - 12 = 0$. Sulla parete opposta è stato fissato un primo sensore nel punto $P(7, 1, 4)$.

1. a) Per motivi di calibrazione e bilanciamento acustico, deve essere collocato un secondo sensore nella posizione $P'$, simmetrica di $P$ rispetto alla parete $\pi$. Determina con argomentazioni le coordinate in cui deve essere ancorato $P'$.
2. b) Un cavo dati collega il sensore $P$ a una scatola di derivazione situata in $C(-2, 1, 4)$. Il team tecnico propone di collocare la scatola simmetrica corrispondente nel punto $C^*(2, -1, 5)$. Senza dover calcolare l'intera retta simmetrica, verifica se $C^*$ è esattamente il simmetrico di $C$ rispetto a $\pi$. In caso negativo, individua quale rapido controllo geometrico (la direzione perpendicolare o la posizione del punto medio) rivela l'errore e calcola la posizione corretta $C'$.

Un drone di sorveglianza si trova nel punto $A(1, -2, 3)$. Per evitare di essere rilevato da un radar, deve spostarsi al punto $B(5, 4, 1)$ effettuando uno scalo tecnico su una piattaforma piana rappresentata dal piano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determina le coordinate di un punto $P$ su tale piano in modo che il percorso totale $AP + PB$ sia minimo.

Indicazione: utilizza la simmetria del punto $A$ rispetto al piano $\pi$ per risolvere questo problema di ottimizzazione geometrica.

Si proietta un fascio di luce laser che segue la traiettoria della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. Il raggio incide su una superficie metallica levigata situata nel piano $XY$ (piano $z=0$). Calcola l'equazione della retta $s$ che contiene il raggio riflesso.

Nota: la retta riflessa è la simmetrica della retta incidente rispetto al piano di incidenza.

Determina il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché il punto simmetrico di $P(1, k, 2)$ rispetto alla retta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ appartenga al piano $\pi: 3x - y + z - 10 = 0$.

Considera i punti $A(2, 0, 1)$ e $B(0, 2, -1)$. Si sa che il punto $B$ è il simmetrico di $A$ rispetto a una retta $r$ che passa per l'origine del sistema di coordinate. Determina le equazioni cartesiane di tale retta $r$.

Determina l'equazione del piano $\pi'$ che è simmetrico del piano $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ rispetto al piano di simmetria $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Suggerimento: analizza la posizione reciproca dei due piani. Se sono incidenti, la retta intersezione appartiene al piano cercato.

Siano le rette $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ e $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$. Calcola il punto simmetrico di $Q(0, 0, 10)$ rispetto al piano che contiene entrambe le rette. Se tale piano non esiste, spiega perché e calcola il simmetrico di $Q$ rispetto alla retta $s$.

Dato il punto $A(1, 2, 3)$, calcola le coordinate dei suoi simmetrici rispetto ai tre piani coordinati ($XY$, $XZ$ e $YZ$). Determina se i quattro punti (l'originale e i tre simmetrici) sono complanari e, in caso affermativo, determina l'equazione del piano che li contiene.

In un progetto di architettura si vuole costruire una struttura simmetrica rispetto a un pilastro centrale rappresentato dalla retta $r: x-1 = y = \dfrac{z+2}{2}$. Uno dei vertici della struttura si trova nel punto $V(3, 1, 0)$.

1. a) Determina il vertice simmetrico $V'$ di $V$ rispetto al pilastro $r$.

1. b) Calcola il volume del tetraedro i cui vertici sono $V$, $V'$, l'origine delle coordinate $O(0,0,0)$ e il punto $A(1, 0, -2)$ della retta $r$.

Per determinare la retta simmetrica $s'$ di una retta $s$ rispetto a un piano $\pi$, si confrontano di solito due strategie:

• Metodo A: determinare il punto di intersezione $I = s \cap \pi$ (che, trovandosi sul piano, è invariante, $I' = I$), calcolare il simmetrico $A'$ di un altro punto qualsiasi $A \in s$ rispetto a $\pi$, e tracciare la retta che passa per $I$ e $A'$.

• Metodo B: scegliere due punti distinti $A, B \in s$, calcolare in modo indipendente i loro simmetrici $A'$ e $B'$ rispetto a $\pi$, e scrivere la retta che unisce $A'$ e $B'$.

1. a) Analizza criticamente entrambi i percorsi: per quale posizione reciproca della retta $s$ rispetto al piano $\pi$ il Metodo A risulta inapplicabile? In che modo la geometria del problema permette di semplificare il calcolo in quel caso particolare, senza dover riflettere due punti completi come richiederebbe il Metodo B standard?
2. b) Date la retta $s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$ e il piano $\pi: x + 2y + z + 5 = 0$, analizza la loro posizione reciproca, giustifica quale sia la via risolutiva più efficiente e ottieni le equazioni in forma continua della retta simmetrica $s'$.

Nello spazio tridimensionale si considerano i punti $P(2, 3, 1)$ e $P'(-2, 1, 5)$, che sono simmetrici rispetto a un asse di simmetria assiale (una retta $e$).

1. a) A differenza di quanto accade nel piano $\mathbb{R}^2$, dove due punti simmetrici determinano un unico asse di simmetria, in $\mathbb{R}^3$ esistono infinite rette che possono fungere da asse di simmetria per la coppia $P$ e $P'$. Spiega con argomentazioni perché accade questo e descrivi quale luogo geometrico formano tutti i possibili assi di simmetria assiale associati a tali punti.
2. b) Si aggiunge la condizione che l'asse di simmetria $e$ sia contenuto nel piano $\pi: x + y + z - 5 = 0$. Giustifica perché questa condizione è geometricamente compatibile con le posizioni di $P$ e $P'$, e ottieni le equazioni in forma continua dell'asse di simmetria $e$.
3. c) Verifica analiticamente la validità della retta $e$ ottenuta controllando due condizioni metriche essenziali: l'appartenenza del punto medio di $PP'$ alla retta $e$ e l'ortogonalità tra il vettore direzione di $e$ e il vettore $\vec{PP'}$.