Esercizi: Distanze nello spazio

In un ambiente di sviluppo di un videogioco in 3D, due oggetti sono situati nei punti $A(2, -3, 1)$ e $B(6, 1, 1)$, dove le unità sono in metri. Calcola la distanza che separa i due oggetti per programmare una collisione se questa è minore di 5 metri.

Un'antenna trasmittente di telefonia si trova nel punto $P(1, 2, -3)$. Si sa che il segnale è intercettato in modo ottimale da un pannello riflettente piano la cui equazione è $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distanza minima che l'onda deve percorrere dall'antenna al pannello.

Nel progetto di una sala espositiva, il pavimento e il soffitto sono stati modellizzati come due piani paralleli di equazioni $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ e $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Trova l'altezza della sala.

Il gancio di una gru da cantiere è sospeso nella posizione $Q(4, -3, 12)$. I tecnici hanno bisogno di conoscere la distanza del gancio dall'asse delle quote (asse $OZ$). Calcola tale distanza per verificare lo spazio libero di rotazione della gru rispetto all'asse verticale di riferimento.

Considera il punto $A(1, 5, -2)$ e la retta $r$ definita dalle sue equazioni parametriche:

Trova la distanza del punto $A$ dalla retta $r$ applicando la formula del prodotto vettoriale.

Un sensore di profondità laser si trova nel punto $S(5, -7, 4)$. Il laser punta direttamente verso la parete laterale, rappresentata dal piano coordinato $XZ$. A che distanza si trova il sensore da tale parete?

È stata installata una rotaia metallica per un robot industriale che segue la traiettoria della retta:

Se il pavimento della fabbrica è il piano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, verifica prima che la rotaia è parallela al pavimento e calcola poi la distanza di sicurezza a cui si trova la rotaia dal pavimento stesso.

Calcola le coordinate dei punti dell'asse delle ascisse (asse $OX$) la cui distanza dal punto $P(3, 2, 2)$ è esattamente $\sqrt{8}$ unità. Spiega perché geometricamente ottieni una sola soluzione.

In una verifica di quinto anno di liceo si chiede di calcolare la distanza tra i due piani paralleli $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ e $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. Luca scrive nel suo compito la seguente risoluzione:

«Poiché i piani sono paralleli, sottraggo direttamente i termini noti e divido per il modulo del vettore normale di $\pi_1$:

1. Individua l'errore concettuale commesso da Luca nell'applicare la formula direttamente con i coefficienti dati.

2. Spiega geometricamente perché la formula semplificata della differenza dei termini noti è valida solo quando le equazioni hanno esattamente lo stesso vettore normale (o come si risolverebbe in modo sicuro scegliendo un punto di uno dei piani).

3. Correggi il calcolo e trova la distanza reale ed esatta tra $\pi_1$ e $\pi_2$.

Si considera il punto $P(4, 3, 7)$ e la retta verticale $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, parallela all'asse $Z$.

1. Stima e ragiona: Prima di applicare qualsiasi formula, analizza la posizione di $P$ e della retta $r$. Spiega perché la quota (coordinata $z$) di $P$ non deve influire sulla distanza minima dalla retta verticale $r$, e deduci il valore esatto che dovrebbe avere tale distanza basandoti unicamente sulle coordinate $x$ e $y$ proiettate sul piano $z = 0$.

2. Verifica: Scrivi la retta $r$ in forma continua o parametrica, scegli un punto $A \in r$, il suo vettore direttore $\vec{v}$, e calcola formalmente la distanza applicando la formula tridimensionale del prodotto vettoriale: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Verifica se il risultato coincide con la tua deduzione precedente e spiega quale grandezza geometrica rappresenta il vettore $\vec{AP} \times \vec{v}$ in questo contesto.

Un razzo sonda segue una traiettoria lineare definita dalla retta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. Il razzo deve inviare un segnale alla stazione di tracciamento situata nel punto $P(5, -1, 4)$. Calcola la distanza minima alla quale il razzo passerà dalla stazione di tracciamento durante il suo volo.

Si stanno progettando le strutture di sostegno di un padiglione. Due delle travi principali sono modellizzate dalle rette $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ e $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distanza minima che separa le due travi per verificare se sia necessario installare un connettore di sicurezza tra di esse.

In uno scavo archeologico si è stabilito che il pavimento originale di un ambiente si trova sul piano $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Un gruppo di sensori si sposta su una guida metallica rappresentata dalla retta $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Verifica che la guida è parallela al pavimento dell'ambiente.
2. b) Calcola la distanza costante a cui si trovano i sensori dal pavimento.

Trova le coordinate dei punti della retta $r \equiv x = y = z$ che si trovano a una distanza di $2\sqrt{3}$ unità dal piano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Determina il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai punti $A(1, -2, 3)$ e $B(3, 0, 1)$. Quale figura geometrica rappresenta? Calcola la distanza dall'origine del sistema di coordinate da tale luogo geometrico.

Considera il cubo di spigolo 4 unità con un vertice nell'origine $(0,0,0)$ e i suoi spigoli sugli assi positivi delle coordinate. Calcola la distanza dal vertice $V(4, 4, 4)$ alla diagonale del cubo che unisce i punti $(4, 0, 0)$ e $(0, 4, 0)$.

Un fascio di luce laser parte dal punto $A(1, 1, 1)$ nella direzione del vettore $\vec{v} = (1, 0, 2)$. Vogliamo collocare uno specchio piano parallelo al piano $XY$ in modo che la distanza del punto $A$ dallo specchio sia di 5 unità.

1. a) Trova le due possibili equazioni dei piani che contengono lo specchio.
2. b) Calcola la distanza dall'origine da ciascuno di tali piani.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la distanza tra i piani paralleli $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sia di 3 unità. Spiega perché esistono due possibili valori per $k$.

Si vuole progettare una galleria sotterranea di ventilazione il cui asse centrale segue la retta:

Per proteggerla, si costruiranno due schermi piani paralleli alla famiglia di piani con vettore normale $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

1. Spiega con un ragionamento perché, se la retta $r$ non fosse parallela ai piani di tale famiglia, non avrebbe senso cercare piani della famiglia che si trovino a una distanza costante non nulla dalla retta. Verifica analiticamente che in questo caso $r$ è effettivamente parallela a tali piani.

2. Scrivi l'equazione generale della famiglia di piani paralleli $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ e determina i due possibili valori del parametro $D$ affinché la distanza della retta $r$ dal piano corrispondente sia esattamente $5\text{ metri}$.

3. A partire dai valori di $D$ trovati, deduci direttamente (senza riapplicare la formula della distanza) quale sia la distanza che separa i due schermi piani tra loro, giustificando la risposta.

L'ente italiano per la gestione della navigazione aerea (ENAV) monitora nel proprio centro di controllo la traiettoria di due aeromobili in rotta commerciale all'interno dello spazio aereo nazionale. Prendendo come riferimento un sistema cartesiano con distanze in chilometri, le traiettorie rettilinee dei due voli sono descritte da:

1. Dimostra analiticamente che le traiettorie non sono parallele né si intersecano in alcun punto (cioè che sono sghembe nello spazio).

2. Il protocollo di sicurezza aerea impone di attivare un avviso preventivo se la distanza minima teorica tra le traiettorie lineari è inferiore a $8\text{ km}$. Calcola la distanza minima tra le due rette utilizzando la formula del prodotto misto e del prodotto vettoriale, e stabilisci se il centro di controllo debba emettere tale avviso.

3. Dal punto di vista del moto reale degli aerei, spiega perché una distanza tra le traiettorie inferiore a $8\text{ km}$ non implica necessariamente un rischio imminente di collisione fisica, indicando quale ulteriore grandezza cinematica si dovrebbe considerare per sapere se i due aerei si trovano nei pressi del punto di massimo avvicinamento nello stesso istante.

Due satelliti per le comunicazioni seguono traiettorie lineari nello spazio (misurate in centinaia di chilometri) rappresentate dalle rette $r$ e $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Si chiede di:

1. Determinare i valori del parametro $k$ affinché la distanza minima tra le due traiettorie sia esattamente di $\sqrt{6}$ unità (600 km).

2. Per ciascun valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, calcola i punti di ciascuna traiettoria in cui si raggiunge tale distanza minima (punti della perpendicolare comune).

Un'azienda di logistica utilizza droni per il trasporto di pacchi. Un drone si sposta dal punto $A(1, 0, 2)$ in linea retta verso il punto $B(5, 4, 10)$. Al centro della zona operativa c'è un'antenna trasmittente situata nel punto $P(3, 5, 1)$.

Calcola:

1. Il punto esatto della traiettoria del drone che si trova alla distanza minima dall'antenna.

2. Se il segnale dell'antenna ha una portata di $5$ unità, determina durante quale intervallo del suo percorso (valori del parametro $\lambda$) il drone ha copertura.

Si considera un piano $\pi$ che passa per il punto $M(1, 0, 3)$ ed è perpendicolare alla retta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Determina l'equazione della sfera tangente al piano $\pi$ e con centro nel punto $C(4, 5, 2)$.

2. Calcola la distanza dall'origine delle coordinate al punto di tangenza tra la sfera e il piano.

Un architetto progetta una struttura all'avanguardia composta da due cavi tesi. In un sistema di riferimento cartesiano, il primo cavo coincide con la retta $r$ che passa per $A(1, 1, 1)$ e $B(2, 3, 0)$. Il secondo cavo segue la direzione del vettore $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e passa per il punto $C(0, 2, 2)$.

Calcola:

1. La distanza minima tra i due cavi.

2. L'equazione della retta che rappresenta un rinforzo metallico che unisce i due cavi per il cammino più breve possibile (perpendicolare comune).

Determina le coordinate dei punti della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ equidistanti dai piani:

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Analizza se esiste un punto della retta la cui distanza da entrambi i piani sia nulla e spiega il suo significato geometrico.

Sia dato il punto $P(1, 2, -1)$ e la retta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcola il punto simmetrico di $P$ rispetto alla retta $r$. Chiamiamolo $P'$.

2. Determina la distanza di $P'$ dal piano $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Qual è il volume del tetraedro formato dal punto $P$, dalla sua proiezione sulla retta $r$, e dai punti di intersezione del piano $\pi$ con gli assi $OX$ e $OY$?

Un raggio laser parte dal punto $A(5, 2, 6)$ e si riflette su uno specchio piano rappresentato dal piano coordinato $XY$ ($z=0$). Il raggio riflesso deve passare per il punto $B(1, 4, 2)$.

Si chiede di:

1. Determinare le coordinate del punto di impatto $C$ del laser sullo specchio.

2. Calcolare la distanza totale percorsa dal raggio dal punto $A$ al punto $B$. (Nota: la distanza minima si ottiene mediante il punto simmetrico).

Data la famiglia di piani $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, dove $a \in \mathbb{R}$:

1. Dimostra che tutti i piani della famiglia contengono una stessa retta comune $r$. Trova le equazioni di tale retta.

2. Calcola la distanza del punto $Q(2, -1, 0)$ dalla retta $r$.

3. Determina il valore di $a$ per il quale il piano $\pi_a$ si trova a una distanza di $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unità dal punto $P(0, 0, 0)$.

Sono dati il punto $P(2, -1, 3)$ e la retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Un esercizio propone di risolvere due questioni successive:

(a) Calcolare la distanza del punto $P$ dalla retta $r$.

(b) Trovare le coordinate del punto $P'$, simmetrico di $P$ rispetto a $r$.

Due studenti discutono sulla strategia risolutiva:

• Lucia propone di risolvere (a) mediante la formula del prodotto vettoriale $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, e poi di risolvere (b) determinando la proiezione ortogonale $M$ di $P$ su $r$.

• Carlo sostiene che usare la formula del prodotto vettoriale in questo esercizio è una cattiva scelta metodologica che genera calcoli ridondanti, e che è più efficiente cominciare direttamente cercando la proiezione ortogonale $M$.

Si chiede di:

1. Valuta criticamente entrambe le posizioni: spiega perché il metodo di Lucia raddoppia il lavoro di calcolo e dimostra come l'aver ottenuto prima la proiezione ortogonale $M$ permetta di rispondere immediatamente ai punti (a) e (b).

2. Seguendo il metodo proposto da Carlo (mediante un punto generico della retta o costruendo il piano ausiliario perpendicolare a $r$ passante per $P$), trova le coordinate della proiezione ortogonale $M$, deduci da essa la distanza esatta $d(P, r)$ e calcola le coordinate del punto simmetrico $P'$.

Due piani incidenti $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ si intersecano lungo una retta nello spazio, dividendolo in quattro regioni angolari diedre.

1. Utilizzando la definizione analitica di distanza di un punto da un piano, imposta la condizione geometrica che deve soddisfare ogni punto $X(x, y, z)$ dello spazio per essere equidistante da entrambi i piani: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Sviluppa l'equazione ottenuta applicando le proprietà del valore assoluto e ricava le equazioni generali dei due piani bisettori risultanti, $\sigma_1$ e $\sigma_2$.

3. A partire dai vettori normali di $\sigma_1$ e $\sigma_2$, verifica algebricamente che i due piani bisettori sono perpendicolari tra loro.

4. Generalizza il risultato precedente a qualsiasi coppia di piani incidenti: se due piani hanno vettori normali unitari $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (con $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), dimostra mediante le proprietà del prodotto scalare che i vettori normali dei piani bisettori, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, sono sempre ortogonali, spiegando il significato geometrico di questo fatto.