Esercizi: Angoli tra rette e piani nello spazio

Un architetto sta progettando la copertura inclinata di un palazzetto dello sport. Nel suo progetto la struttura di sostegno principale segue la direzione della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mentre il pavimento del palazzetto si trova sul piano orizzontale $\pi: z = 0$. Calcola l'angolo formato dalla trave di sostegno con il pavimento.

La traiettoria di un drone di sorveglianza è definita dalla retta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. Il drone deve attraversare un pannello di vetro blindato situato nel piano $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Determina l'angolo di incidenza (l'angolo formato dalla traiettoria con il piano) con cui il drone colpirà il vetro.

Calcola l'angolo formato dalla retta $r$ passante per i punti $A(1, 0, 1)$ e $B(2, 1, 2)$ con il piano di equazione generale $\pi: x + y + 1 = 0$.

Data la retta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ e il piano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, verifica se la retta e il piano sono paralleli o se, al contrario, si intersecano formando un angolo determinato. Nel caso si intersechino, calcola tale angolo.

Un raggio laser parte dall'origine delle coordinate $O(0, 0, 0)$ nella direzione del vettore $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Si consideri una parete piana di equazione $\pi: x - 2y + z = 0$. Quale angolo forma il fascio di luce con la superficie della parete?

Determina l'angolo formato dalla retta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ con il piano coordinato $OXY$ ($z = 0$). Spiega brevemente il significato geometrico del risultato ottenuto.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sia perpendicolare al piano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Qual è l'angolo che formano in questo caso?

Calcola il seno dell'angolo formato dalla retta $r$, definita come intersezione dei piani $\pi_1: x - y = 0$ e $\pi_2: y - z = 0$, con il piano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Suggerimento: ricava prima il vettore direttore della retta $r$ mediante il prodotto vettoriale dei vettori normali di $\pi_1$ e $\pi_2$).

Marco affronta il seguente problema d'esame: «Calcola l'angolo $\alpha$ formato dalla retta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z}{0}$ con il piano $\pi: x + \sqrt{3}y - 7 = 0$». Nello svolgimento scrive:

«Ricavo il vettore direttore della retta $\vec v = (1, 0, 0)$ e il vettore normale del piano $\vec n = (1, \sqrt{3}, 0)$. Applico la formula del prodotto scalare:

Quindi $\alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega geometricamente perché il rapporto trigonometrico adeguato tra una retta e un piano è il seno e non il coseno.
2. b) Correggi il procedimento e determina il valore reale dell'angolo $\alpha$.
3. c) Se il prodotto scalare tra $\vec v$ e $\vec n$ fosse stato uguale a $0$, quale posizione reciproca avrebbero la retta e il piano? Quale angolo formerebbero?

Considera la retta $r$ che passa per l'origine del sistema di coordinate $O(0, 0, 0)$ e per il punto $A(1, 1, 8)$, e il piano orizzontale del suolo $\pi: z = 0$.

1. a) Stima: prima di eseguire qualsiasi calcolo trigonometrico, analizza le componenti del vettore direzionale $\vec{OA} = (1, 1, 8)$. Se un punto sale di $8$ unità in verticale mentre avanza solo di $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unità nel piano orizzontale, ti aspetti ragionevolmente che l'angolo $\alpha$ della retta con il suolo sia più vicino a $15^\circ$, a $45^\circ$ o a $80^\circ$? Giustifica qualitativamente la tua previsione.
2. b) Calcola: ottieni analiticamente il valore esatto di $\sin\alpha$ utilizzando i vettori corrispondenti e calcola il valore di $\alpha$ arrotondato al primo di grado più vicino.
3. c) Verifica: confronta il risultato con la tua stima iniziale. Spiega che cosa accadrebbe all'angolo $\alpha$ se la quota $z$ del punto $A$ aumentasse indefinitamente mantenendo costanti la sua ascissa e la sua ordinata.

Calcola l'angolo acuto formato dalla retta $r$, passante per i punti $A(1, 0, -2)$ e $B(3, -1, 1)$, con il piano $\pi$ di equazione generale $2x + y - 3z + 4 = 0$. Esprimi il risultato in gradi, primi e secondi.

Data la retta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ e il piano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina il valore del parametro reale $k$ sapendo che l'angolo formato dalla retta e dal piano è $30^\circ$.

Uno studio di architettura progetta un lucernario su un tetto inclinato rappresentato dal piano $\pi \equiv 3x + 4y + z - 12 = 0$. Un raggio di luce incide seguendo la direzione della retta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{2}$.

Calcola l'angolo $\alpha$ che il raggio di luce forma con il piano del tetto e l'angolo di incidenza $\beta$ che forma con la normale al piano.

Determina l'equazione cartesiana del piano $\pi$ che contiene la retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ ed è perpendicolare al piano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una volta trovato, verifica quale sia l'angolo formato dalla retta $r$ con tale piano $\pi$. Il risultato era prevedibile? Motiva la risposta.

Considera il cubo di spigolo 1 unità con un vertice nell'origine $(0,0,0)$ e gli spigoli sugli assi coordinati positivi. Sia $d$ la retta che contiene la diagonale principale del cubo (quella che unisce $(0,0,0)$ con $(1,1,1)$).

Determina l'angolo formato da tale diagonale $d$ con la faccia del cubo che si trova nel piano $XY$.

Determina l'angolo formato dalla retta $r$, definita come intersezione dei piani $\pi_1 \equiv x - y = 0$ e $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con il piano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

È stato installato un pannello solare rappresentato dal piano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Si sa che il pannello passa per il punto $P(1, 2, 1)$ e che, per massimizzarne l'efficienza, deve formare un angolo di $60^\circ$ con l'asse $OZ$ (la verticale).

Calcola i possibili valori del parametro $a$ (supponi $a > 0$).

Calcola l'angolo formato dalla retta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con ciascuno dei piani coordinati. La somma di questi tre angoli è $180^\circ$? Giustifica la risposta utilizzando i concetti di vettori direttori e normali.

In un'azienda agroenergetica con irrigazione in provincia di Foggia viene installato un pannello solare orientato per massimizzare la captazione estiva. Nel sistema di coordinate fissato (con quote in metri e il suolo situato nel piano orizzontale $z = 0$), il pannello fotovoltaico poggia sul piano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$.

Per rinforzare la struttura contro il vento, si ancora una barra rettilinea in acciaio $r$ che unisce il punto del suolo $A(1, 0, 0)$ con il vertice superiore della struttura $B(3, 2, 4)$.

1. a) Determina le equazioni continue della retta $r$ che modellizza la barra e le componenti di un vettore normale $\vec n$ al piano $\pi$ del pannello.
2. b) Calcola l'angolo $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ formato dalla barra con la superficie piana del pannello solare.
3. c) La relazione tecnica del progetto avverte che, per evitare tensioni di strappo negli ancoraggi del pannello, la barra di rinforzo deve incidere sulla superficie con un angolo strettamente superiore a $20^\circ$. Stabilisci con una giustificazione se l'installazione realizzata rispetta tale prescrizione tecnica.

Si progetta una rampa di carico rettilinea $r$ che parte dal punto di ancoraggio $P(1, 0, 2)$. Per limitazioni architettoniche del capannone industriale, la traiettoria della rampa deve essere interamente contenuta nel piano verticale $\pi_1: x = 1$ e inoltre i protocolli di ergonomia richiedono che salga formando un angolo esatto di $30^\circ$ con il suolo orizzontale $\pi_2: z = 0$.

1. a) A partire dalla condizione di appartenenza al piano $\pi_1: x = 1$, deduci quale componente del vettore direttore $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ si annulla necessariamente.
2. b) Imposta l'equazione dell'angolo tra retta e piano con $\pi_2: z = 0$ per trovare le componenti dei possibili vettori direttori $\vec v$ (assumendo, per fissare la scala, che la componente verticale sia $v_3 = 1$).
3. c) Scrivi le equazioni continue delle due rette distinte che risolvono il problema e spiega geometricamente perché compaiono esattamente due soluzioni simmetriche rispetto alla retta verticale passante per $P$.

Un fascio di luce laser incide da un satellite seguendo la traiettoria della retta $r$, che passa per il punto $A(1, 0, 2)$ e ha come vettore direttore $\vec{v}(k, 1, 1)$. L'obiettivo è che il raggio colpisca una stazione ricevente situata in un piano $\pi$ di equazione $2x - y + z = 5$. Determina i valori del parametro reale $k$ affinché l'angolo formato dalla traiettoria del laser con il piano ricevente sia esattamente $30^\circ$.

Nella progettazione di un auditorium all'avanguardia si prevede una trave di sostegno che segue la direzione della retta $s$, definita dall'intersezione dei piani:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Si desidera che questa trave formi un angolo $\alpha$ con il piano della facciata principale $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Sapendo che $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcola il valore del coefficiente $a$ della facciata.

Un braccio robotico industriale in uno stabilimento di assemblaggio deve spostarsi lungo una guida rettilinea $r$ che passa per l'origine delle coordinate $O(0,0,0)$ e per il punto $P(1, -1, 0)$. Il braccio deve operare su una lastra metallica inclinata che coincide con il piano $\pi$ contenente i punti $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Calcola l'angolo formato dalla traiettoria del robot con la lastra di lavoro.

Una particella carica si muove in un acceleratore lungo la retta $r$ che passa per il punto $M(2, 3, -1)$ ed è parallela alla retta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. Entrando in una zona con un campo magnetico, la particella attraversa un piano $\pi$ perpendicolare alla retta $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Determina l'angolo di ingresso della particella in tale campo magnetico (angolo tra $r$ e $\pi$).

Si considera una piramide la cui base è il piano $XY$ ($z=0$) e il cui spigolo laterale principale si trova sulla retta $r$ che unisce il vertice superiore $V(2, 2, 5)$ con il punto della base $P(0, 0, 0)$.

1. a) Determina l'angolo formato da tale spigolo con il piano di base.
2. b) Se volessimo inclinare il piano di base in modo che l'angolo con lo spigolo fosse $90^\circ$, quale dovrebbe essere l'equazione del nuovo piano di base, se deve continuare a passare per l'origine?

Determina l'equazione della retta $r$ che passa per il punto $Q(1, 1, 1)$, è parallela al piano $\alpha \equiv x - y + z = 2$ e forma un angolo di $45^\circ$ con il piano $\beta \equiv x + y = 0$. Questa retta è unica? Giustifica la risposta utilizzando il concetto di vettori direttori.

Un pannello solare è collocato su una struttura metallica. Il pannello è contenuto nel piano $\pi \equiv x + y + z = 1$. I raggi del sole a mezzogiorno seguono la direzione della retta $r$ che passa per il punto $S(10, 10, 10)$ ed è perpendicolare al piano di inclinazione del terreno $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calcola l'angolo di incidenza dei raggi solari sul pannello.
2. b) Se per ottenere la massima efficienza l'angolo deve essere $90^\circ$, determina un vettore normale per un nuovo pannello che soddisfi questa condizione.

Calcola l'angolo formato dalla retta $r$ con il piano $\pi$, sapendo che $r$ è la retta che contiene la mediana uscente dal vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ e $C(1, 4, 3)$, e che il piano $\pi$ è il piano che contiene i punti $B$, $C$ e l'origine delle coordinate $O(0, 0, 0)$.

Data la retta $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ e il piano orizzontale $XY$ di equazione generale $\pi: z = 0$.

Per determinare l'angolo $\alpha$ formato dalla retta $r$ con tale piano, due studenti di quinto liceo propongono percorsi alternativi:

• Strategia A (angolo retta-piano): utilizzare il vettore normale del piano $\vec n = (0, 0, 1)$ e il vettore direttore $\vec v = (2, -1, 2)$ mediante la formula diretta $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Strategia B (angolo complementare con l'asse $OZ$): trattare l'asse verticale $OZ$ come una retta di vettore direttore $\vec u = (0, 0, 1)$, calcolare l'angolo tra rette $\beta$ mediante $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ e infine ottenere $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi numericamente e verifica che forniscano esattamente la stessa misura per $\alpha$.
2. b) Dimostra analiticamente che la formula della Strategia A si deduce dalla Strategia B applicando l'identità trigonometrica $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, spiegando il ruolo del complementare nella definizione metrica.
3. c) Valuta criticamente entrambi i procedimenti: se il piano del problema non fosse orizzontale ma un piano obliquo qualsiasi (ad esempio $\pi': 2x - 3y + z = 5$), quale svantaggio insuperabile o costo operativo aggiuntivo presenterebbe la Strategia B rispetto alla Strategia A? Giustifica quale sia il metodo generale preferibile.

Considera la retta $s$ definita dall'intersezione di piani:

e la retta $r$ data in forma continua:

Si definisce il fascio di piani passanti per la retta $s$, la cui equazione è data da $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, al quale si aggiunge il piano complementare $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Determina i valori di $\lambda$ per i quali l'angolo $\alpha$ formato dalla retta $r$ e dal piano $\pi_\lambda$ è esattamente $45^\circ$. Scrivi l'equazione generale di ciascuno dei piani ottenuti.
2. b) Verifica analiticamente se il piano complementare $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forma anch'esso $45^\circ$ con $r$.
3. c) Spiega geometricamente se esiste un piano di questo fascio che possa essere strettamente perpendicolare alla retta $r$. A tal fine, analizza la condizione necessaria che dovrebbero soddisfare i vettori direttori delle due rette $\vec v_s$ e $\vec v_r$, senza dover risolvere sistemi di equazioni complessi.