Esercizi: Prodotto scalare

Dati i vettori $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (4, 5)$, calcola il loro prodotto scalare e stabilisci se sono ortogonali.

Sapendo che i moduli di due vettori sono $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$ e che l'angolo da essi formato è $60^\circ$, calcola il valore esatto del loro prodotto scalare $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Trova il valore del parametro $m$ affinché i vettori $\vec{p} = (m, -3)$ e $\vec{q} = (6, 2)$ siano perpendicolari.

Calcola l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Dati i punti del piano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(0, 5)$, calcola il valore del prodotto scalare $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Utilizzando le proprietà del prodotto scalare, sviluppa e calcola il valore dell'espressione $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sapendo che $|\vec{u}| = 5$ e $|\vec{v}| = 3$.

Trova le coordinate di un vettore $\vec{w}$ perpendicolare al vettore $\vec{v} = (-5, 12)$ e avente il suo stesso modulo.

Calcola il modulo del vettore $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ conoscendo le componenti dei vettori $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 4)$.

Elena deve calcolare l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 3)$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

«$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = -3$. Poiché il prodotto scalare non può essere negativo quando si misurano lunghezze geometriche, cambio il segno a $+3$. Quindi $\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, da cui $\alpha = 45^\circ$».

1. a) Indica l'errore concettuale che commette Elena riguardo al segno del prodotto scalare e spiega il suo vero significato geometrico in relazione al tipo di angolo.
2. b) Correggi la risoluzione calcolando il valore esatto dell'angolo $\alpha$ formato dai due vettori.

Si considerano i vettori del piano $\vec{u} = (5, 2)$ e $\vec{v} = (-1, 4)$.

1. a) Stima: Senza eseguire la moltiplicazione numerica delle loro componenti, colloca mentalmente i due vettori nei rispettivi quadranti del piano cartesiano e stabilisci con un ragionamento se il loro prodotto scalare $\vec{u} \cdot \vec{v}$ risulterà positivo, negativo o nullo, prevedendo se l'angolo da essi formato è acuto, ottuso o retto.
2. b) Verifica: Calcola ora il valore numerico esatto di $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e ricava la misura in gradi dell'angolo $\alpha$ tra i due vettori (arrotondando ai decimi). Giustifica se il risultato analitico conferma la tua previsione iniziale.

In un cantiere, una gru trascina un blocco di calcestruzzo applicando una forza costante rappresentata dal vettore $\vec{F} = (450, 600)$ espressa in newton. Il blocco subisce uno spostamento rettilineo dato dal vettore $\vec{d} = (12, 5)$ in metri. Sapendo che il lavoro meccanico è definito come $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcola il lavoro compiuto dalla gru e l'angolo formato dalla forza applicata e dallo spostamento.

Calcola il valore (o i valori) del parametro $k$ affinché l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ sia esattamente $135^\circ$.

Verifica, utilizzando esclusivamente il prodotto scalare, se il triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, 12)$ è rettangolo, acutangolo od ottusangolo. Indica in quale vertice si trova l'angolo retto, nel caso in cui ci sia.

Nello sviluppo di un motore fisico per un videogioco, un personaggio si sposta seguendo la direzione e il verso del vettore $\vec{d} = (8, 4)$. La gravità in questo ambiente virtuale è definita dal vettore $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcola la proiezione ortogonale del vettore gravità sulla direzione del movimento del personaggio.

Sapendo che i moduli di due vettori sono $|\vec{a}| = 3$ e $|\vec{b}| = 5$ e che il loro prodotto scalare è $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calcola il valore esatto dell'espressione $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Determina le coordinate di un vettore $\vec{v}$ ortogonale al vettore $\vec{u} = (3, -4)$ e il cui modulo sia esattamente $10$. Tieni presente che esistono due soluzioni possibili; indicale entrambe.

Un pannello solare piano è orientato in modo che il suo vettore normale (perpendicolare alla superficie) sia $\vec{n} = (1, \sqrt{3})$. I raggi del sole incidono sul pannello secondo la direzione del vettore $\vec{s} = (2, -1)$. Calcola l'angolo di incidenza dei raggi solari, definito come l'angolo formato dal vettore normale $\vec{n}$ con il vettore dei raggi solari invertito $-\vec{s}$.

Trova il valore di $x$ affinché il vettore $\vec{u} = (x, 2)$ formi un angolo di $30^\circ$ con il semiasse positivo delle ascisse. Utilizza il prodotto scalare con il versore $\vec{i} = (1, 0)$ per impostare l'equazione.

Determina le coordinate di un vettore incognito $\vec{w} = (x, y)$ che soddisfa contemporaneamente le due seguenti condizioni geometriche:

1. È ortogonale al vettore $\vec{u} = (3, -4)$.

2. La sua proiezione ortogonale con segno sulla direzione del vettore $\vec{v} = (0, 5)$ è esattamente $-3$.

Trova il vettore $\vec{w}$, calcola il suo modulo e giustifica con un ragionamento se la soluzione ottenuta è unica o se esiste più di un vettore che soddisfa entrambe le condizioni.

In un impianto fotovoltaico della provincia di Napoli, la direzione di incidenza della radiazione solare in un dato momento è descritta dal versore $\vec{s} = (0,6;\, 0,8)$, che punta verso il Sole. L'orientamento di un pannello piano è descritto da un versore perpendicolare alla sua superficie, $\vec{n}$. La frazione di potenza captata rispetto al massimo teorico è data dal prodotto scalare $\vec{s} \cdot \vec{n}$ (dove il valore $1$ equivale al $100\,\%$ di rendimento).

A causa di un gioco meccanico, il pannello rimane orientato con un vettore normale $\vec{n} = (0,8;\, 0,6)$.

1. a) Calcola $\vec{s} \cdot \vec{n}$ e determina quale percentuale della sua potenza massima teorica capta il pannello in quella posizione.
2. b) Calcola l'angolo di disallineamento tra i raggi del sole e la perpendicolare al pannello.
3. c) Se un operaio ruota manualmente il pannello fino a un orientamento con vettore normale $\vec{n}' = (-0,8;\, 0,6)$, la faccia frontale del pannello genererà corrente? Giustifica la tua risposta analizzando il segno e interpretando geometricamente il valore del prodotto scalare $\vec{s} \cdot \vec{n}'$.

Dimostra, utilizzando esclusivamente le proprietà algebriche del prodotto scalare, che le diagonali di un qualsiasi rombo sono perpendicolari tra loro.

Nota: Puoi modellizzare i lati del rombo mediante due vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ con la stessa origine e lo stesso modulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Esprimi le diagonali in funzione di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Trova le coordinate di un vettore $\vec{w} = (x, y)$ sapendo che il suo prodotto scalare con il vettore $\vec{u} = (2, -1)$ è uguale a $4$ e che il suo prodotto scalare con il vettore $\vec{v} = (1, 3)$ è uguale a $-5$.

Dati i vettori dipendenti dal parametro $t$, $\vec{a} = (t, 2)$ e $\vec{b} = (t-1, t)$, determina il valore di $t$ per cui il prodotto scalare $\vec{a} \cdot \vec{b}$ raggiunge il suo valore minimo. Calcola anche l'angolo formato dai vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ per quello specifico valore di $t$.

In un triangolo i cui vertici sono i punti $P(-3, -1)$, $Q(5, -1)$ e $R(1, 6)$, utilizza il concetto di prodotto scalare e di ortogonalità tra vettori per determinare le coordinate esatte del suo ortocentro (il punto in cui si intersecano le tre altezze del triangolo).

Nella computer grafica, l'intensità della luce diffusa su una superficie si calcola mediante la legge di Lambert: $I = I_0 \max(0, \vec{n} \cdot \vec{l})$, dove $\vec{n}$ è il versore normale alla superficie e $\vec{l}$ è il versore che punta verso la sorgente luminosa. Se una superficie ha un vettore normale con la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ e la sorgente luminosa si trova nella direzione e nel verso del vettore $\vec{w} = (1, 1)$, calcola l'intensità esatta della luce $I$ come frazione di $I_0$.

Si sa che $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono due versori. Se i vettori costruiti come $\vec{a} = \vec{u} + 2\vec{v}$ e $\vec{b} = 5\vec{u} - 4\vec{v}$ risultano ortogonali tra loro, determina l'angolo esatto formato dai vettori originali $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Considera i punti fissi $A(0, 3)$ e $B(5, 2)$. Trova tutti i punti $C$ situati sull'asse delle ascisse tali che il triangolo $ABC$ sia rettangolo con l'angolo retto nel vertice $C$.

Dimostra analiticamente la «legge del parallelogramma» utilizzando le proprietà del prodotto scalare. Cioè, dimostra che per due vettori qualsiasi $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vale l'identità:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Spiega ogni passaggio algebrico basandoti sulla definizione di modulo al quadrato come prodotto scalare di un vettore per se stesso.

Si conoscono i moduli di due vettori, $|\vec{u}| = 3$ e $|\vec{v}| = 5$, e si sa che formano tra loro un angolo di $60^\circ$. Si vuole trovare il coseno dell'angolo $\theta$ formato dal vettore somma $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$ e dal vettore differenza $\vec{b} = \vec{u} - \vec{v}$. Due studenti propongono strade diverse:

• Strategia A (Geometria analitica): Fissare un sistema cartesiano con $\vec{u} = (3, 0)$ sull'asse delle ascisse, determinare le componenti di $\vec{v} = (5\cos 60^\circ, 5\sin 60^\circ)$ mediante rapporti trigonometrici, sommare e sottrarre per ottenere $\vec{a}$ e $\vec{b}$ in coordinate, e applicare l'espressione analitica del prodotto scalare.

• Strategia B (Algebra vettoriale): Sviluppare simbolicamente $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ e i moduli $|\vec{a}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ e $|\vec{b}|^2 = (\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ utilizzando esclusivamente le proprietà commutativa, distributiva e $\vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2$, senza fissare assi né coordinate.

1. a) Applica entrambe le strategie in modo completo per ottenere il valore esatto di $\cos\theta$.
2. b) Confronta i due percorsi: quale dei due metodi rivela una proprietà geometrica che non dipende affatto dall'angolo di $60^\circ$? Giustifica quale è più diretto e più generalizzabile a tre dimensioni.

1. a) Dimostra formalmente, utilizzando soltanto le proprietà algebriche del prodotto scalare (commutativa, distributiva e $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), la cosiddetta legge del parallelogramma:

1. b) Nel porto di Genova, due rimorchiatori aiutano a posizionare una piattaforma galleggiante tirando mediante cavi ancorati a uno stesso gancio. Le forze applicate sono modellizzate come vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$, con moduli $|\vec{u}| = 8\text{ kN}$ e $|\vec{v}| = 6\text{ kN}$. Un dinamometro sul gancio registra che la forza risultante totale ha modulo $|\vec{u} + \vec{v}| = 12\text{ kN}$. Senza calcolare l'angolo formato dai cavi e senza usare coordinate cartesiane, applica l'identità dimostrata nel punto precedente per calcolare il valore esatto del modulo $|\vec{u} - \vec{v}|$.
2. c) A partire dai dati e dai risultati precedenti, deduci con un ragionamento il segno del prodotto scalare $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e stabilisci se l'angolo compreso tra le due linee di traino è acuto, retto od ottuso.