Esercizi: Equazioni lineari, omogenee e parametriche

Risolvi l'equazione $\sqrt{3}\,\sen x + \cos x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Risolvi l'equazione lineare $\sen x + \cos x = 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$, utilizzando il metodo che preferisci (sostituzione con le formule parametriche, metodo dell'angolo aggiunto o sistema con la circonferenza goniometrica).

Risolvi l'equazione omogenea di secondo grado $\sen^2 x - 3\sen x\cos x + 2\cos^2 x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Risolvi l'equazione $\sqrt{3}\,\sen x - \cos x = \sqrt{2}$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$, riconducendola alla forma $R\,\sen(x-\alpha)=\sqrt{2}$.

Risolvi l'equazione $2\sen^2 x - \sen x\cos x - \cos^2 x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Un'onda sonora registrata in un auditorium di Bologna è descritta, in opportune unità, da $f(t)=3\sen t + 4\cos t$, con $t\in[0,2\pi)$.

1. a) Scrivi $f(t)$ nella forma $R\,\sen(t+\varphi)$.

1. b) Determina i valori di $t$ per cui $f(t)=2{,}5$.

Considera l'equazione parametrica $\sen x + k\cos x = 2$, con $k$ reale e $x\in[0,2\pi)$.

1. a) Determina per quali valori di $k$ l'equazione ammette soluzioni.

1. b) Per $k=\sqrt{3}$ risolvi l'equazione.

1. c) Spiega perché per $k=\sqrt{3}$ la soluzione è unica.

Discuti, al variare del parametro reale $a$, il numero di soluzioni nell'intervallo $[0,2\pi)$ dell'equazione

$\cos x + \sen x = a$.

Giustifica la risposta con un'interpretazione geometrica sulla circonferenza goniometrica o con il grafico di una funzione opportuna.

Risolvi nell'intervallo $[0,\pi]$ l'equazione

$\sen^3 x - 3\sen x\cos^2 x + \cos^3 x\,(\tan x - 1)=0$,

indicando le condizioni di esistenza e verificando che le soluzioni trovate siano accettabili.