Esercizi: Rango di una matrice

Calcola il valore del determinante della seguente matrice $A$ di ordine 2. Questo valore rappresenta il fattore di scala di una trasformazione geometrica nel piano:

Trova il valore del determinante della matrice $B$ utilizzando la regola di Sarrus:

Data la matrice $M$, calcola il valore del parametro reale $x$ affinché il suo determinante sia uguale a $10$:

Nella matrice $C$, individua l'elemento $a_{23}$ e calcola il suo complemento algebrico $A_{23}$:

Determina il rango della seguente matrice $A$ osservando la relazione tra le sue righe:

Se sappiamo che il determinante di una matrice quadrata $A$ di ordine 2 è $|A| = 5$, quale sarà il valore del determinante della matrice $2A$? Applica le proprietà dei determinanti per giustificare la risposta.

Calcola il rango della matrice $B$ cercando il minore di ordine massimo diverso da zero:

1. a) Indica qual è il massimo ordine possibile di un minore di $B$ e quanti minori di tale ordine si possono formare.

1. b) Calcola uno di questi minori e verifica se è diverso da zero.

1. c) Scrivi il rango di $B$ e giustifica la risposta.

Calcola rapidamente il determinante della seguente matrice triangolare superiore motivando la risposta:

Nel calcolare il rango della matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, Marco scrive nella sua verifica:

«Prendiamo il minore formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne:

Poiché questo minore di ordine 2 è nullo, la matrice non può avere rango 2 né 3. Quindi concludo che $\operatorname{rg}(A) = 1$.»

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale di Marco: perché il fatto che un determinato minore di ordine 2 sia nullo non permette di dedurre che $\operatorname{rg}(A) < 2$?
2. b) Correggi l'esercizio: individua un minore di ordine 2 non nullo nella matrice $A$ e utilizza il metodo dei minori orlati per determinare in modo conclusivo $\operatorname{rg}(A)$.

Data la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$:

1. a) Stima: prima di calcolare qualsiasi determinante, osserva con attenzione le righe di $B$. Giustifica con ragionamento quale sia il limite superiore teorico per $\operatorname{rg}(B)$ in base alle sue dimensioni. Poi individua la evidente relazione di proporzionalità tra due delle sue righe e spiega perché il rango non può essere 3. A partire da questa ispezione visiva, fai una stima motivata se il rango finale sarà 1 o 2.
2. b) Verifica: scegli un minore di ordine 1 non nullo e applica il metodo dei minori orlati. Trova un minore di ordine 2 non nullo e, successivamente, calcola i determinanti di tutti gli orlati di ordine 3 possibili per verificare con rigore se la tua stima iniziale era corretta.

Data una matrice quadrata $A$ di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = 4$, utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare con ragionamento il valore dei seguenti determinanti:

1. a) $|A^t \cdot A^{-1}|$

1. b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$

1. c) Il determinante della matrice ottenuta scambiando le prime due righe di $A$ e moltiplicando la terza colonna per $-3$.

Nella progettazione di un motore grafico per un videogioco, si richiede che una matrice di trasformazione $M$ sia invertibile per poter annullare i movimenti. Data la matrice:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$

1. a) Trova i valori del parametro reale $m$ per i quali la matrice $M$ non ammette inversa.

1. b) Per il valore $m = 2$, calcola il valore del determinante della matrice inversa, $|M^{-1}|$.

Studia il rango della seguente matrice $A$ al variare del parametro reale $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

Determina per quali valori di $k$ il rango è $1$, $2$ o $3$.

Sapendo che il valore del determinante della matrice $3 \times 3$ formata dai vettori colonna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ e $\vec{c_3}$ è uguale a $5$, cioè $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcola senza sviluppare il valore di:

$|\vec{c_1} + \vec{c_3}, \quad 2\vec{c_2}, \quad \vec{c_1} - \vec{c_3}|$

Giustifica ogni passaggio indicando la proprietà dei determinanti che hai applicato.

Calcola il valore del seguente determinante di ordine $4$ utilizzando il metodo di Gauss per ottenere zeri in una riga o colonna prima di sviluppare secondo i complementi algebrici:

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

Determina il rango della matrice $B$ al variare del parametro reale $a$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Ricorda che per una matrice di dimensioni $3 \times 4$, il rango massimo possibile è $3$.

Risolvi la seguente equazione di secondo grado espressa in forma di determinante:

$\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Ottieni le soluzioni esatte (possono contenere radici).

Date le matrici $A$ e $B$ di ordine $3 \times 3$, si sa che $A$ ha rango $3$ e che il determinante di $B$ è $|B| = 0$.

1. a) Qual è il valore del determinante del prodotto $|A \cdot B|$? Motiva la risposta.

1. b) È possibile che il rango della matrice prodotto $A \cdot B$ sia $3$? Spiega perché basandoti sulla relazione tra determinante e rango.

Considera la matrice di dimensioni $3 \times 4$:

Per determinare il rango di $C$, due compagni propongono strade diverse:

• Strategia 1 (riduzione di Gauss): applicare trasformazioni elementari per righe fino a rendere triangolare la matrice.

• Strategia 2 (minori orlati): scartare le colonne nulle e orlare un minore non nullo di ordine 2 scelto bene.

1. a) Analizza la struttura della matrice $C$ (osserva in particolare la seconda colonna e la posizione degli zeri) e giustifica quale delle due strategie richiede meno operazioni per argomentare il rango.
2. b) Seguendo la strategia che hai giustificato come più conveniente nel punto precedente, calcola con ragionamento $\operatorname{rg}(C)$ mostrando tutti i passaggi e i determinanti o le combinazioni utilizzate.

Un'agenzia meteorologica nazionale analizza le precipitazioni trimestrali cumulate (in $\text{l/m}^2$) in tre stazioni del bacino del Po: Piacenza ($F_1$), Pavia ($F_2$) e Rovigo ($F_3$). I dati relativi a tre trimestri consecutivi sono riportati nella matrice:

dove il parametro reale $k$ rappresenta un'anomalia pluviometrica puntuale a Rovigo prodotta da una perturbazione mediterranea.

1. a) Modella la dipendenza lineare dell'insieme calcolando il determinante di $P$ in funzione di $k$. Determina per quale valore esatto di $k$ la matrice $P$ è singolare.
2. b) Interpreta dal punto di vista climatico i due casi possibili: calcola il rango di $P$ quando $k = 0$ e quando $k \ne 0$. Spiega che cosa significa ciascuna situazione in termini di informazione meteorologica (Rovigo fornisce dati indipendenti oppure il suo regime di piogge è una combinazione lineare prevedibile a partire da Piacenza e Pavia?).

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n=4$ tale che il suo determinante è $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizzando esclusivamente le proprietà dei determinanti, calcola il valore del determinante della matrice $B$, definita come:

dove $A^t$ è la trasposta di $A$ e $Adj(A)$ è la sua matrice aggiunta. Motiva ogni passaggio del calcolo indicando la proprietà applicata.

Un ingegnere robotico sta programmando il movimento di un braccio meccanico nello spazio tridimensionale. I sensori rilevano tre vettori di forza che determinano la stabilità del sistema. La matrice che rappresenta tali forze è:

Si chiede:

1. Determina il rango della matrice $M$ in funzione del parametro reale $k$.

2. Esiste un valore di $k$ per il quale le forze siano linearmente dipendenti ma il rango della matrice sia massimo? Spiega la risposta basandoti sulla teoria dei minori.

Calcola, senza sviluppare direttamente con la regola di Sarrus, il valore del seguente determinante di ordine 4, applicando trasformazioni elementari per ottenere zeri e semplificare il calcolo:

Quale condizione devono soddisfare $a, b$ e $c$ affinché il rango della matrice associata sia esattamente 2?

Studia la dipendenza lineare delle righe della matrice $A$ al variare dei parametri reali $a$ e $b$:

Determina per quali valori di $(a, b)$ il rango di $A$ è uguale a 1. Descrivi geometricamente quale relazione hanno i vettori riga quando ciò accade.

Data la matrice quadrata di ordine 3:

1. Dimostra che $|A|$ è indipendente dal valore della variabile $x$.

2. Se definiamo una nuova matrice $B = A - \lambda I$ (dove $I$ è l'identità), trova i valori di $\lambda$ per i quali il rango di $B$ è minore di 3 quando $x = \frac{\pi}{4}$.

In un sistema di telecomunicazioni, il segnale si perde se il determinante della matrice di trasmissione si annulla. La matrice di trasmissione è data da:

1. a) Sapendo che $|T|$ è un determinante di Vandermonde, esprimilo come prodotto di fattori lineari.

1. b) Se fissiamo $a=2$ e $b=5$, discuti il rango di $T$ al variare del parametro $m$. Per quali valori di $m$ il rango è minimo e qual è tale rango minimo?

Considera la matrice quadrata $A$ di ordine 3 le cui colonne sono $C_1, C_2, C_3$. Si sa che $|A| = 5$. Calcola il valore del determinante della matrice $M$ le cui colonne sono:

Se sostituiamo la terza colonna di $M$ con il vettore nullo, quale sarebbe il rango della nuova matrice? Giustifica la risposta senza eseguire calcoli numerici dettagliati.

Data la matrice:

1. Trova i valori di $\alpha$ per i quali la matrice non è invertibile.

2. Per i valori trovati nel punto precedente, calcola il rango della matrice $A^2$.

3. È possibile trovare un valore di $\alpha$ tale che $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argomenta la risposta basandoti sulle proprietà del rango e dei determinanti.

Costruisci con ragionamento una matrice $M \in \mathcal{M}_{3 \times 4}(\mathbb{R})$ che soddisfi simultaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Le quattro entrate della prima riga sono numeri interi strettamente positivi e distinti tra loro: $a_{11} < a_{12} < a_{13} < a_{14}$.

2. Il minore di ordine 2 formato dalle righe 1 e 2 e dalle colonne 1 e 2 è nullo, cioè $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = 0$, ma esiste almeno un minore di ordine 2 non nullo che contiene la riga 1 e la colonna 1.

3. $\operatorname{rg}(M) = 2$.

Per giustificare la tua costruzione deduttiva:

• Spiega come determini le righe 2 e 3 per garantire la dipendenza e l'indipendenza lineare richieste.

• Dimostra formalmente che $\operatorname{rg}(M) = 2$ mediante il metodo dei minori orlati, indicando il minore non nullo di ordine 2 da cui parti e verificando che tutti i suoi orlati di ordine 3 possibili hanno determinante uguale a zero.

In una verifica di quinto anno di liceo si chiede di discutere il rango della seguente matrice in funzione del parametro reale $a$:

Davide presenta la seguente risoluzione:

«Calcolo il determinante della matrice e scompongo in fattori:

Pongo uguale a zero e ottengo le radici $a = 1$ e $a = -2$.

• Caso 1: Se $a \ne 1$ e $a \ne -2$, $|A_a| \ne 0$, quindi la matrice è regolare e $\operatorname{rg}(A_a) = 3$.

• Caso 2: Se $a = 1$ o $a = -2$, poiché $|A_a| = 0$, la matrice non può avere rango 3; pertanto, in entrambi i casi $\operatorname{rg}(A_a) = 2$.»

1. a) Individua l'errore del ragionamento deduttivo di Davide nel Caso 2. Perché la condizione $|A| = 0$ in una matrice quadrata di ordine $n$ permette di affermare solo che $\operatorname{rg}(A) \le n - 1$ e non garantisce che $\operatorname{rg}(A) = n - 1$?
2. b) Correggi lo studio per $a = 1$ e per $a = -2$. Per ciascuno di questi due valori, determina il rango esatto della matrice analizzando l'esistenza o l'annullamento totale dei minori di ordine 2.
3. c) In base alle tue conclusioni, giustifica per quali valori di $a$ esiste la matrice inversa $A_a^{-1}$ e collega questo risultato alla definizione di matrice regolare.