Esercizi: Inversa di una matrice mediante i determinanti

In una piccola azienda di logistica si registra la quantità di pallet di tre tipi di prodotti in tre magazzini diversi mediante la seguente matrice $A$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcola il determinante della matrice $A$ utilizzando la regola di Sarrus per verificare la coerenza dei dati di inventario.

Un ingegnere sta progettando un sistema di controllo automatico. Affinché il sistema sia stabile, la matrice dei coefficienti $M$ non deve essere singolare (il suo determinante deve essere diverso da zero). Data la matrice:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina per quali valori del parametro reale $m$ la matrice $M$ è singolare e, quindi, il sistema non avrebbe inversa.

Data la matrice di ordine 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcola, motivando, applicando le proprietà dei determinanti:

• a) Il valore di $|A|$.

• b) Il valore del determinante della sua trasposta, $|A^t|$.

• c) Il valore di $|2A|$.

In un videogioco di strategia, le coordinate di trasformazione di un'unità sono gestite mediante la matrice $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Trova la matrice aggiunta, $Adj(B)$, e verifica se la matrice $B$ ammette matrice inversa calcolando prima il suo determinante.

Calcola la matrice inversa $A^{-1}$ della seguente matrice utilizzando il metodo dei determinanti:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Ricorda che la formula è $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Si sa che il determinante di una matrice quadrata $X$ di ordine 3 è $|X| = -4$. Senza calcolare gli elementi delle matrici, ottieni il valore dei seguenti determinanti:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Risolvi l'equazione matriciale $A \cdot X = B$, dove:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Per farlo, calcola prima l'inversa di $A$ mediante i determinanti e ricava la matrice $X$.

Una delle applicazioni più interessanti dei determinanti in geometria è il calcolo delle aree. L'area di un triangolo i cui vertici sono $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ è data dalla formula:

$Area = \frac{1}{2} \cdot | \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} |$

Calcola l'area del triangolo rappresentato nel seguente grafico, i cui vertici sono $P(1, 1)$, $Q(5, 2)$ e $R(2, 4)$.

Ugo deve risolvere l'equazione matriciale $A \cdot X + B = C$, dove:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Nel suo compito in classe, Ugo scrive il seguente svolgimento:

1. Ricava l'equazione come $A \cdot X = C - B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

2. Trova $|A| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1 \ne 0$, deducendo che esiste la matrice inversa $A^{-1}$.

3. Calcola i complementi algebrici di $A$: $A_{11}=3$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-2$, $A_{22}=1$, e scrive direttamente $\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

4. Afferma che $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot \operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Infine, calcola la soluzione come $X = (C - B) \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$.

Svolgi i seguenti compiti:

1. a) Individua e spiega, motivando, i due errori concettuali commessi da Ugo (uno nell'ottenere $A^{-1}$ e uno nell'isolare $X$).
2. b) Correggi entrambi gli errori: calcola la matrice inversa $A^{-1}$ corretta mediante la formula dei complementi algebrici e determina la matrice $X$ che soddisfa l'equazione originale.

Data la matrice quadrata di ordine $3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Prima di calcolare qualsiasi matrice aggiunta o inversa, deduci, motivando, il segno e il valore esatto di $|A^{-1}|$ e di $|\operatorname{Adj}(A)|$ utilizzando esclusivamente il determinante $|A|$ e le proprietà teoriche dei determinanti.
2. b) Calcola passo dopo passo i 9 complementi algebrici di $A$, costruisci la matrice dei complementi algebrici $\operatorname{Adj}(A)$ e ottieni la matrice inversa $A^{-1}$ applicando la formula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Verifica la coerenza delle tue deduzioni calcolando direttamente il determinante della matrice $\operatorname{Adj}(A)$ che hai ottenuto nel punto b), e verificando che il prodotto matriciale $A \cdot A^{-1}$ dia come risultato la matrice identità $I_3$.

Data la matrice $A$ dipendente dal parametro reale $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina, motivando, per quali valori di $k$ la matrice $A$ non ha matrice inversa.
2. b) Per il caso $k = 0$, calcola la matrice inversa $A^{-1}$ utilizzando il metodo dei complementi algebrici.

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine 3 tali che $|A| = 2$ e $|B| = -3$. Utilizzando le proprietà dei determinanti, calcola il valore dei seguenti determinanti:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Ricorda la relazione tra una matrice, la sua aggiunta e il suo determinante).

Risolvi la seguente equazione matriciale $X \cdot A + B = C$, dove:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Giustifica prima perché è possibile trovare la matrice inversa di $A$ e ricava l'incognita $X$ prima di eseguire i calcoli numerici.

Nella progettazione di un filtro digitale per segnali audio si utilizza una matrice di trasferimento $H$ definita come:

$$H(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

1. a) Trova i valori del parametro reale $x$ per i quali il determinante della matrice è nullo.

1. b) Per $x = 2$, calcola la matrice inversa $H^{-1}$. Che significato ha, nelle applicazioni ingegneristiche, il fatto che il determinante sia molto vicino a zero?

Considera la matrice $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 1 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcola $|M|$ in funzione di $a$.
2. b) Determina il rango della matrice $M$ al variare di $a$.
3. c) Per $a = 1$, risolvi l'equazione matriciale $M \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Sapendo che il determinante di una matrice $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{pmatrix}$ è uguale a $5$, utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare, senza sviluppare con la regola di Sarrus, il valore del determinante della seguente matrice $B$:

$$B = \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \end{pmatrix}$$

Indica in dettaglio quale proprietà applichi in ogni passaggio della semplificazione.

Si dice che una matrice quadrata $A$ è ortogonale se soddisfa la condizione $A \cdot A^t = I$, dove $A^t$ è la trasposta e $I$ l'identità.

1. a) Dimostra che se $A$ è ortogonale, allora il suo determinante può essere solo $1$ o $-1$.
2. b) Verifica se la matrice $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ è ortogonale e trova la sua inversa $A^{-1}$ in funzione di $\alpha$.

Un sistema di crittografia di base utilizza una matrice $K$ per trasformare messaggi in forma di vettore. Affinché il messaggio possa essere decifrato, la matrice $K$ deve essere invertibile. Data la matrice:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ m & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Trova i valori di $m$ che rendono insicuro il sistema di crittografia (la matrice non è invertibile).
2. b) Se $m = 1$, calcola la matrice di decifratura $K^{-1}$.

Considera la matrice di ordine $3$ dipendente dal parametro reale $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Si propongono due compiti indipendenti:

1. Determinare per quali valori di $k$ la matrice $M$ è regolare (ha inversa).

2. Per il valore $k = 1$, calcolare soltanto l'elemento che occupa la riga 3 e la colonna 2 della matrice inversa, cioè $(M^{-1})_{32}$.

1. a) Per il compito 1, confronta la strategia di ridurre la matrice a scala con il metodo di Gauss rispetto al calcolo del suo determinante $|M|$. Giustifica quale delle due vie è più conveniente in questo caso e usala per dare la risposta.
2. b) Per il compito 2, un'alternativa è calcolare l'intera matrice inversa $M^{-1}$ e poi selezionare tale elemento; un'altra consiste nell'utilizzare la formula $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \cdot (\operatorname{Adj}(M))^t$ per calcolare solo il complemento algebrico necessario. Giustifica quale dei due percorsi richiede un minor costo di calcolo, deduci con precisione quale complemento algebrico $M_{ij}$ interviene (giustificando il ruolo della trasposizione) e calcola il valore di $(M^{-1})_{32}$.

Un'azienda di consulenza tecnologica con sede a Napoli sposta i suoi tre team di audit in treno ad alta velocità (Trenitalia Frecciarossa) durante un trimestre, acquistando biglietti di tre tariffe diverse: Premium ($x$ €), Elige ($y$ €) e Base ($z$ €). Nella contabilità del trimestre risultano i seguenti dati di acquisto:

• In ottobre hanno acquistato 1 biglietto Premium, 1 Elige e 1 Base, con una spesa totale di $180$ €.

• In novembre hanno acquistato 2 biglietti Premium, 1 Elige e 2 Base, per una spesa totale di $300$ €.

• In dicembre hanno acquistato 1 biglietto Premium, 3 Elige e 2 Base, con un costo totale di $330$ €.

1. a) Modellizza la situazione mediante un'equazione matriciale della forma $A \cdot X = B$, indicando con chiarezza le matrici $A$, $X$ e $B$ insieme alle loro dimensioni.
2. b) Dimostra che la matrice dei coefficienti $A$ è invertibile calcolando il suo determinante $|A|$ e trova la sua matrice inversa $A^{-1}$ applicando il metodo della matrice aggiunta trasposta.
3. c) Ricava algebricamente il vettore incognito $X$ giustificando l'ordine della moltiplicazione matriciale, esegui il prodotto $A^{-1} \cdot B$ e determina il prezzo unitario esatto di ciascuna delle tre tariffe.

Determina i valori del parametro reale $a$ per i quali il seguente determinante di ordine 4 si annulla. Per risolverlo, utilizza esclusivamente le proprietà dei determinanti per semplificare l'espressione prima di sviluppare secondo gli elementi di una linea:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & 2 & -1 & 3 \\ a^2 & 4 & 1 & 9 \\ a^3 & 8 & -1 & 27 \end{vmatrix} $$

(Suggerimento: osserva che si tratta di una struttura simile a un determinante di Vandermonde).

Un'azienda di robotica sta progettando il sistema di controllo di un braccio meccanico. La relazione tra i sensori e gli attuatori è data dall'equazione matriciale $A \cdot X \cdot A = B$, dove $A$ è una matrice che dipende dalla sensibilità $k$ del sensore:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & k & 1 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Studia per quali valori di $k \in \mathbb{R}$ la matrice $A$ è regolare (invertibile).
2. b) Per $k = 2$, ricava la matrice $X$ dall'equazione e calcolala utilizzando il metodo della matrice aggiunta per trovare le inverse necessarie.

Nello sviluppo di un nuovo videogioco di navicelle spaziali, le coordinate degli oggetti nello spazio 3D vengono trasformate mediante una matrice di rotazione e scala $M$. Affinché il motore grafico possa "annullare" la trasformazione, la matrice deve avere l'inversa.

$$M = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^a \end{pmatrix}$$

1. a) Dimostra che il determinante di $M$ è $|M| = e^a$ per qualsiasi valore dell'angolo $\alpha$.
2. b) Calcola la matrice inversa $M^{-1}$ in funzione di $\alpha$ e $a$ utilizzando i determinanti.
3. c) Se un oggetto finisce nella posizione $(1, 1, 1)$ dopo aver applicato $M$ con $\alpha = \frac{\pi}{2}$ e $a = 0$, quali erano le sue coordinate originali?

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine 3 tale che il suo determinante è $|A| = \frac{1}{2}$. Senza calcolare esplicitamente gli elementi della matrice, utilizza le proprietà dei determinanti per trovare, motivando, il valore di:

1. a) $|A^{-1} \cdot (2A)^t|$
2. b) $|Adj(A)|$, dove $Adj(A)$ è la matrice formata dai complementi algebrici degli elementi di $A$.
3. c) Il determinante della matrice $B$ se si sa che $A \cdot B = Adj(A)$.

Un sistema di crittografia utilizza una matrice $C$ per trasformare blocchi di messaggi. Affinché il messaggio sia recuperabile, il rango della matrice deve essere massimo. Studia il rango della seguente matrice in funzione dei parametri reali $m$ e $n$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 & 1 \\ n & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & m \end{pmatrix}$$

Determina per quali valori di $m$ e $n$ il rango di $C$ è uguale a 2.

Considera la matrice $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Trova il polinomio $P(x) = |A|$.
2. b) Determina i valori di $x$ per i quali $A$ non ha inversa.
3. c) Per i valori di $x$ per cui $A$ è invertibile, trova l'espressione di $A^{-1}$ in funzione di $x$.
4. d) Verifica che per $x=0$ vale $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Si sa che una matrice quadrata $A$ verifica la seguente uguaglianza: $A^2 - 5A + 6I = O$, dove $I$ è la matrice identità e $O$ è la matrice nulla.

1. a) Dimostra, motivando, che la matrice $A$ è invertibile.
2. b) Esprimi la matrice inversa $A^{-1}$ come combinazione lineare delle matrici $A$ e $I$.
3. c) Se $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, verifica che soddisfa l'equazione iniziale e trova la sua inversa utilizzando il risultato del punto (b).

Data la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$, si chiede di:

1. a) Calcolare $|A|$ e scomporre in fattori il risultato.
2. b) Se $a=1, b=2, c=3$, calcola la matrice inversa $A^{-1}$ con il metodo dei complementi algebrici.
3. c) Risolvi il sistema di equazioni $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ utilizzando la matrice inversa trovata nel punto precedente.

Una matrice quadrata $A$ di ordine $3$ a coefficienti reali ha come matrice dei complementi algebrici:

$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Sapendo che per qualsiasi matrice di ordine $n$ invertibile vale $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$, deduci i possibili valori del determinante $|A|$ senza calcolare prima gli elementi della matrice $A$.
2. b) A partire dall'identità fondamentale $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, ricava, motivando, la matrice $A$ in funzione di $|A|$ e della matrice inversa di $(\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Determina in modo esplicito tutte le matrici $A$ compatibili con la matrice aggiunta data e giustifica algebricamente perché esistono esattamente due soluzioni distinte.

Sia $A$ una matrice quadrata invertibile di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = 2$.

1. a) A partire dalla relazione $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ e dalla proprietà del determinante dell'inversa, dimostra formalmente che $|\operatorname{Adj}(A^{-1})| = \dfrac{1}{|\operatorname{Adj}(A)|}$ e calcola il suo valore numerico esatto per la matrice $A$.
2. b) Si definisce la matrice $B = 2 \cdot A^t \cdot A^{-1}$. Giustifica, motivando, se la matrice $B$ è invertibile calcolando prima il valore del suo determinante $|B|$.
3. c) Considera l'equazione matriciale $(\operatorname{Adj}(A))^t \cdot X = A^2$, dove $X$ è una matrice quadrata incognita di ordine $3$. Utilizzando la proprietà $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, ricava la matrice $X$ in funzione di $A$ e dimostra che il determinante di $X$ è indipendente dagli elementi numerici che formano la matrice $A$, calcolandone il valore esatto.