Esercizi: Calcolo dei determinanti

Un giovane streamer sta analizzando la crescita del suo canale. Per confrontare l'impatto di due suoi video, organizza i dati di "Like" e "Condivisioni" in una matrice $A$ di ordine $2 \times 2$: ogni riga corrisponde a un video e ogni colonna a un tipo di dato. Calcola il determinante della matrice $A$ per ottenere un indice di risonanza:

Calcola il valore del determinante della matrice $B$ utilizzando la regola di Sarrus. Questa matrice rappresenta l'inventario dei componenti (chip, schermi e batterie) di tre magazzini di un negozio di tecnologia:

In un videogioco di strategia, la potenza di un attacco magico si calcola risolvendo un'equazione basata su un determinante. Trova il valore di $x$ affinché il seguente determinante sia uguale a $0$:

Senza eseguire calcoli complessi, giustifica perché i seguenti determinanti valgono $0$ utilizzando le proprietà dei determinanti:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Un'azienda di logistica utilizza una matrice triangolare superiore per organizzare in modo efficiente i suoi percorsi di consegna. Calcola il determinante della matrice $L$ sapendo che per questo tipo di matrici il calcolo si semplifica enormemente:

Data la matrice $M$, calcola il suo minore complementare $\alpha_{21}$ e il suo complemento algebrico $A_{21}$:

Sappiamo che il determinante di una matrice $A$ di ordine $2 \times 2$ è $|A| = 5$. Se moltiplichiamo tutti gli elementi della seconda riga per $3$, quale sarà il valore del nuovo determinante? Giustifica la risposta basandoti sulle proprietà.

In un programma di grafica, l'area di un triangolo con un vertice nell'origine $(0,0)$ e gli altri due in $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ si può calcolare come la metà del valore assoluto del determinante formato dalle loro coordinate. Calcola l'area del triangolo formato dai punti $(0,0)$, $(4, 2)$ e $(1, 5)$.

Matteo deve calcolare il determinante della matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Per risparmiare tempo, osserva che la seconda riga ha due zeri e decide di sviluppare secondo Laplace lungo tale riga. Il suo sviluppo scritto è:

Convinto del suo metodo, nell'esercizio successivo applica esattamente la stessa regola per calcolare il determinante della matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$, sviluppando secondo la terza riga:

Nel correggerlo, la sua professoressa gli indica che il valore ottenuto per $|A|$ era casualmente corretto per la posizione dell'elemento, ma che in $|B|$ ha commesso un importante errore concettuale.

a) Individua l'errore concettuale commesso da Matteo nel calcolare $|B|$, spiegando con la definizione di complemento algebrico ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$) quale elemento ha omesso.

b) Giustifica perché nella matrice $A$ il suo procedimento non ha alterato il risultato numerico finale.

c) Correggi il calcolo di $|B|$ e indica il suo valore reale.

Per calcolare il determinante della matrice di ordine $4 \times 4$:

si propongono due strade diverse:

• Strategia 1: Eseguire operazioni elementari tra le righe con il metodo di Gauss fino a ottenere una matrice triangolare superiore e moltiplicare gli elementi della diagonale principale.

• Strategia 2: Applicare lo sviluppo di Laplace secondo i complementi algebrici della seconda riga, riducendo il calcolo direttamente a un determinante di ordine 3.

a) Confronta le due strategie e spiega quale sia notevolmente più rapida ed efficiente per questa matrice in particolare, in base al numero di zeri che contiene.

b) Seguendo la strategia che hai scelto come preferibile, calcola con ragionamento il determinante di $M$ mostrando in dettaglio i calcoli intermedi.

Data la matrice quadrata $A$ di ordine 3, si sa che il suo determinante è $|A| = -2$. Utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare in modo argomentato il valore di:

a) $|A^3|$

b) $|3 \cdot A^t|$

c) $|A^{-1} \cdot (2A)|$

d) Il determinante della matrice risultante dallo scambio delle prime due righe di $A$ e dalla moltiplicazione della terza riga per $-5$.

Trova tutti i valori reali di $x$ per i quali è soddisfatta la seguente uguaglianza tra determinanti:

Calcola il valore del determinante della matrice $M$ di ordine 4 trasformandola prima in una matrice triangolare superiore mediante il metodo di Gauss (facendo comparire zeri sotto la diagonale principale):

Sapendo che il determinante di una matrice quadrata $B$ di ordine 3 è:

Calcola, senza sviluppare con Sarrus, il valore del determinante della matrice $C$:

Determina per quali valori del parametro reale $k$ la matrice $A$ non ha inversa. Per farlo, poni il suo determinante uguale a zero e risolvi l'equazione risultante:

Nello sviluppo di un videogioco di strategia, la posizione di tre unità sulla mappa è data dalle righe di una matrice. Il determinante di tale matrice indica l'area di influenza del battaglione. Calcola il valore di $a$ affinché l'area di influenza sia nulla (unità allineate o linearmente dipendenti) nel seguente sistema:

Nota: Questo è un determinante di tipo Vandermonde. Prova a semplificarlo usando le proprietà delle colonne prima di calcolarlo.

Calcola il valore del seguente determinante di ordine 4 sviluppando secondo gli elementi della riga o della colonna che ritieni più adatta (metodo di Laplace):

Risolvi l'equazione matriciale $|X| = 0$, dove $X = A - \lambda I$, essendo $A$ la matrice data e $I$ la matrice identità di ordine 3. Trova i valori di $\lambda$ che annullano il determinante (autovalori):

Si vuole progettare una matrice $A = (a_{ij})$ di ordine $3 \times 3$ con coefficienti interi non negativi ($a_{ij} \in \{0, 1, 2, \dots\}$) destinata a un algoritmo di crittografia, soggetta alle seguenti condizioni simultanee:

1. La matrice $A$ è triangolare superiore (cioè $a_{ij} = 0$ ogni volta che $i > j$).

2. La somma dei tre elementi della sua diagonale principale è uguale a $7$.

3. Il suo determinante vale esattamente $|A| = 12$.

4. Il complemento algebrico dell'elemento $a_{11}$ vale $A_{11} = 6$.

a) Deduci con ragionamento il valore univoco di $a_{11}$ a partire dalle proprietà del determinante di una matrice triangolare e del minore complementare associato.

b) Determina i possibili valori dei restanti elementi diagonali $a_{22}$ e $a_{33}$.

c) Scrivi una matrice concreta $A$ che soddisfi tutte le condizioni richieste e verifica esplicitamente, mediante il prodotto della sua diagonale e il calcolo di $A_{11}$, che i risultati coincidono con i dati prefissati.

Un gruppo tecnico di un'azienda pubblica sta elaborando una relazione per il Catasto su un appezzamento di uliveto in provincia di Foggia. Nella mappa topografica ufficiale, i confini del terreno determinano un triangolo i cui tre vertici hanno coordinate $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ e $C(3, 8)$ (misurate in ettometri, $\text{hm}$).

In cartografia, l'area di una regione triangolare piana di vertici $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ si calcola mediante l'espressione:

a) Per calcolare $|M|$ in modo efficiente senza ricorrere alla regola di Sarrus, applica operazioni elementari tra le righe ($F_2 \to F_2 - F_1$ e $F_3 \to F_3 - F_1$) per ottenere due zeri nella terza colonna, e sviluppa poi secondo i complementi algebrici di tale colonna.

b) Calcola l'area risultante dell'appezzamento e interpreta il risultato esprimendolo in ettari ($1\text{ hm}^2 = 1\text{ ha}$).

c) Il proprietario confinante sostiene che una casetta per l'irrigazione situata nelle coordinate $D(5, 2)$ si trovi esattamente allineata sul confine rettilineo che unisce $A$ e $B$. Imposta il determinante corrispondente per verificare l'allineamento e concludi con ragionamento se l'affermazione è vera o falsa senza disegnare i punti.

Sia la matrice $A = (a_{ij})$ di ordine $3 \times 3$ definita da $a_{ij} = i + j$. Considera anche una matrice $B$ tale che il suo determinante è $|B| = 2$. Utilizzando esclusivamente le proprietà dei determinanti, calcola in modo argomentato il valore del determinante della matrice $M$, essendo:

Argomenta se il risultato ottenuto permette di affermare che la matrice $M$ ha inversa.

Nella progettazione di un componente aeronautico, la stabilità strutturale è data dal determinante di una matrice di tensioni $T$. Si sa che il determinante della seguente matrice dipende da un parametro di carico $k$:

1. a) Calcola il valore del determinante in funzione di $k$ utilizzando le proprietà dei determinanti per semplificare il calcolo (evita lo sviluppo diretto con Sarrus).
2. b) Determina per quali valori di $k$ il componente è instabile ($|T| = 0$).
3. c) Se $k=3$, quale relazione esiste tra le righe della matrice?

Un sistema di posizionamento GPS utilizza quattro satelliti per triangolare una posizione nello spazio. Il volume del tetraedro formato dai quattro satelliti è legato al valore assoluto del determinante della matrice delle loro coordinate. Calcola in modo argomentato il valore del seguente determinante di ordine 4, che rappresenta una configurazione specifica di questi satelliti:

Esprimi il risultato come polinomio in $a$ semplificato al massimo.

Data la matrice dipendente da un parametro reale $\lambda$:

1. a) Trova i valori di $\lambda$ per i quali la matrice $A(\lambda)$ non ha inversa.
2. b) Per $\lambda = 0$, risolvi l'equazione matriciale $A \cdot X \cdot A^t = I$, dove $I$ è la matrice identità di ordine 3. Calcola $|X|$ in modo indiretto prima di trovare la matrice $X$.

Siano $C_1, C_2, C_3$ le tre colonne di una matrice quadrata $M$ di ordine 3, tali che il suo determinante è $|M| = -5$. Calcola, giustificando ogni passaggio con la proprietà corrispondente, il valore del determinante della matrice le cui colonne sono:

In una rete di telecomunicazioni, la capacità di flusso è modellata mediante il determinante della matrice di adiacenza $W$. Si definisce $W$ come:

1. a) Dimostra, senza sviluppare il determinante con la regola di Sarrus, che $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Se i nodi $a, b, c$ rappresentano frequenze di trasmissione, quale condizione devono soddisfare affinché il determinante sia diverso da zero? Giustifica l'importanza di questa condizione per l'indipendenza dei segnali.

Risolvi la seguente equazione di terzo grado utilizzando le proprietà dei determinanti per scomporre in fattori il polinomio risultante:

Indica passo dopo passo le operazioni elementari eseguite sulle righe o sulle colonne.

Studia il rango della seguente matrice $A$ in funzione dei valori dei parametri reali $m$ e $n$:

Nel caso in cui $m=1$ e $n=2$, calcola il determinante della matrice aggiunta di $A$, cioè $|Adj(A)|$, senza calcolare prima gli elementi della matrice aggiunta. (Suggerimento: utilizza la relazione tra una matrice, la sua aggiunta e il suo determinante).

Considera la matrice simmetrica di ordine $4 \times 4$:

a) Stima: Se tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale fossero zeri, la matrice risultante sarebbe diagonale e il suo determinante varrebbe $4^4 = 256$. Ragiona concettualmente se ti aspetti che il determinante reale $|C|$ sia maggiore o minore di $256$, considerando che la presenza di valori positivi fuori dalla diagonale rende le righe «più dipendenti» tra loro.

b) Calcola: Per triangolarizzare la matrice senza introdurre frazioni:

1. Sostituisci la prima riga con la somma delle quattro righe ($F_1 \to F_1 + F_2 + F_3 + F_4$) ed estrai dal determinante il fattore comune che ne risulta.

2. Nella matrice che ne risulta, sottrai la prima riga da ciascuna delle altre ($F_i \to F_i - F_1$ per $i = 2, 3, 4$) per ottenere una matrice triangolare superiore.

3. Ottieni il valore numerico esatto di $|C|$ moltiplicando gli elementi della diagonale.

c) Verifica e generalizza: Confronta il valore esatto con la tua stima iniziale. Poi generalizza il ragionamento per dedurre una formula chiusa per il determinante di una matrice di ordine $n \times n$ che abbia il valore $k$ su tutta la diagonale principale e il valore $1$ in tutte le restanti posizioni.

Si considera la matrice di ordine $4 \times 4$ dipendente dal parametro reale $k$:

Due studenti discutono la migliore strategia per calcolare $|A(k)|$ e analizzare per quali valori di $k$ la matrice non ha inversa:

• Alberto propone di triangolarizzare con il metodo di Gauss dividendo la prima riga per $k$ per eliminare gli uno della prima colonna.

• Beatrice sostiene che dividere per $k$ è problematico se non si analizza separatamente il caso $k = 0$, e afferma che sviluppare con Laplace lungo righe o colonne con zeri (o sottrarre righe tra loro) evita qualsiasi divisione per il parametro.

a) Giustifica perché la proposta di Alberto è metodologicamente incompleta se non distingue i casi, spiegando il rischio algebrico di eseguire operazioni elementari che implichino dividere per un'espressione parametrica.

b) Seguendo la strategia di Beatrice, calcola $|A(k)|$ mediante il metodo di Laplace o combinazioni di righe che non richiedano divisioni, dettagliando i complementi algebrici calcolati fino a ottenere il polinomio scomposto in fattori in funzione di $k$.

c) Determina tutti i valori reali di $k$ per i quali la matrice $A(k)$ non è invertibile, analizzando che cosa accade al rango della matrice quando $k = 0$.