Esercizi: Forma trigonometrica e polare di un numero complesso

Esprimi il numero complesso $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ in forma polare e in forma trigonometrica.

Dato il numero complesso in forma polare $z = 4_{120^\circ}$, determina la sua espressione in forma algebrica.

Calcola il prodotto dei numeri complessi $z_1 = 2_{30^\circ}$ e $z_2 = 5_{45^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.

Esegui la divisione dei numeri complessi $z_1 = 12_{150^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$. Esprimi il risultato finale in forma trigonometrica.

Applica la formula di De Moivre per calcolare la potenza quarta del numero complesso $z = 2_{20^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.

Trova il coniugato e l'opposto del numero complesso $z = 6_{45^\circ}$. Esprimi entrambi i risultati in forma polare con argomenti positivi compresi tra $0^\circ$ e $360^\circ$.

Calcola le radici quadrate del numero complesso $z = 9_{80^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma polare.

Osserva la rappresentazione nel piano complesso del vettore che definisce $z$. Determina il suo modulo e il suo argomento e scrivi la sua espressione in forma polare e trigonometrica.

Marco deve scrivere il numero complesso $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ in forma polare. Nella sua verifica scrive:

«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.

Quindi $z = 4_{300^\circ}$».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco nel determinare l'argomento, spiega analizzando i segni della parte reale e della parte immaginaria in quale quadrante deve trovarsi l'affisso di $z$ e scrivi la forma polare corretta con il suo argomento principale nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.

Si cerca un numero complesso $z$ il cui affisso si trova nel quarto quadrante e la cui distanza dall'origine è uguale a $6$. Si sa che il suo coniugato, $\bar{z}$, ha la parte reale esattamente pari alla metà del suo modulo ($a = r/2$). Determina in modo motivato l'argomento di $\bar{z}$, deduci la forma polare di $z$ con il suo argomento nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$ e trova la forma algebrica esatta del suo opposto, $-z$.

In un circuito in corrente alternata, la tensione è rappresentata dal numero complesso $V = 220_{30^\circ}$ e l'impedenza da $Z = 10_{-15^\circ}$. La legge di Ohm per la corrente alternata stabilisce che l'intensità è $I = \frac{V}{Z}$. Calcola l'intensità $I$ in forma polare ed esprimila poi in forma algebrica.

Nello sviluppo di un videogioco 2D, la posizione di un personaggio è data dall'affisso del numero complesso $z = 4 - 4i$. Il motore grafico applica una rotazione di $60^\circ$ in senso antiorario moltiplicando la sua posizione per il complesso $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nuova posizione del personaggio in forma algebrica.

Trova le tre radici cubiche del numero complesso $z = 8i$. Esprimi i risultati in forma polare e giustifica geometricamente la figura formata dai loro affissi nel piano complesso.

Calcola il valore dell'espressione $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. A tal fine, converti prima il numeratore e il denominatore in forma polare.

In un esperimento di ottica, lo sfasamento tra due onde luminose si modella moltiplicando le loro rappresentazioni complesse. Se la prima onda è $z_1 = 3_{45^\circ}$ e la seconda è $z_2 = 2_{135^\circ}$, trova in forma trigonometrica il risultato di $z_1 \cdot z_2^2$.

Trova l'inverso del numero complesso $z = 4_{210^\circ}$ ed esprimilo in forma algebrica. Verifica che il prodotto di $z$ per il suo inverso dà come risultato l'unità reale.

Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ utilizzando la forma polare dei numeri complessi. Esprimi le quattro soluzioni ottenute in forma algebrica.

Determina il valore di $a \in \mathbb{R}$ affinché l'argomento del numero complesso $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sia $45^\circ$.

Considera il numero complesso $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.

1. a) Prima di calcolare: sapendo che $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{6} \approx 2,45$, stima in modo motivato il quadrante in cui si trova il suo affisso. Confronta il valore assoluto della parte reale ($|a| \approx 4,24$) con quello della parte immaginaria ($|b| \approx 2,45$): l'argomento principale sarà più vicino a $180^\circ$ o a $270^\circ$? Fornisci una stima del suo argomento (con un margine di $\pm 10^\circ$) e un'approssimazione del suo modulo.
2. b) Calcola algebricamente il valore esatto del modulo $r$ e dell'argomento principale $\alpha$ di $z$. Scrivi $z$ in forma polare e in forma trigonometrica e confronta il risultato esatto con le stime effettuate nel punto precedente, giustificando se il calcolo è coerente con la posizione geometrica dell'affisso.

Per calcolare la forma algebrica dell'opposto del coniugato del numero complesso $z = 4_{150^\circ}$, cioè $-\bar{z}$, due studenti discutono su quale strategia sia più conveniente:

• Metodo 1 (via algebrica): convertire prima $z = 4_{150^\circ}$ in forma algebrica usando $a = r\cos\alpha$ e $b = r\sin\alpha$, calcolare poi il suo coniugato $\bar{z} = a - bi$ e infine cambiare il segno di entrambe le componenti per ottenere $-\bar{z}$.

• Metodo 2 (via polare): calcolare direttamente l'argomento di $-\bar{z}$ utilizzando le proprietà dell'argomento del coniugato ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) e dell'opposto ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), semplificare l'angolo risultante in $[0^\circ, 360^\circ)$ sapendo che il modulo non varia, e passare in forma algebrica solo il risultato finale.

Applica entrambi i metodi passo dopo passo per trovare $-\bar{z}$ in forma algebrica e argomenta quale dei due percorsi minimizza il rischio di commettere errori di calcolo con i segni e i rapporti trigonometrici.

I vertici di un esagono regolare centrato nell'origine del piano complesso corrispondono alle radici seste di un numero complesso $W$. Se uno dei vertici dell'esagono è l'affisso del numero $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina il valore del numero complesso $W$ in forma algebrica e calcola l'area esatta dell'esagono.

Un braccio robotico articolato è costituito da due segmenti. Il primo segmento è rappresentato nel piano complesso dal vettore $z_1 = 5_{60^\circ}$. Il secondo segmento, $z_2$, ha una lunghezza di $3$ unità ed è ruotato di $45^\circ$ in senso antiorario rispetto alla direzione di $z_1$. Calcola la posizione finale dell'estremo del braccio robotico (cioè $z_1 + z_2$) in forma algebrica, arrotondando a due cifre decimali.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare l'espressione $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dall'uguaglianza tra le parti reali e immaginarie, deduci le identità trigonometriche per $\cos(3\alpha)$ e $\sin(3\alpha)$ in funzione di $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$.

Trova tutti i numeri complessi $z$ che soddisfano l'equazione $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica. (Suggerimento: effettua un cambio di variabile).

Trova due numeri complessi $z_1$ e $z_2$ sapendo che il loro quoziente è $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ e che il loro prodotto è $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Esprimi entrambi i numeri in forma trigonometrica.

Cinque forze complanari della stessa intensità $F = 10\text{ N}$ sono applicate a un punto materiale situato nell'origine. Le direzioni di queste forze corrispondono agli affissi delle radici quinte del numero complesso $z = 100000_{0^\circ}$. Dimostra matematicamente, utilizzando le proprietà dei numeri complessi in forma trigonometrica, che la forza risultante è nulla.

Calcola il perimetro del poligono formato dagli affissi delle soluzioni dell'equazione $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ nel piano complesso.

Sia il numero complesso $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Dimostra che $z^3 = 1$ e, successivamente, calcola il valore dell'espressione $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.

Una boa oceanografica ormeggiata al largo della costa ligure registra l'azione combinata del vento e della corrente marina per i modelli di previsione. La forza sul sensore è modellizzata nel piano complesso, dove il semiasse reale positivo punta verso Est e il semiasse immaginario positivo punta verso Nord (le forze sono espresse in kilonewton, $\text{kN}$).

Il sensore rileva una forza dovuta alla corrente di $F_1 = 3\sqrt{3} - 3i\text{ kN}$. Contemporaneamente, una raffica di vento introduce una seconda forza $F_2$ il cui modulo è $6\text{ kN}$ e il cui affisso forma un angolo di $150^\circ$ in senso antiorario rispetto al vettore della corrente $F_1$.

1. a) Determina il modulo e l'argomento principale di $F_1$ per esprimere questa forza in forma trigonometrica e indica in quale quadrante geografico agisce la corrente marina.
2. b) Deduci la forma trigonometrica della forza del vento $F_2$ nel sistema generale del piano complesso e trova la sua espressione in forma algebrica esatta.
3. c) Calcola la forza netta $F_{\text{totale}} = F_1 + F_2$ in forma algebrica, esprimila in forma trigonometrica e interpreta fisicamente il risultato: con quale intensità totale e in quale direzione geografica netta l'acqua spinge la boa?

Si considerano due numeri complessi non nulli, $z_1 = r_\alpha$ e $z_2 = s_\beta$, con argomenti principali espressi nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$. Si dispone delle seguenti informazioni su di essi:

1. Il prodotto dei loro moduli è $r \cdot s = 12$ e il quoziente dei loro moduli $r / s$ è uguale a $3$.

2. Il quoziente $z_1 / z_2$ è un numero immaginario puro con parte immaginaria strettamente negativa.

3. L'affisso dell'opposto di $z_2$, cioè $-z_2$, si trova sulla bisettrice del quarto quadrante.

1. a) A partire dalle proprietà del modulo e dalla posizione geometrica dell'opposto, determina il valore esatto del modulo $s$ e dell'argomento $\beta$ di $z_2$.
2. b) Utilizzando la condizione sul quoziente $z_1 / z_2$, determina il modulo $r$ e tutti i possibili argomenti principali $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ di $z_1$.
3. c) Scrivi le soluzioni trovate per $z_1$ e $z_2$ in forma trigonometrica esatta e verifica analiticamente che il quoziente $z_1 / z_2$ soddisfi tutte le condizioni imposte.