Esercizi: Operazioni con i complessi in forma trigonometrica

Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcola il loro prodotto $z_1 \cdot z_2$ esprimendo il risultato in forma trigonometrica.

Calcola il quoziente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.

Utilizzando la formula di De Moivre, calcola la potenza $(2_{40^\circ})^3$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.

Trova l'inverso del numero complesso $z = 5_{120^\circ}$ esprimendo il risultato finale in forma trigonometrica.

Una barca naviga nella direzione e alla distanza indicate dal vettore associato al numero complesso $z = 10_{30^\circ}$. Per motivi meteorologici, il capitano decide di effettuare una virata di $90^\circ$ in senso antiorario mantenendo la stessa distanza. Per quale numero complesso in forma trigonometrica deve moltiplicare $z$ per ottenere la sua nuova traiettoria, e qual è la posizione finale?

Calcola le due radici quadrate del numero complesso $16_{120^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma trigonometrica.

Esegui la seguente operazione combinata ed esprimi il risultato in forma trigonometrica:

Dato il numero complesso $z = 3_{50^\circ}$, esprimi il suo coniugato $\bar{z}$ e il suo opposto $-z$ in forma trigonometrica.

Carmen sta risolvendo un esercizio sulle potenze di numeri complessi in forma trigonometrica e scrive sul quaderno il seguente svolgimento: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Individua e spiega in modo ragionato l'errore concettuale commesso da Carmen nel calcolare il modulo. Giustifica geometricamente perché nella formula di De Moivre il modulo si eleva a potenza e non si moltiplica per l'esponente.
2. b) Correggi il calcolo scrivendo il risultato corretto in forma trigonometrica.
3. c) Trasforma il risultato corretto in forma algebrica e indica in quale quadrante del piano complesso si trova il suo affisso.

Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$:

1. a) Prima di calcolare, fai una stima ragionata: in quale quadrante del piano complesso si troverà il prodotto $z_1 \cdot z_2$? La sua distanza dall'origine sarà maggiore o minore di quella di $z_1$? Ragiona in modo analogo per il quoziente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Verifica le tue stime calcolando in modo esatto il prodotto $z_1 \cdot z_2$ e il quoziente $\dfrac{z_1}{z_2}$ in forma trigonometrica, riducendo gli argomenti all'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) A partire dal risultato del quoziente, calcola il suo inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ in forma trigonometrica e verifica se il suo modulo è $0,5$ e se il suo argomento coincide con quello che otterresti calcolando direttamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ nell'insieme dei numeri complessi. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica e rappresentale graficamente nel piano complesso (asse reale orizzontale e asse immaginario verticale).

In un circuito in corrente alternata, l'impedenza totale $Z_T$ di due componenti collegati in parallelo si calcola con la formula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Se le impedenze dei componenti sono $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ e $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, trova l'impedenza totale $Z_T$ in forma trigonometrica. Suggerimento: passa alla forma algebrica per eseguire la somma.

Risolvi l'equazione $z^3 = -8i$. Trasforma prima il numero $-8i$ in forma trigonometrica prima di calcolare le radici ed esprimi i risultati finali sia in forma trigonometrica sia in forma algebrica.

Calcola il valore di $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Per farlo, trasforma prima la base in forma trigonometrica, applica la formula di De Moivre e fornisci il risultato finale in forma algebrica.

Determina il più piccolo numero intero positivo $n$ tale che il risultato di $(\sqrt{3} + i)^n$ sia un numero reale negativo.

Un drone da esplorazione sottomarina parte dall'origine e si sposta in linea retta fino al punto corrispondente all'affisso del numero complesso $z_1 = 2_{45^\circ}$ (in chilometri). Successivamente, il centro di controllo gli invia un'istruzione equivalente a moltiplicare la sua posizione attuale per il complesso $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcola le coordinate polari della sua posizione finale e spiega quale trasformazione geometrica ha subito rispetto al suo vettore posizione iniziale.

Trova l'area del triangolo i cui vertici sono gli affissi delle radici cubiche del numero complesso $z = 64_{90^\circ}$.

Esegui la seguente operazione con numeri complessi esprimendo il risultato finale in forma trigonometrica:

Per calcolare la potenza $(-\sqrt{3} + i)^6$, due studenti del liceo propongono strade diverse:

• Matteo propone di svilupparla direttamente con il binomio di Newton: $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• Sofia propone di trasformare la base in forma trigonometrica, applicare la formula di De Moivre ed esprimere il risultato finale in forma algebrica.

1. a) Confronta in modo ragionato i due metodi analizzando il numero di termini da calcolare e la probabilità di commettere errori di calcolo (segni, potenze di $i$, coefficienti binomiali).
2. b) Giustifica quale sia il metodo ottimale ed eseguilo passo per passo per trovare il risultato finale esatto in forma trigonometrica e in forma algebrica.
3. c) Se l'esponente fosse $2$ invece di $6$, il metodo di Sofia sarebbe ancora nettamente superiore? Giustifica la tua risposta confrontando lo sforzo algebrico in quel caso.

In un parco eolico in Puglia, un aerogeneratore ha tre pale di lunghezza $60\text{ m}$ disposte simmetricamente attorno al mozzo centrale con uno sfasamento angolare di $120^\circ$ tra loro. Poniamo l'origine delle coordinate nel centro del rotore e l'angolo $0^\circ$ sull'orizzontale verso destra.

In un istante iniziale, l'estremo della pala 1 si trova nella posizione $z_1 = 60_{40^\circ}$ (in metri).

1. a) Modella la posizione degli estremi delle pale 2 e 3 ($z_2$ e $z_3$) in forma trigonometrica in quell'istante, spiegando quale operazione con i complessi in forma trigonometrica permette di passare da una pala alla successiva.
2. b) Una raffica di vento costante fa ruotare il rotore di $85^\circ$ in senso antiorario. Modella questa rotazione mediante la moltiplicazione per un numero complesso unitario e calcola la nuova posizione in forma trigonometrica di ciascuna delle tre pale.
3. c) Dopo la rotazione, determina in modo ragionato quale delle tre pale si trova a maggiore altezza rispetto al suolo (maggiore coordinata verticale) e calcola tale altezza rispetto all'asse del rotore utilizzando la forma trigonometrica.

Un radar del traffico aereo rileva tre aerei le cui posizioni formano un triangolo equilatero centrato nella torre di controllo (situata nell'origine delle coordinate). Se uno degli aerei si trova nella posizione descritta dal numero complesso $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (in chilometri), determina la posizione degli altri due aerei in forma trigonometrica e calcola la distanza in linea retta che separa due aerei qualsiasi.

Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare la potenza $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dal risultato, uguagliando le parti reali e immaginarie, dimostra le identità trigonometriche dell'angolo triplo:

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Risolvi l'equazione $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Esprimi le quattro soluzioni di $z$ in forma algebrica.

Nella progettazione del software di un braccio robotico, la posizione finale dell'effettore si calcola applicando una rotazione e un ridimensionamento alla sua posizione iniziale $z_0 = 5_{20^\circ}$. Questa trasformazione equivale a moltiplicare $z_0$ per la radice cubica del numero complesso $W = 27_{150^\circ}$ che ha il suo argomento nel primo quadrante. Determina la posizione finale dell'effettore in forma trigonometrica e l'angolo totale di rotazione applicato rispetto alla posizione iniziale.

Trova due numeri complessi $z_1$ e $z_2$ in forma trigonometrica sapendo che soddisfano contemporaneamente le seguenti condizioni:

• Il loro quoziente $\frac{z_1}{z_2}$ è uguale a $2_{150^\circ}$

• Il loro prodotto $z_1 \cdot z_2$ è uguale a $18_{90^\circ}$

Calcola la somma delle sei radici seste dell'unità ($z^6 = 1$). Giustifica la tua risposta in due modi diversi: algebricamente (utilizzando la somma di una progressione geometrica o le proprietà delle radici) e geometricamente (interpretando gli affissi come vettori).

Un sistema di crittografia genera chiavi basate sulle coordinate degli affissi delle soluzioni dell'equazione $z^5 + 32 = 0$. Calcola tutte le soluzioni in forma trigonometrica e determina il perimetro del poligono regolare che formano.

Determina tutti i numeri complessi $z$ espressi in forma trigonometrica che soddisfano l'equazione $z^3 = (\bar{z})^2$, dove $\bar{z}$ è il coniugato di $z$.

Le soluzioni di un'equazione binomia della forma $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) determinano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare centrato nell'origine delle coordinate.

Si conoscono le seguenti tre condizioni su questo insieme di soluzioni:

1. Una delle soluzioni è il numero complesso $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Un'altra soluzione si trova esattamente sul semiasse immaginario positivo (il suo argomento è $90^\circ$).

3. Il poligono regolare ha il minor numero di lati possibile ($n$) che soddisfi contemporaneamente le due condizioni precedenti.

1. a) Scrivi $z_1$ in forma trigonometrica e deduci algebricamente il più piccolo valore intero di $n$ compatibile con il fatto che una delle soluzioni abbia argomento $90^\circ$.
2. b) Trova il valore esatto del numero complesso $w$ sia in forma trigonometrica sia in forma algebrica.
3. c) Scrivi in forma trigonometrica tutte le soluzioni dell'equazione $z^n = w$, calcolando il passo angolare tra vertici consecutivi e verificando che $z_1$ e la soluzione sul semiasse immaginario facciano parte dell'elenco.

Considera il numero complesso $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata:

• Confronta i moduli del numeratore e del denominatore. A partire da questo confronto, deduci se gli affissi delle potenze successive $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formeranno una spirale che si allontana dall'origine, una che converge verso l'origine o se rimarranno su una circonferenza fissa.

• Analizza gli argomenti del numeratore e del denominatore per stimare se può esistere una potenza $w^n$ (con $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) il cui risultato sia un numero reale strettamente positivo. Ti aspetti che il più piccolo $n$ con questa proprietà sia un valore piccolo o un multiplo notevole?

1. b) Verifica le tue stime:

• Trasforma il numeratore e il denominatore in forma trigonometrica e ottieni l'espressione esatta di $w$ in forma trigonometrica.

• Applica la formula di De Moivre per determinare in modo esatto il più piccolo intero positivo $n$ tale che $w^n$ sia un numero reale positivo, impostando e risolvendo la condizione sull'argomento.

1. c) Per tale valore minimo di $n$, calcola il valore esatto di $w^n$ e del suo inverso $(w^n)^{-1}$ in forma trigonometrica e algebrica, e valuta se il modulo ottenuto conferma la tua congettura iniziale sull'allontanamento dall'origine.

Sfida del tema. Prepara una relazione tecnica sulla risposta di un impianto elettrico collegato alla rete a partire da dati reali:

1. Consulta sul sito di Terna la domanda del sistema elettrico nazionale in tempo reale (in GW) e prendi le prime due cifre intere come valore $k$ (ad esempio, se indica $27{,}4$ GW, $k = 27$).

2. Modella la risposta del circuito con il polinomio di potenza $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Trova la derivata $P'(x)$, calcola la maggiore delle frequenze critiche positive risolvendo $P'(x) = 0$ e arrotonda a due cifre decimali il suo valore, che chiamerai $\omega$.

3. Definisci l'impedenza del circuito in forma algebrica come $Z = 4 + \omega i$ (in $\Omega$) e una corrente di consumo $I = 3 - 2i$ (in A). Opera in forma algebrica per determinare la tensione complessa $V = Z \cdot I$.

4. Trasforma $Z$ e $I$ in forma trigonometrica ($r_\alpha$). Esegui il prodotto in forma trigonometrica per ricalcolare $V$, verifica che i due risultati coincidano e rappresenta in GeoGebra i tre affissi vettoriali analizzando lo sfasamento angolare tra corrente e tensione.

Consegna una breve relazione di una pagina con i calcoli scritti a mano e la schermata di GeoGebra.

Verranno valutati:

• Rigorosa estrazione del dato di Terna e corretta risoluzione algebrica della derivata $P'(x)$.

• Padronanza ed equivalenza nelle operazioni complesse sia in forma algebrica sia trigonometrica.

• Costruzione grafica in GeoGebra e interpretazione fisica coerente dello sfasamento.