Esercizi: Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica

Esegui le seguenti operazioni di somma e sottrazione con numeri complessi: dati $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ e $z_3 = 5i$, calcola in forma algebrica il risultato dell'espressione $z_1 - z_2 + z_3$.

Moltiplica i seguenti numeri complessi espressi in forma algebrica e semplifica il risultato raggruppando la parte reale e la parte immaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Esegui la seguente divisione di numeri complessi moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Esprimi il risultato finale nella forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Semplifica le seguenti potenze dell'unità immaginaria $i$ applicando la periodicità dei loro valori:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Dato il numero complesso $z = -7 + 8i$, determina il suo coniugato $\bar{z}$ e il suo opposto $-z$. Quindi esegui l'operazione $z + \bar{z}$ e verifica algebricamente che il risultato è un numero reale.

Risolvi la seguente equazione di secondo grado nell'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ e indica le sue due soluzioni:

$x^2 + 25 = 0$

Determina i valori dei numeri reali $x$ e $y$ affinché valga la seguente uguaglianza tra numeri complessi:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Calcola il valore numerico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ quando viene valutato nel numero complesso $z = 2 + i$.

Luca cerca di semplificare la frazione di numeri complessi $\dfrac{5+2i}{2-i}$ per esprimerla in forma algebrica. Nella sua verifica scrive il seguente procedimento:

1. a) Individua motivando l'errore concettuale commesso da Luca nel denominatore e spiega perché il suo calcolo di $(2-i)(2+i)$ contraddice la regola di moltiplicare per il coniugato.
2. b) Risolvi correttamente l'operazione ed esprimi il risultato finale nella forma algebrica $a + bi$.

Si vuole costruire un polinomio di secondo grado $P(x) = x^2 + bx + c$ a coefficienti reali ($b, c \in \mathbb{R}$) tale che una delle sue radici sia il numero complesso $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Giustifica, senza eseguire operazioni algebriche, quale deve essere necessariamente la seconda radice $z_2$ di questo polinomio, basandoti sulle proprietà spiegate riguardo alle equazioni a coefficienti reali.
2. b) Ottieni i valori esatti dei coefficienti $b$ e $c$ sviluppando il prodotto dei fattori $(x - z_1)(x - z_2)$ in forma algebrica e sostituendo $i^2 = -1$.

In un circuito elettrico in corrente alternata, due componenti sono collegati in parallelo. Le loro impedenze complesse sono date da $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ e $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcola l'impedenza equivalente del circuito, espressa in forma algebrica, utilizzando la formula fisica:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Determina il valore del parametro reale $k$ affinché il risultato del seguente quoziente sia un numero reale puro (cioè la sua parte immaginaria sia nulla):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

Nello sviluppo di un videogioco 2D, la posizione di un personaggio nel piano è rappresentata dal numero complesso $z = 5 + 2i$. Per applicare una rotazione di $90^\circ$ in senso antiorario rispetto all'origine e, successivamente, una traslazione definita dal vettore $(-1, 3)$, il motore grafico esegue l'operazione $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calcola la nuova posizione $z'$ del personaggio.

Sviluppa e semplifica l'espressione $(1 - i)^4$ operando esclusivamente in forma algebrica. Puoi utilizzare lo sviluppo del binomio di Newton o applicare le proprietà delle potenze $( (1-i)^2 )^2$.

Nello studio del flusso di fluidi ideali attorno a un ostacolo cilindrico, la funzione di potenziale complesso è data dall'espressione $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sapendo che la velocità del fluido è $V = 2$ e il parametro è $m = 8$, calcola il potenziale nel punto $z = 2 + 2i$. Esprimi il risultato finale $W(2+2i)$ nella forma $a + bi$.

Esegui le operazioni combinate indicate di seguito, rispettando la loro precedenza, ed esprimi il risultato finale in forma algebrica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

Trova il valore del numero reale $x$ affinché il prodotto dei numeri complessi $(x - 3i)$ e $(2 + 5i)$ dia come risultato un numero immaginario puro (cioè con parte reale uguale a zero).

In un modello matematico semplificato di meccanica quantistica, lo stato di una particella è descritto dall'ampiezza di probabilità $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Verifica se questo stato soddisfa la condizione di normalizzazione, la quale richiede che il prodotto del numero complesso per il suo coniugato sia esattamente uguale a uno ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

Per calcolare in forma algebrica l'inverso del numero complesso $z = \dfrac{1+2i}{3-i}$, due compagni di classe propongono strade diverse:

• Alessandro propone di calcolare prima la divisione $\dfrac{1+2i}{3-i}$ moltiplicando per il coniugato del denominatore e, una volta ottenuto il risultato $A + Bi$, di calcolarne l'inverso come $\dfrac{1}{A+Bi}$ moltiplicando di nuovo per il suo coniugato.

• Berta propone di invertire prima algebricamente la frazione, scrivendo $z^{-1} = \dfrac{3-i}{1+2i}$, e di risolvere poi un'unica divisione moltiplicando per il coniugato di questo nuovo denominatore.

1. a) Confronta i due percorsi: giustifica se entrambi sono matematicamente validi e quale dei due minimizza le operazioni aritmetiche e il rischio di errore.
2. b) Applica il metodo scelto per calcolare $z^{-1}$ ed esprimi il risultato nella forma $a + bi$.

Considera la moltiplicazione dei numeri complessi $z_1 = 5 + 0,2i$ e $z_2 = 4 - 0,1i$.

1. a) Prima di operare in modo esatto, stima in modo motivato il valore approssimato della parte reale e della parte immaginaria di $z_1 \cdot z_2$. Giustifica la tua stima analizzando quali dei quattro termini del prodotto distributivo $(ac - bd) + (ad + bc)i$ avranno un impatto significativo e quali risulteranno quasi trascurabili.
2. b) Esegui la moltiplicazione completa in forma algebrica sostituendo $i^2 = -1$.
3. c) Confronta il valore esatto con la tua stima iniziale, calcola la differenza nella parte reale e ragiona in quali situazioni pratiche (come calcoli con tolleranze di misura) può essere ammissibile trascurare il termine $-bd$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari in cui le incognite $z$ e $w$ sono numeri complessi. Esprimi entrambe le soluzioni in forma algebrica:

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Trova i numeri complessi $z = x + yi$ che sono radici quadrate del numero complesso $-5 + 12i$. A tal fine, imposta l'equazione $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, uguaglia le parti reali e le parti immaginarie per formare un sistema di equazioni non lineare e risolvilo in $\mathbb{R}$.

Determina il luogo geometrico degli affissi dei numeri complessi $z = x + yi$ tali che l'espressione $\frac{z - 2}{z + i}$ sia un numero immaginario puro (cioè con parte reale nulla e parte immaginaria diversa da zero).

1. a) Ottieni l'equazione del luogo geometrico in funzione di $x$ e $y$.

1. b) Identifica la curva: indica il suo centro e il suo raggio.

1. c) Indica quali punti di quella curva vanno esclusi e perché.

Dimostra algebricamente, definendo i numeri complessi in forma algebrica come $z = a + bi$ e $w = c + di$, che il coniugato del prodotto di due numeri complessi è identico al prodotto dei rispettivi coniugati. Cioè, prova passo dopo passo che $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.

Nella teoria del controllo dei sistemi dinamici, un sistema è considerato stabile se tutte le radici del suo polinomio caratteristico hanno parte reale negativa. Data l'equazione caratteristica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:

1. Verifica per sostituzione algebrica se $z_1 = 1 + i$ è una soluzione dell'equazione.

2. Sapendo che i polinomi a coefficienti reali hanno radici complesse coniugate, trova le altre due soluzioni dell'equazione.

3. Concludi se il sistema descritto è stabile o instabile.

Trova tutti i numeri complessi $z$ che soddisfano l'equazione non lineare $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ e risolvi il sistema risultante analizzando i diversi casi possibili per $x$ e $y$.

In un algoritmo di generazione di frattali, la posizione di ogni nuovo nodo nel piano complesso si calcola a partire dalla somma di potenze consecutive. Calcola la posizione del nodo data dalla somma dei primi 10 termini della progressione geometrica:

$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$

Applica la formula della somma dei termini di una progressione geometrica ed esprimi il risultato finale in forma algebrica.

Nello studio dei frattali e dell'insieme di Mandelbrot, si analizza il comportamento della successione iterativa definita da $z_{n+1} = z_n^2 + c$, a partire dalla condizione iniziale $z_0 = 0$. Per la costante complessa $c = -1 + i$:

1. Calcola i termini $z_1$, $z_2$ e $z_3$ operando in forma algebrica.

2. Determina il modulo $|z_3|$ e verifica se supera il valore soglia di fuga (cioè se $|z_3| > 2$).

In un progetto di ingegneria industriale in un impianto fotovoltaico di Napoli, si collegano due rami in parallelo la cui impedenza equivalente è data da $Z_p = \dfrac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$. Il primo ramo presenta un'impedenza $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, mentre il secondo ramo ha un'impedenza $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, dove $R > 0$ è una resistenza ohmica regolabile in ohm.

I tecnici devono regolare $R$ affinché il circuito entri in risonanza parallela, il che significa che l'impedenza globale $Z_p$ deve essere un numero reale puro (la sua parte immaginaria deve essere nulla), evitando sfasamenti tra tensione e corrente.

1. a) Sviluppa l'espressione di $Z_p$ in forma algebrica in funzione del parametro $R$, moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato opportuno.
2. b) Uguaglia a zero la parte immaginaria ottenuta per calcolare il valore esatto della resistenza $R$ da selezionare.
3. c) Con tale valore di $R$, trova il valore finale della resistenza equivalente $Z_p$ del circuito.

Un'alunna sostiene in classe la seguente affermazione: «Poiché per qualsiasi equazione quadratica con soluzioni complesse queste si presentano in coppie coniugate, allora nell'equazione $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sapendo che una soluzione è $x_1 = 1+2i$, l'altra soluzione deve essere obbligatoriamente il suo coniugato $x_2 = 1-2i$».

1. a) Verifica mediante sostituzione diretta e operazioni in forma algebrica se $x_1 = 1+2i$ e il suo presunto coniugato $1-2i$ soddisfano l'equazione quadratica data.
2. b) Spiega l'errore di ragionamento dell'alunna: quale condizione indispensabile indicata negli appunti non rispetta questa equazione, per cui non si applica la proprietà delle radici coniugate?
3. c) Utilizzando le relazioni tra coefficienti e radici per la somma ($x_1 + x_2 = 3+i$), calcola la vera seconda radice $x_2$ in forma algebrica e verifica che il prodotto $x_1 \cdot x_2$ coincide con il termine noto $4+3i$.