Esercizi: Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia

Scrivi le prime sei righe (dalla riga $n=0$ alla riga $n=5$) del triangolo di Tartaglia e usale per sviluppare $(a+b)^5$.

Sviluppa $(2x-1)^4$ usando la formula del binomio di Newton.

Calcola i coefficienti binomiali $\binom{8}{3}$, $\binom{10}{0}$ e $\binom{12}{10}$.

Determina il coefficiente del termine in $x^3$ nello sviluppo di $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^7$... se il termine esiste; in caso contrario, spiega perché non esiste e determina il termine in $x^{5}$.

Calcola, senza calcolatrice, $(1{,}02)^5$ con l'approssimazione di quattro cifre decimali, usando i primi termini dello sviluppo di $(1+0{,}02)^5$.

Calcola il valore della somma $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}2^k$ e giustifica il risultato con il binomio di Newton.

Dimostra che, per ogni intero $n\ge 1$, vale

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0$

e deduci che la somma dei coefficienti binomiali di indice pari è uguale a quella dei coefficienti di indice dispari. Quanto vale ciascuna delle due somme?

Nello sviluppo di $\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^n$ il coefficiente del terzo termine è 45.

1. a) Determina $n$.

1. b) Determina il termine indipendente da $x$, se esiste.

1. c) Determina il termine centrale.

Dimostra, usando il binomio di Newton, che $7^n-1$ è divisibile per 6 per ogni intero $n\ge 1$, scrivendo $7^n=(1+6)^n$ e sviluppando.