Esercizi: Prove ripetute e schema di Bernoulli

Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere esattamente 2 volte testa.

Un dado equilibrato viene lanciato 4 volte. Calcola la probabilità che il numero 6 esca esattamente 1 volta.

Un giocatore di pallacanestro segna un tiro libero con probabilità $0{,}8$. Calcola la probabilità che, in 3 tiri, li segni tutti.

In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 10 pezzi in modo indipendente. Calcola la probabilità che:

1. a) non ci siano pezzi difettosi;

1. b) ci sia al più un pezzo difettoso;

1. c) ci siano almeno due pezzi difettosi.

Un test a risposta multipla ha 10 domande, ciascuna con 4 opzioni di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso. Calcola la probabilità che dia almeno 8 risposte corrette e il numero medio di risposte corrette atteso.

Una squadra di pallavolo vince ogni set con probabilità $0{,}6$, indipendentemente dagli altri. Una partita si vince vincendo 3 set su 5. Calcola la probabilità che la squadra vinca la partita ai 5 set, cioè con risultato 3 a 2.

Un'azienda di Napoli spedisce pacchi, ciascuno dei quali ha probabilità $p=0{,}02$ di arrivare danneggiato, indipendentemente dagli altri. Determina il minimo numero $n$ di pacchi per cui la probabilità che almeno uno sia danneggiato supera $0{,}5$. Giustifica il procedimento.

In $n$ prove indipendenti con probabilità di successo $p$, sia $P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

1. a) Dimostra che $\dfrac{P(k+1)}{P(k)}=\dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$.

1. b) Deduci per quali valori di $k$ la probabilità $P(k)$ è crescente e determina il valore più probabile di $k$ per $n=20$ e $p=0{,}3$.

Un'urna contiene 3 palline rosse e 7 bianche. Si estrae una pallina, la si rimette nell'urna e si ripete l'estrazione $n$ volte.

1. a) Determina la probabilità di ottenere esattamente 2 rosse in 6 estrazioni.

1. b) Dimostra che la somma delle probabilità di ottenere $0,1,\dots,n$ palline rosse è uguale a 1.

1. c) Se le estrazioni fossero senza rimessa, lo schema di Bernoulli sarebbe ancora applicabile? Motiva la risposta.