Produto vetorial

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcule o seu produto vetorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando a regra do determinante com os vetores da base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Dados os versores dos eixos coordenados $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcule os seguintes produtos vetoriais:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Justifique, à luz dos resultados, se o produto vetorial cumpre a propriedade comutativa.

Encontre a área do paralelogramo cujos lados são os vetores $\vec{u} = (5, 0, 0)$ e $\vec{v} = (2, 3, 0)$. Que relação observas entre esse resultado e a área de um retângulo de base 5 e altura 3 situado no plano $XY$?

Determine o valor do parâmetro real $k$ para que a área do paralelogramo definido pelos vetores $\vec{a} = (k, 1, 2)$ e $\vec{b} = (1, k, 0)$ seja exatamente $\sqrt{21}$ unidades quadradas.

Calcule um vetor que seja perpendicular simultaneamente a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ e $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Verifique o resultado efetuando o produto escalar do vetor obtido por $\vec{a}$.

Encontra um vetor que seja perpendicular ao plano que passa pelos pontos $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ e $R(2, 0, 1)$.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, -2, 3)$ e $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcule as coordenadas de um vetor $\vec{w}$ que seja perpendicular simultaneamente a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$, e que tenha um módulo igual a $\sqrt{130}$ unidades. Quantas soluções possíveis existem para esse vetor?

No projeto de uma peça industrial, é necessário conhecer a direção da reta $r$ que resulta da interseção de dois planos cujas normais são $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ e $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabendo que o vetor diretor da reta é perpendicular a ambas as normais, utiliza o produto vetorial para o encontrar.

Verifique se os vetores $\vec{u} = (1, -2, 4)$ e $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ são paralelos calculando o seu produto vetorial. Explique que condição o resultado de um produto vetorial deve cumprir para garantir que dois vetores têm a mesma direção.

Demonstre, utilizando as propriedades do produto vetorial, que para qualquer par de vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ do espaço, é válida a seguinte igualdade:

De seguida, verifique o resultado para os vetores $\vec{u} = (1, 0, -1)$ e $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Dados os vetores $\vec{a} = (2, -1, 0)$ e $\vec{b} = (1, 2, -2)$, determina um terceiro vetor $\vec{c}$ de forma a que o conjunto $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ forme uma base ortogonal do espaço (isto é, que sejam perpendiculares entre si dois a dois).

Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos do espaço $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ e $C(1, 2, 5)$.

Em física, o momento de uma força $\vec{F}$ aplicada num ponto em relação a uma origem é dado pelo produto vetorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, onde $\vec{r}$ é o vetor de posição do ponto de aplicação. Calcula o momento de uma força $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newtons aplicada no ponto de coordenadas $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metros. A figura mostra um esquema (fora de escala) de $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

Uma equipa de topógrafos está a medir um terreno triangular numa área acidentada. Determinaram que os vértices do triângulo, referidos a um sistema de coordenadas cartesianas em metros, são $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ e $C(5, 1, -3)$. Calcule a área desse terreno utilizando o produto vetorial.

Um engenheiro ambiental está a calcular a eficiência de um painel solar plano. O painel é definido pelos pontos $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ e $R(1, 2, 4)$. Para maximizar a captação de energia, precisa de conhecer o vetor normal unitário à superfície do painel. Determine esse vetor.

Considere um triângulo cujos vértices são os pontos $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ e $C(0, -1, k)$, onde $k$ é um parâmetro real.

1. a) Determine a expressão da área do triângulo em função de $k$.
2. b) Determine os valores de $k$ para os quais a área do triângulo é igual a $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unidades de área.

São conhecidos os vetores $\vec{u} = (1, 2, 2)$ e $\vec{w} = (-6, 6, -3)$, e procura-se determinar um vetor desconhecido $\vec{v}$ tal que $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Explica por que razão é uma condição geométrica obrigatória que $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ para que exista alguma solução, e verifica numericamente se essa condição se verifica neste caso.
2. b) Demonstra formalmente que a solução desta equação vetorial nunca é única: se $\vec{v}_0$ é uma solução particular, demonstra que qualquer vetor da forma $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (com $\lambda \in \mathbb{R}$) também satisfaz a igualdade $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.
3. c) Se impusermos a condição adicional de que $\vec{v}$ seja estritamente perpendicular a $\vec{u}$, formula as equações correspondentes e determina as coordenadas do único vetor $\vec{v}$ que cumpre simultaneamente $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ e $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.