Movimentos no plano

Um drone de entrega encontra-se na posição $P(3, -2)$, expressa em quilómetros em relação à sua base. O controlador envia-lhe uma instrução para realizar um deslocamento retilíneo definido pelo vetor de translação $\vec{v} = (-5, 4)$. Determine as coordenadas da nova posição do drone.

Uma máquina de corte a laser desloca-se em linha reta sobre uma chapa de metal desde o ponto inicial $A(-1, 5)$ até ao ponto final $B(4, 2)$. Calcule o vetor de translação que descreve exatamente este movimento.

Um barco pesqueiro realiza dois movimentos consecutivos em alto-mar. Primeiro translada-se segundo o vetor $\vec{u} = (2, 6)$ e depois segundo o vetor $\vec{v} = (3, -1)$. Se partiu de um porto situado nas coordenadas $P(-4, -5)$, determine a sua posição final após ambos os deslocamentos.

Um guindaste desloca horizontal e verticalmente uma viga retilínea cujas extremidades iniciais são $A(1, 1)$ e $B(5, 3)$. O movimento é realizado mediante uma translação definida pelo vetor $\vec{t} = (0, -4)$. Calcule as coordenadas das novas extremidades $A'$ e $B'$ da viga.

No projeto de um jardim simétrico, pretende-se colocar uma fonte no ponto $F'$ que seja o simétrico de uma estátua situada em $E(4, 7)$ em relação a um poste central localizado na origem das coordenadas $O(0, 0)$. Determine as coordenadas onde a fonte deve ser instalada.

Dois satélites de comunicações, $S_1$ e $S_2$, orbitam de forma simétrica em relação a uma estação espacial central. Se $S_1$ está na posição $(8, -3)$ e a estação espacial se encontra em $(2, 1)$, calcule as coordenadas da posição do satélite $S_2$.

O Lucas está a programar um videojogo e precisa de calcular a posição do reflexo de uma personagem situada no ponto $A(4, -1)$ através de uma simetria central em relação ao ponto de controlo $M(1, 2)$. No seu caderno, propõe o seguinte:

«Como $M$ é o ponto médio entre $A$ e o seu simétrico $A'$, calculo as coordenadas de $A'$ fazendo a média entre $A$ e $M$:

$$A' = \frac{A + M}{2} = \left(\frac{4+1}{2},\ \frac{-1+2}{2}\right) = (2,5;\ 0,5)$$»

Identifica o erro conceptual que o Lucas comete, explica por que razão o seu resultado contradiz a definição geométrica de simetria central e determina as coordenadas corretas do ponto simétrico $A'$.

Um arquiteto projeta uma ponte cujo arco tem um ponto de ancoragem crítico em $A(-3, 5)$. Para manter a simetria visual numa renderização 3D em relação à superfície da água, que coincide com o eixo das abcissas ($y=0$), precisa de localizar o reflexo virtual deste ponto sob a água. Determine as coordenadas deste ponto simétrico.

Num programa de design gráfico, desenhou-se um polígono com um vértice principal no ponto $V(5, -2)$. Aplica-se uma simetria axial em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta $y=x$). Determine analiticamente as coordenadas do vértice simétrico $V'$.

Um terreno agrícola tem a forma de um triângulo com vértices em $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 5)$. A Câmara Municipal expropria o terreno e, em troca, entrega ao proprietário outro terreno obtido ao aplicar ao triângulo original uma simetria axial em relação à reta vertical $x = 6$. Calcule os vértices do novo terreno e demonstre analiticamente que a área do terreno não se alterou.

Um ponto de controlo topográfico encontra-se em $P(-3, 5)$ e aplica-se-lhe uma simetria axial em relação à reta horizontal $r \equiv y = 1$.

1) Antes de efetuar qualquer cálculo analítico, estima fundamentadamente em que quadrante do plano ficará situado o ponto transformado $P'$. Argumenta que coordenada permanecerá invariável e qual mudará, estimando mentalmente o seu novo valor a partir da distância de $P$ ao eixo.

2) Calcula analiticamente as coordenadas de $P'$ através da condição de ponto médio e de perpendicularidade, e verifica se o resultado coincide com a tua estimativa inicial.

Um raio laser é emitido a partir de um projetor situado no ponto $P(-2, 4)$. Diante dele há um espelho plano colocado exatamente sobre a reta de equação $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcule as coordenadas do ponto virtual $P'$ (simétrico de $P$ em relação ao espelho) do qual parece provir a luz refletida.

Duas torres de vigilância florestal encontram-se localizadas nos pontos $T_1(-3, 1)$ e $T_2(5, 5)$. Deseja-se traçar um aceiro retilíneo que atue como eixo de simetria entre ambas as torres, de modo que qualquer ponto do aceiro equidiste de $T_1$ e $T_2$. Calcule a equação geral da reta que define o referido aceiro.

A trajetória de um tapete rolante segue a reta de equação $y = 2x - 1$. Por necessidades de espaço na fábrica, todo o tapete é deslocado $3$ unidades para a esquerda e $2$ unidades para cima. Escreva a equação geral da nova reta que define a trajetória após a translação.

Uma antena de telemóvel fornece cobertura numa zona circular cuja equação cartesiana é $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferência com um edifício próximo, a empresa decide transladar a antena (o centro da circunferência) segundo o vetor $\vec{v} = (-3, 5)$. Determine a equação geral da nova zona de cobertura.

O refletor do farol de um automóvel segue o perfil da parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar a programação da máquina de maquinagem CNC, o engenheiro precisa de aplicar uma translação à parábola de modo que o seu vértice coincida exatamente com a origem das coordenadas. Determine o vetor de translação necessário e a nova equação da parábola.

A órbita de um cometa projeta-se num plano astronómico segundo a equação da elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante uma translação de eixos, é possível expressar esta equação na sua forma reduzida centrada na origem. Calcule o vetor de translação que move a origem geométrica da cónica para a origem das coordenadas e escreva a equação da elipse após essa translação.

Uma via férrea segue a trajetória da reta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Um urbanista quer traçar uma nova avenida $s$ que seja perfeitamente simétrica à via férrea em relação a um monumento central situado em $C(1, -1)$. Determine a equação geral da avenida $s$.

Um raio de luz viaja ao longo da reta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ e incide sobre um espelho plano situado sobre a reta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determine a equação geral da reta $r'$ que contém o raio refletido, sabendo que essa reta é a simétrica de $r$ em relação a $s$.

O contorno de uma engrenagem circular tem a equação $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Essa engrenagem reflete-se num espelho inclinado representado pela reta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determine a equação geral da circunferência que representa a imagem refletida da engrenagem.

Dada a reta $r \equiv 2x - y + 1 = 0$ e o eixo de simetria axial $s \equiv x + y - 4 = 0$, pede-se para determinar a equação geral da reta simétrica $r'$ em relação a $s$. Dois alunos debatem sobre que procedimento seguir:

• A Maria propõe: «Calculo o ponto de interseção $I = r \cap s$, que é invariante por pertencer ao eixo ($I' = I$). Depois escolho um ponto auxiliar $P \in r$ com $P \neq I$, calculo o seu simétrico $P'$ em relação a $s$, e a reta procurada será a que passa por $I$ e $P'$».

• O Tomás propõe: «Tomo dois pontos arbitrários distintos $A$ e $B$ sobre a reta $r$, calculo o simétrico de cada um ($A'$ e $B'$) traçando perpendiculares a $s$ e determinando os respetivos pés, e depois escrevo a reta que une $A'$ e $B'$».

1) Compara a carga de cálculo e as vantagens geométricas de ambos os métodos, justificando de forma fundamentada qual dos dois é mais eficiente.

2) Aplica o método escolhido para obter a equação geral da reta simétrica $r'$.

Duas vilas, $A(1, 5)$ e $B(7, 2)$, precisam de se ligar a uma conduta principal de água que passa em linha reta ao longo do eixo das abcissas ($y=0$). Pretende-se construir uma estação de bombagem $P$ sobre a conduta principal de modo que o comprimento total das condutas secundárias ($AP + PB$) seja mínimo. Utilizando o conceito de simetria axial, calcule as coordenadas exatas do ponto $P$ e o comprimento mínimo total da conduta.

Numa mesa de bilhar, uma bola branca está situada no ponto $B(2, 3)$ e uma bola vermelha em $R(8, 6)$. Um jogador deseja acertar na bola vermelha fazendo com que a branca rebata primeiro na tabela superior da mesa, que se encontra sobre a reta $y = 10$. Supondo que o ângulo de incidência seja igual ao de reflexão, calcule as coordenadas do ponto exato da tabela onde a bola branca deve embater para atingir o seu objetivo.

Numa exploração agrícola de estufas em Odemira (Beja), projeta-se instalar uma tomada de água $B$ situada na margem de um canal de rega retilíneo, cujo traçado segue a reta $r \equiv x - 2y + 2 = 0$. A tomada deve abastecer dois setores de cultivo situados em $A(1, 4)$ e $C(7, 6)$ (coordenadas expressas em centenas de metros). Pretende-se localizar $B$ sobre o canal de modo que o comprimento total da tubagem instalada, $L = d(A, B) + d(B, C)$, seja mínimo.

1) Justifica teoricamente, utilizando as propriedades da simetria axial como isometria que preserva distâncias, por que razão a posição ótima de $B$ coincide com a interseção do canal $r$ e o segmento que une o simétrico de $A$ em relação a $r$ (designado $A'$) ao ponto $C$.

2) Determina analiticamente as coordenadas do ponto simétrico $A'$ em relação à reta $r$.

3) Determina as coordenadas exatas da tomada de água $B$ sobre o canal que minimiza o comprimento da instalação.

Na animação de um jogo eletrónico, o centro geométrico de uma personagem situado em $A(1, 3)$ sofre uma translação de vetor $\vec{t} = (4, -2)$ seguida imediatamente de uma simetria central em relação ao ponto $C(2, 0)$. Determine a posição final da personagem e verifique analiticamente se o resultado seria o mesmo aplicando primeiro a simetria e depois a translação.

Num pavilhão logístico automatizado em Évora, as mercadorias deslocam-se num plano coordenado em metros. Um pacote situado na posição $A(1, 2)$ é submetido a uma translação definida pelo vetor $\vec{v} = (6, -2)$, alcançando a posição intermédia $A'$. De seguida, o sistema de guiamento aplica-lhe uma simetria central em relação a um poste de controlo localizado em $M(5, 3)$, situando-o no seu destino final $A''$.

1) Calcula as coordenadas das posições $A'$ e $A''$.

2) Se a operadora do pavilhão tivesse invertido a ordem das instruções (aplicando primeiro a $A$ a simetria central em relação a $M$ e depois a translação de vetor $\vec{v}$), o pacote teria terminado na mesma posição $A''$? Justifica a tua resposta calculando as novas coordenadas e enunciando a propriedade teórica que regula a comutatividade na composição de movimentos.

Demonstre analiticamente que a composição de duas simetrias axiais em relação a retas paralelas é equivalente a uma translação. Para isso, considere as retas $r \equiv x - 2y = 0$ e $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Tome um ponto genérico $P(x_0, y_0)$, encontre o seu simétrico $P'$ em relação a $r$ e, em seguida, o simétrico $P''$ de $P'$ em relação a $s$. Determine o vetor de translação $\vec{v} = \vec{PP''}$ e verifique que é perpendicular às retas e que a sua norma é o dobro da distância entre elas.

Dois carris retilíneos e paralelos num troço ferroviário vêm descritos pelas retas $r \equiv 2x - y + 3 = 0$ e $s \equiv 2x - y - 7 = 0$.

1) Determina a equação geral da reta que atua como eixo de simetria axial que transforma o carril $r$ no carril $s$.

2) Se, em vez de uma simetria, se pretender passar da reta $r$ para a reta $s$ através de uma translação de vetor $\vec{v}$, existem infinitos vetores possíveis. Determina as componentes e a norma do vetor de translação $\vec{v}$ que tenha o menor comprimento geométrico possível.

Dadas as retas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ e $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, determine o vetor de translação $\vec{v}$ de menor módulo que transforma a reta $r$ na reta $s$. Demonstre analiticamente que esse vetor é perpendicular a ambas as retas e que o seu módulo coincide com a menor distância entre elas.

Uma isometria no plano transforma o ponto $A(1, 2)$ em $A'(5, 4)$ e o ponto $B(3, -1)$ em $B'(7, 1)$.

1. a) Demonstre que a distância entre $A$ e $B$ é a mesma que entre $A'$ e $B'$.
2. b) Determine se o movimento descrito corresponde a uma translação pura ou a uma simetria central, justificando analiticamente a resposta e encontrando o vetor de translação ou o centro de simetria correspondente.