Tendência e periodicidade

O gráfico a seguir mostra a evolução da temperatura de uma chávena de café acabado de servir ao longo do tempo. Para qual valor a temperatura tende quando o tempo avança indefinidamente? Como se chama matematicamente a reta horizontal da qual a curva se aproxima?

Dada a seguinte tabela de valores de uma função $g(x)$ obtida por meio de uma folha de cálculo, qual achas que é a sua tendência quando a variável independente $x$ tende para $+\infty$?

Tiramos uma lata de refrigerante do frigorífico a $4^\circ\text{C}$ e deixamo-la em cima da mesa da sala de jantar, onde a temperatura ambiente se mantém constante a $23^\circ\text{C}$. Para que temperatura tenderá o refrigerante se o deixarmos lá durante vários dias sem abrir?

O tempo $t$ (em horas) gasto para esvaziar o reservatório de rega de uma propriedade agrícola depende do número de bombas de água idênticas $n$ que são ligadas em simultâneo, segundo a função $t(n) = \frac{120}{n}$. Para que valor tende o tempo de esvaziamento se o número de bombas utilizadas tende para infinito?

A concentração de um antibiótico no sangue de um doente (medida em $\text{mg/L}$) após $t$ horas da sua administração é dada pela expressão matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcule a concentração às $2\text{ horas}$, às $10\text{ horas}$ e às $100\text{ horas}$. A partir destes resultados, qual é a tendência da concentração a longo prazo?

Uma pequena fábrica de ténis tem custos fixos diários de $800\text{ \euro}$ (renda, eletricidade, seguros) e fabricar cada par de ténis tem um custo de materiais de $5\text{ \euro}$. O custo médio por ténis ao fabricar $x$ pares por dia é dado pela função $C_m(x) = \frac{800 + 5x}{x}$. Calcule o custo médio se forem fabricados $10$, $100$ e $5000$ ténis num dia. Para que valor tende o custo médio se o volume de produção tende para infinito?

Os lucros mensais de uma startup (em milhares de euros) desde a sua criação são dados pela função racional $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, onde $x$ é o número de meses decorridos. Sabendo que no mês inicial ($x=0$) o lucro foi de $25\text{ mil \euro}$ e que, a longo prazo, os estudos de mercado indicam que os lucros tendem a estabilizar em $120\text{ mil \euro}$ mensais, determine o valor exato do parâmetro $a$ e calcule o lucro esperado para o mês $8$.

A temperatura interna de um motor industrial em funcionamento (medida em $^\circ\text{C}$) segue a lei matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde a partida. Qual é a temperatura no momento de ligar o motor? Para que temperatura máxima tende se o motor funcionar de forma ininterrupta durante semanas? Quanto tempo exato deve decorrer para que a temperatura interna atinja $85^\circ\text{C}$?

As vendas diárias estimadas de dois produtos concorrentes, A e B, seguem as seguintes funções de tendência com o passar dos dias $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ e $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. Para que valores limite tendem as vendas de cada produto a longo prazo? A partir de que dia $t$ as vendas do produto B superam definitivamente as do produto A?

Num laboratório de controlo de qualidade em Évora, introduz-se uma peça metálica recém-temperada dentro de uma câmara de refrigeração. A temperatura da peça (em $^\circ\text{C}$) em função do tempo decorrido $t$ (em horas) responde a um modelo do tipo:\n$$T(t) = A \cdot (0{,}65)^t + C$$\nSabe-se que no instante de introduzir a peça ($t = 0\text{ h}$) a sua temperatura é de $320^\circ\text{C}$, e que, se fosse deixada dentro da câmara indefinidamente ($t \to \infty$), a sua temperatura tenderia a estabilizar na temperatura de repouso do refrigerador, que se mantém constante a $18^\circ\text{C}$.\na) Deduz fundamentadamente o valor das constantes $A$ e $C$ a partir dos dados fornecidos sobre a tendência e o valor inicial.\nb) Escreve a fórmula definitiva de $T(t)$ e determina a equação da assíntota horizontal da função, explicando que significado físico tem essa reta no processo industrial.

A população de uma espécie protegida numa reserva natural foi modelada mediante a função $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, onde $t$ é o tempo decorrido, em anos, desde o início do estudo. Qual era a população inicial no ano $t=0$? Para que valor tende a população a longo prazo quando $t \to +\infty$? Esse limite faz sentido do ponto de vista ecológico?

Um relatório do Instituto Nacional de Estatística (INE) analisa o despovoamento num pequeno município rural da Serra da Estrela. A partir do ano 2020 ($t = 0$), o número de habitantes recenseados ajusta-se à seguinte função com tendência:\n$$P(t) = 540 \cdot (0{,}8)^t + 360$$\nonde $t$ é o tempo decorrido em anos e $P(t)$ representa a população total.\na) Qual era a população do município no ano 2020 e quantos habitantes se preveem para o ano 2023?\nb) Analisa a tendência da população a muito longo prazo ($t \to \infty$). Justifica matematicamente para que valor estabiliza a população apoiando-te no comportamento da base $0{,}8$ ao ser elevada a expoentes cada vez maiores, e indica a equação da assíntota horizontal.\nc) Um título de imprensa local assegura: «Se a tendência demográfica não mudar, este município acabará por ficar completamente deserto com $0$ habitantes». Rebate matematicamente esta afirmação baseando-te no conceito de assíntota horizontal do modelo.

Observe o gráfico da seguinte função que descreve a altura de uma cabina de uma roda-gigante em relação à sua posição central ao longo do tempo. Determine o seu período $T$ e, sabendo que o padrão se repete indefinidamente, calcule o valor da função no instante $x = 22$.

Classifique os seguintes fenómenos da vida real conforme correspondam a funções periódicas ou não periódicas:

• A altura de uma pessoa ao longo de toda a sua vida.

• O movimento do ponteiro dos minutos num relógio de parede.

• O saldo disponível numa conta à ordem ao longo do ano.

• O ciclo das fases da Lua.

O gráfico seguinte mostra um eletrocardiograma (ECG) simplificado de um paciente em repouso. Determine o período da função em segundos e, a partir deste dado, calcule a frequência cardíaca do paciente expressa em batimentos por minuto (bpm).

Sabendo que uma função $f(x)$ é periódica de período $T = 6$ e que, no primeiro ciclo, atinge o valor $f(2) = 5$, qual será o valor de $f(20)$?

Uma função periódica tem um período $T = 5$. Se conhecemos os seus valores no primeiro ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ e $f(5) = 1$, calcule de forma fundamentada o valor de $f(14)$.

Um farol marítimo de sinalização emite um relâmpago de luz intensa que dura exatamente $2\text{ segundos}$, seguido de um período de escuridão total de $7\text{ segundos}$, repetindo este ciclo de forma ininterrupta. Se o farol acende pela primeira vez à noite às 22:00:00, qual é o período desta função luminosa? A luz estará acesa ou apagada às 22:01:15?

A famosa roda-gigante "London Eye" tem um diâmetro aproximado de $120\text{ m}$. Os passageiros sobem para as cabines na parte mais baixa, que se encontra praticamente ao nível do solo ($0\text{ m}$). A roda-gigante gira a velocidade constante e demora exatamente $30\text{ minutos}$ a dar uma volta completa. Qual é o período da função que descreve a altura de uma cabine em função do tempo? A que altura se encontrará um passageiro $45\text{ minutos}$ após ter subido, se não tiver descido?

A tábua de marés de um porto de pesca indica que a primeira preamar (maré alta) do dia ocorre às 04:00 da madrugada e a seguinte baixa-mar (maré baixa) ocorre às 10:15 da manhã. Supondo que o nível do mar se comporta como uma função periódica em que a subida e a descida duram o mesmo tempo, qual é o seu período em horas e minutos? A que hora exata ocorrerá a seguinte preamar?

O nível da água na ria de Aveiro oscila de forma periódica devido às marés, completando um ciclo a cada $12\text{ horas}$. Na preia-mar (maré alta), às $t = 0\text{ h}$ e às $t = 12\text{ h}$, a água atinge a sua cota máxima de $4{,}5\text{ m}$. Na baixa-mar (maré baixa), a meio do ciclo ($t = 6\text{ h}$), o nível desce até à sua cota mínima de $1{,}5\text{ m}$.\na) Sem aplicar fórmulas complexas, faz uma estimativa fundamentada de entre que dois valores estará a altura da maré às $t = 27\text{ horas}$ do início e determina se nesse instante a água estará a subir ou a descer. Justifica a tua estimativa deduzindo quantos ciclos completos terão decorrido e em que ponto do ciclo se encontra esse instante.\nb) Sabendo que a altura é modelada pela função $h(t) = 3 + 1{,}5 \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6} t\right)$ (com o ângulo em radianos), calcula o valor exato de $h(27)$ e verifica se a tua estimativa inicial foi acertada e coerente com o resultado numérico.

Numa fábrica automatizada, a máquina A requer uma paragem para manutenção a cada $45\text{ minutos}$ e a máquina B requer uma paragem a cada $60\text{ minutos}$. Se ambas as máquinas recebem manutenção em simultâneo às 08:00 da manhã, a que horas voltarão a coincidir exatamente na manutenção? Se definirmos uma função matemática que vale $1$ quando ambas as máquinas estão paradas ao mesmo tempo e $0$ no resto do tempo, qual é o período dessa função?

Seja uma função $f(x)$ definida no intervalo $[0, 4)$ pela expressão algébrica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos também que a função é periódica de período $T = 4$ para qualquer valor de $x \ge 0$, verificando-se que $f(x+4) = f(x)$. Com base nestas propriedades, calcule passo a passo o valor exato de $f(2019)$.

Um satélite meteorológico orbita a Terra de modo a passar exatamente sobre uma estação de rastreio terrestre a cada $4\text{ horas e } 15\text{ minutos}$. Se a primeira passagem da semana sobre a estação for registada numa segunda-feira às 02:30 da madrugada, quantas vezes passará ele, no total, sobre a estação ao longo de toda a semana (até domingo às 23:59)? Em que dia e a que hora exata será a última passagem registada nessa semana?

Uma boia oceanográfica situada em frente à costa de Viana do Castelo regista a altura da ondulação através de uma função periódica de período $T = 6\text{ segundos}$. No primeiro ciclo, entre $t = 0\text{ s}$ e $t = 6\text{ s}$, os registos de altura são os seguintes: $f(1) = 1{,}8\text{ m}$; $f(2) = 2{,}5\text{ m}$; $f(3) = 1{,}2\text{ m}$; $f(4) = 0{,}4\text{ m}$; $f(5) = 0{,}8\text{ m}$. O técnico estagiário, David, precisa de descobrir a altura da ondulação no instante $t = 81\text{ s}$. Para isso, divide $81$ por $6$ com a calculadora e obtém $13{,}5$. David conclui no seu relatório: «Como o resultado é $13{,}5$, a boia encontra-se num valor intermédio, pelo que calculo a média aritmética entre $f(13)$ e $f(5)$».\na) Identifica o erro conceptual que David comete ao interpretar o quociente decimal da calculadora no contexto de uma função periódica.\nb) Corrige o raciocínio aplicando a divisão euclidiana inteira (quociente e resto) para determinar a que instante concreto do ciclo fundamental $[0, 6)$ equivale exatamente o segundo $t = 81\text{ s}$.\nc) A partir da tua dedução, indica o valor exato da altura da água em $t = 81\text{ s}$.

Observa o gráfico seguinte que representa o nível de água (em metros) num reservatório industrial automatizado ao longo do tempo (em minutos). Determina o período da função e calcula qual será o nível exato de água no minuto $t = 86$.

Um sensor instalado num aerogerador de um parque eólico em Évora regista as vibrações de uma pá através de uma função periódica de período $T = 1{,}25\text{ segundos}$. A equipa de manutenção dispõe unicamente da tabela de dados do primeiro ciclo, correspondente ao intervalo $[0; 1{,}25)\text{ segundos}$, e precisa de avaliar o estado da pá exatamente no instante $t = 253{,}5\text{ segundos}$. Dois analistas propõem métodos diferentes:\n- Método A (Quociente decimal direto): Dividir $253{,}5$ por $1{,}25$ na calculadora ($253{,}5 : 1{,}25 = 202{,}8$), tomar a parte decimal $0{,}8$ e multiplicá-la pelo período ($0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1{,}0\text{ s}$) para localizar o ponto dentro do primeiro ciclo.\n- Método B (Agrupamento de ciclos em inteiros exatos): Observar que o período é fracionário ($T = \dfrac{5}{4}\text{ s}$), pelo que a cada $4$ períodos completos decorrem exatamente $4 \cdot 1{,}25 = 5\text{ segundos}$. Decompor $253{,}5\text{ s}$ separando o maior múltiplo inteiro de $5\text{ s}$ para reduzir drasticamente o valor antes de fazer a divisão final.\na) Desenvolve ambos os métodos passo a passo. Obtém-se em ambos os casos o mesmo instante equivalente dentro de $[0; 1{,}25)$? Qual é?\nb) Imagina agora que o sensor é substituído por outro cujo período exato é $T = \dfrac{4}{3}\text{ segundos}$ ($1{,}3333\dots\text{ s}$). Fundamenta qual dos dois métodos se tornaria perigoso devido ao arredondamento de decimais na calculadora e justifica qual deverias escolher para garantir a máxima precisão matemática.

O gráfico a seguir mostra a altura de um praticante de bungee jumping ao longo do tempo, sujeita à oscilação da corda elástica. Analise o gráfico e responda: qual é o "período" temporal aproximado entre os dois primeiros ressaltos? Pode considerar-se que é uma função estritamente periódica? Para qual valor tende a altura do saltador quando o tempo tende a infinito e o que esse valor representa fisicamente?

Um reservatório de $500\text{ L}$ inicialmente vazio enche-se com uma torneira que fornece $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exatamente nesse momento, a torneira é fechada e abre-se uma válvula de escoamento que esvazia o reservatório a um ritmo constante de $50\text{ L/min}$ até ficar completamente vazio, momento em que a válvula é fechada, a torneira é aberta e o ciclo recomeça. Desenha mentalmente o gráfico do volume de água em função do tempo. Qual é o período completo desse processo? Que volume exato de água haverá no reservatório no minuto $100$?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

No departamento de design de um fabricante de automóveis em Setúbal testa-se o amortecimento de um veículo ao ultrapassar um lombo. O deslocamento vertical da carroçaria em relação ao chassis, $y(t)$ (em centímetros), oscila para cima e para baixo atingindo cristas sucessivas a cada $0{,}5\text{ segundos}$, mas a altura dessas cristas diminui rapidamente até que o carro volta à sua posição de repouso ($y = 0$).\na) Um engenheiro estagiário afirma: «Dado que o carro sobe e desce regularmente a cada $0{,}5\text{ segundos}$, a função que descreve o movimento é periódica com período $T = 0{,}5\text{ s}$». Utiliza a definição matemática rigorosa de função periódica, $f(t+T) = f(t)$ para todo o $t$ do seu domínio, para rebater a sua afirmação e demonstrar que uma oscilação amortecida nunca pode ser estritamente periódica.\nb) Constrói uma função $y(t)$ que modele matematicamente este comportamento reunindo as seguintes três condições simultâneas:\n 1. No instante do impacto ($t = 0$), o deslocamento inicial seja $y(0) = 8\text{ cm}$.\n 2. Contenha um fator oscilatório da forma $\cos(k \cdot t)$ cujo período seja de $0{,}5\text{ segundos}$ (lembra-te de que o período de $\cos(kt)$ é $\dfrac{2\pi}{k}$).\n 3. A sua amplitude decaia para a posição de equilíbrio através de um fator da forma $b^t$ com $0 < b < 1$, de modo que a função tenda para $0$ quando $t \to \infty$.\nVerifica algebricamente que a fórmula que desenhaste cumpre que $y(0) = 8$ e que o seu limite quando $t \to \infty$ é efetivamente $0$.