Padrões e regularidades

Observe as seguintes sucessões numéricas e escreva os dois termos seguintes de cada uma, explicando a regra que seguem:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

A sucessão de Fibonacci começa assim: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada termo é obtido somando os dois anteriores. Escreva os quatro termos seguintes.

Observe a sucessão $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escreva os três termos seguintes.

• Qual é o termo que ocupa o lugar $25$? É positivo ou negativo?

Um trabalho manual consiste em construir triângulos em cadeia com palitos, como se mostra na figura.

• Quantos palitos são necessários para construir a figura 4?

• E para a figura 5?

Observe a sucessão de figuras formadas por pontos da imagem.

• Quantos pontos terá a figura 4? E a figura 5?

• Que relação existe entre o número da figura e o número de pontos?

Uma empresa de construção empilha blocos formando escadas, como se mostra na figura.

• Conte os blocos das figuras 1, 2 e 3 e calcule quantos blocos terá a figura 4.

• Quantos blocos terá a figura 10?

• Escreva uma expressão geral para o número de blocos da figura $n$. (Dica: une cada escada com a sua simétrica para formar um retângulo.)

A sucessão $a_n$ tem por termo geral $a_n = 4n - 1$. Calcule os termos $a_1$, $a_5$ e $a_{20}$.

Uma sucessão começa em $7$ e cada termo é obtido somando $6$ ao anterior. Escreva os seus cinco primeiros termos e calcule o termo que ocupa a posição $10$.

A Martina começa o ano letivo com $10\ \text{€}$ no seu mealheiro e, a partir de então, guarda $3\ \text{€}$ em cada semana.

• Escreva a sucessão do dinheiro acumulado no final de cada uma das cinco primeiras semanas.

• Quanto dinheiro terá no final da semana $12$?

Considere a sucessão $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Determine o seu termo geral $a_n$.

• Verifique se $157$ é um termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique que posição ocupa.

• $200$ pertence à sucessão? Justifique a resposta.

Um aluno afirma que o termo geral da sucessão $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ é $a_n = 2n$. Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique a sua resposta e escreva o termo geral correto.

Uma sucessão é definida por recorrência assim: $a_1 = 2$ e $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcule os cinco primeiros termos.

• Compare cada termo com as potências de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) e descreva o padrão que observa.

• Perante o padrão, qual será o valor de $a_{10}$?

O serviço municipal de partilha de bicicletas elétricas de uma cidade expande as suas instalações ao longo de uma avenida. A primeira estação instalada conta com 14 postos de carregamento. Para responder ao aumento previsto de utilizadores em direção à periferia, o plano de mobilidade estabelece que cada nova estação tenha mais 4 postos do que a estação imediatamente anterior (ou seja, a estação 2 tem 18 postos, a 3 tem 22, etc.).

1. a) Define através de uma fórmula por recorrência o número de postos $a_n$ da estação $n$, indicando explicitamente o termo inicial $a_1$ e a relação que permite obter $a_n$ a partir de $a_{n-1}$.
2. b) Deduz o termo geral explícito $a_n$ que permite calcular diretamente quantos postos terá qualquer estação $n$ sem necessidade de calcular todas as estações intermédias.
3. c) A Câmara Municipal recebe uma verba orçamental fechada com exatamente 70 postos para equipar uma única estação da avenida. Formula a equação correspondente com o termo geral e resolve-a para verificar se existirá alguma estação que utilize exatamente esses 70 postos ou se sobrará material; interpreta o resultado no contexto do problema.

No seu livro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs este problema: um casal de coelhos recém-nascido leva um mês a tornar-se adulto; a partir de então, em cada mês produz um novo casal de crias, que por sua vez segue a mesma regra. Nenhum coelho morre.

• Partindo de um único casal recém-nascido, completa uma tabela com o número de casais no final de cada um dos seis primeiros meses.

• Escreve a lei de recorrência que a sucessão segue.

• Quantos casais haverá ao cabo de $10$ meses?

Um princípio fundamental ao estudar regularidades é que alguns termos iniciais não determinam uma única sucessão.

1. a) Escreve os quatro primeiros termos da sucessão cujo termo geral é $a_n = 2^n$.
2. b) Concebe o termo geral ou o critério de formação de outra sucessão diferente, $b_n$, que cumpra exatamente as duas condições seguintes: partilhar com $a_n$ os três primeiros valores ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ e $b_3 = 8$), mas cujo quarto termo seja estritamente diferente ($b_4 \neq 16$).
3. c) Apoiando-te neste exemplo, justifica por que razão verificar que uma fórmula funciona para $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$ não serve como demonstração matemática de que seja válida para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Dois colegas discutem sobre o termo geral da sucessão que começa com $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• A Matilde diz que é $a_n = 2^n$.

• O Bruno diz que pode ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Verifique que ambas as expressões geram os três primeiros termos.

• Calcule o quarto termo de acordo com cada uma das duas expressões. Coincidem?

• Tire conclusões: os três primeiros termos de uma sucessão determinam o seu termo geral de forma única?

Os números triangulares são $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (pontos que formam um triângulo) e os quadrados são $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Verifique com os quatro primeiros casos que cada número quadrado (a partir de $4$) é a soma de dois números triangulares consecutivos.

• Escreva essa propriedade por meio de uma igualdade algébrica usando os termos gerais $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ e $C_n = n^2$, e demonstre-a.

• Ilustre com um desenho de pontos por que a propriedade é verdadeira para $C_4 = 16$.

A conjetura de Collatz, proposta em 1937 e ainda não demonstrada, parte de qualquer número natural e aplica esta regra: se o número for par, divide-se por $2$; se for ímpar, multiplica-se por $3$ e soma-se $1$. A conjetura afirma que sempre se acaba por chegar a $1$.

• Aplica a regra partindo de $7$ e escreve a sequência completa até chegares a $1$.

• Faz o mesmo partindo de $11$.

• Verifica a conjetura para três números escolhidos por ti, um deles maior do que $50$. Achas que verificar muitos casos demonstra que a conjetura é verdadeira? Comenta a tua resposta.