Funções exponenciais

Dada a função exponencial $f(x) = 2^x$, calcule as imagens para os valores $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

O gráfico de uma função exponencial do tipo $f(x) = a^x$ passa pelo ponto $(3, 8)$. Calcule o valor da base $a$.

Indique, justificando a sua resposta, quais das seguintes funções exponenciais são crescentes e quais são decrescentes:

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observe os gráficos A e B representados na figura a seguir. Associe cada um deles à sua correspondente expressão analítica: $y = 3^x$ ou $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Determine o domínio, o contradomínio e o ponto de interseção com o eixo das ordenadas da função exponencial $f(x) = 0,5^x$.

O Marcos está a analisar a função $f(x) = 2^{x+1} - 8$. No seu exame escreveu a seguinte conclusão: «Por ser uma função exponencial, a sua assíntota horizontal é sempre a reta $y = 0$, o seu contradomínio é $(0, +\infty)$ e, portanto, o gráfico nunca interseta o eixo das abcissas ($X$) nem toma valores negativos».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu relativamente às translações de uma função exponencial.
2. b) Explica fundamentadamente por que motivo ocorrem esses erros e corrige-os, indicando a equação correta da assíntota horizontal e o contradomínio real de $f(x)$.
3. c) Demonstra que a função interseta efetivamente o eixo $X$ calculando as coordenadas exatas do referido ponto de interseção.

Represente graficamente a função $f(x) = 3^{x-2} + 1$ construindo previamente uma tabela de valores. Indique qual é a equação da sua assíntota horizontal e calcule as coordenadas do seu ponto de interseção com o eixo das ordenadas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Determine, de forma analítica, as coordenadas exatas dos pontos de interseção com o eixo das abscisas e com o eixo das ordenadas da função exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

Dada a função com valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Escreva-a como uma função definida por ramos, calculando previamente em que ponto a expressão interior muda de sinal.

• b) Determine os seus pontos de interseção com os eixos coordenados.

• c) Indique em que intervalos a função é crescente e em que intervalos é decrescente.

Determine o valor de $x$ nas seguintes igualdades exponenciais elementares:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Resolva as seguintes equações exponenciais igualando as bases em ambos os membros da igualdade:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Resolve a seguinte equação exponencial colocando previamente o fator comum em evidência:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Resolve a seguinte equação exponencial aplicando as propriedades das potências e colocando o fator comum em evidência:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Para resolver a equação exponencial $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$, propõem-se três estratégias de resolução diferentes:

• Estratégia A: Tentar colocar diretamente em evidência o fator comum $2^x$ dos três termos tal como estão escritos.

• Estratégia B: Tentar igualar diretamente as bases sem transformar a estrutura da igualdade.

• Estratégia C: Expressar todas as potências na base 2, simplificar os coeficientes e aplicar a mudança de variável $t = 2^x$ para transformar a expressão numa equação do segundo grau.

1. a) Explica detalhadamente por que razão as Estratégias A e B não são viáveis nesta equação.
2. b) Aplica a Estratégia C para resolver a equação passo a passo. Durante o processo irás obter dois valores possíveis para $t$; justifica fundamentadamente qual deles deves descartar apoiando-te no contradomínio da função exponencial $y = 2^x$.
3. c) Determina o valor final de $x$ e verifica que satisfaz a equação original substituindo-o na mesma.

Determina a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = a^x + q$ a partir da seguinte informação:

1. O seu gráfico aproxima-se indefinidamente da reta horizontal $y = -3$ quando os valores de $x$ são muito negativos, sem nunca chegar a tocá-la.

2. O gráfico passa pelo ponto $P(2, 13)$.

Depois de calculados os parâmetros $a$ e $q$, indica de forma fundamentada se a função é crescente ou decrescente observando o valor da base obtida e determina as coordenadas do seu ponto de interseção com o eixo das ordenadas ($Y$).

O gráfico a seguir corresponde a uma função exponencial da forma $f(x) = a^x + b$. Observa os seus elementos característicos, como a assíntota horizontal e os pontos pelos quais passa, e determina os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

A evolução de uma determinada praga de insetos segue um modelo exponencial da forma $N(t) = k \cdot a^t$, onde $N(t)$ é o número de insetos e $t$ é o tempo em semanas. Sabendo que no instante inicial ($t=0$) havia $5$ insetos e que após $2$ semanas havia $45$ insetos, calcule os valores das constantes $k$ e $a$. Em seguida, determine quantos insetos haverá após $4$ semanas.

Uma família deposita $2000$ € numa conta bancária que oferece juros compostos de $4 \%$ ao ano. Qual será o capital ao fim de $2$ anos se não retirar nenhum dinheiro da conta?

Um investidor deseja obter um capital final de $5000$ € daqui a $5$ anos. Se o seu banco lhe oferece uma aplicação com juros compostos de $3 \%$ ao ano, qual é o capital inicial que deve investir hoje para alcançar o seu objetivo? (Arredonde o resultado aos cêntimos).

Dois irmãos recebem uma herança de $10000$ € cada um. O primeiro decide investir o seu dinheiro a juros simples de $5 \%$ ao ano, enquanto o segundo o investe a juros compostos de $4 \%$ ao ano. Escreva as funções que descrevem o capital de cada irmão ao longo do tempo. Quem terá mais dinheiro ao fim de $10$ anos? E ao fim de $20$ anos?

Um banco oferece um produto de investimento com juros nominais anuais de $6 \%$.

• a) Escreva a função que modela o capital final se forem investidos $3000$ € e os juros forem creditados anualmente (juros compostos anuais).

• b) Escreva a função se os juros forem creditados mensalmente (juros compostos mensais).

• c) Calcule a diferença exata de capital obtido entre ambas as modalidades ao fim de $5$ anos.

O número de seguidores de uma conta que acabou de se tornar viral triplica a cada dia. Se inicialmente tem $100$ seguidores, escreva a função que relaciona o número de seguidores com o tempo decorrido em dias, e calcule quantos seguidores haverá ao fim de $3$ dias.

O preço de um telemóvel de gama alta acabado de lançar no mercado é de $800$ €. Devido à obsolescência tecnológica, o seu valor desvaloriza $20 \%$ a cada ano. Escreva a função que modela o preço do telemóvel em função dos anos decorridos e calcule qual será o seu valor ao fim de $4$ anos.

De acordo com dados demográficos inspirados nos censos do Instituto Nacional de Estatística (INE), um município do interior contava com $1200$ habitantes no início de 2015. Devido ao envelhecimento e à emigração, a sua população decresce a um ritmo constante de $5\,\%$ a cada ano.

1. a) Escreve a fórmula da função $P(t)$ que expressa o número de habitantes em função do tempo $t$ decorrido em anos desde 2015. Justifica se a função é crescente ou decrescente analisando o valor da sua base.
2. b) Calcula a população projetada para este município no início do ano 2023, arredondando ao número inteiro de pessoas mais próximo.
3. c) Um porta-voz municipal afirma na imprensa: «Ao perder $5\,\%$ a cada ano, em 20 anos teremos perdido $100\,\%$ da população e a vila ficará com $0$ habitantes». Justifica matematicamente por que razão este raciocínio linear é errado e calcula que percentagem da população inicial de 2015 restará realmente ao fim desses 20 anos.

Uma amostra de um isótopo radioativo tem uma massa inicial de $200$ gramas. Sabe-se que sua massa se reduz à metade a cada $10$ anos. Escreva a expressão analítica da função que dá a massa restante em função do tempo (em anos) e calcule quantos gramas restarão exatamente ao fim de $30$ anos.

Num hospital é administrada a um doente uma dose de $80\text{ mg}$ de um fármaco. A massa $M(t)$ do medicamento que permanece no seu organismo (em miligramas) após $t$ horas é descrita pela função exponencial $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Sem calcular o valor exato com a fórmula, estima de forma fundamentada entre que duas dezenas consecutivas de miligramas estará a quantidade de medicamento decorridas 10 horas (sugestão: calcula mentalmente a quantidade exata que resta às 8 e às 12 horas).
2. b) Calcula agora o valor numérico exato de $M(10)$ arredondando às centésimas e verifica se a tua estimativa da alínea anterior estava correta.
3. c) Com base nas propriedades da função exponencial (a sua assíntota horizontal e o seu contradomínio), fundamenta se chegará algum momento em que o organismo do doente fique matematicamente com exatamente $0\text{ mg}$ do fármaco segundo este modelo.

A farmacocinética estuda como um medicamento é eliminado do corpo humano. A um doente é administrada uma dose inicial de $50$ mg de um fármaco. A quantidade no sangue diminui exponencialmente de modo que, a cada $6$ horas, a quantidade é reduzida a metade.

• a) Escreva a função $C(t)$ que expressa os miligramas de fármaco no sangue em função do tempo $t$ medido em horas.

• b) Que quantidade de fármaco restará no sangue do doente ao fim de um dia completo ($24$ horas)?

Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de uma chávena de chá numa sala é modelada por meio da função $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, onde $T(t)$ é a temperatura em graus Celsius e $t$ é o tempo em minutos decorrido desde que foi servido.

• a) Qual era a temperatura inicial do chá?

• b) Qual é a temperatura ambiente da sala? (Raciocina sobre o que acontece quando o tempo $t$ se torna muito grande).

• c) Equaciona o problema para calcular em que minuto a temperatura do chá será exatamente de $55$ ºC e resolve-o.

A população de uma cidade A é atualmente de $100000$ habitantes e cresce a um ritmo constante de $4 \%$ ao ano. A população de uma cidade B é de $150000$ habitantes e decresce a um ritmo de $2 \%$ ao ano. Escreva as funções populacionais de ambas as cidades. Verifique, usando a calculadora por tentativas (ou aplicando logaritmos), em que ano exato a cidade A superará a cidade B em população.

Num laboratório de microbiologia analisa-se o crescimento simultâneo de duas colónias bacterianas distintas, Cepa A e Cepa B, em condições controladas de cultura:

• A Cepa A conta inicialmente com 150 bactérias e a sua população duplica a cada 3 horas, seguindo o modelo $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ medido em horas).

• A Cepa B parte de uma população maior, com 1200 bactérias, mas reproduz-se mais lentamente, duplicando a cada 6 horas: $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Escreve cada função na forma $N(t) = N_0 \cdot b^t$ determinando a base horária $b$ de cada uma. A partir do valor das referidas bases, justifica qual das duas cepas cresce a maior ritmo percentual por hora.
2. b) Embora a Cepa B parta com 8 vezes mais bactérias do que a Cepa A, será que a Cepa A chegará a alcançá-la? Formula a equação $N_A(t) = N_B(t)$ e resolve-a aplicando exclusivamente propriedades das potências para averiguar em que hora exata terão idêntico número de bactérias.
3. c) Calcula o número de bactérias de cada cepa decorridas 24 horas e determina a diferença entre ambas. Interpreta se o resultado obtido concorda com o que foi fundamentado nas alíneas anteriores.