Lugares geométricos no espaço

Dados os pontos $A(2, -1, 3)$ e $B(4, 3, -1)$:

1. a) Formule a condição $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para um ponto genérico $X(x, y, z)$.
2. b) Simplifique a equação resultante até obter a equação do plano mediador do segmento $AB$.
3. c) Verifique que o ponto médio de $AB$ pertence a esse plano.

O plano mediador de um segmento $AB$ é $\pi: x - 2y + z - 3 = 0$. Um dos extremos do segmento é o ponto $A(0, 3, 3)$. Pretende-se reconstruir a posição do outro extremo $B$ resolvendo o problema de forma inversa:

1. a) Justifica, a partir da definição geométrica de plano mediador, qual deve ser um vetor diretor da reta que une $A$ e $B$, e que posição relativa essa reta tem com o plano $\pi$.
2. b) Escreve as equações paramétricas da reta perpendicular a $\pi$ que passa pelo ponto $A$.
3. c) Calcula as coordenadas do ponto $M$ no qual essa reta interseta o plano $\pi$. Que significado geométrico tem $M$ relativamente ao segmento $AB$?
4. d) Determina fundamentadamente as coordenadas do extremo $B$ e verifica que se cumpre $\text{dist}(A, M) = \text{dist}(B, M)$.

Duas boias de sonar estão instaladas no fundo de um porto, nos pontos $A(0, 0, 0)$ e $B(6, 2, 4)$ (coordenadas em hectómetros). Um submarino recebe o sinal de ambas com a mesma intensidade, o que significa que equidista das duas boias, como sugere a figura.

1. a) Formule a condição $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para um ponto genérico $X(x, y, z)$ e demonstre que o lugar geométrico das posições do submarino é um plano, encontrando a sua equação.
2. b) Um submarino encontra-se no ponto $P(4, 2, 1)$. Recebe os dois sinais com a mesma intensidade? De que boia está mais perto?
3. c) Interprete o plano obtido como «fronteira de cobertura» entre as duas boias.

Consideram-se os pontos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Pretende-se determinar a reta $r$ formada por todos os pontos do espaço que equidistam simultaneamente de $A$, $B$ e $C$. Dois alunos propõem duas estratégias distintas:

• Estratégia A (analítica): Formular as igualdades de distâncias $\text{dist}(X, A)^2 = \text{dist}(X, B)^2$ e $\text{dist}(X, B)^2 = \text{dist}(X, C)^2$ para obter dois planos mediadores e determinar a reta como a sua interseção.

• Estratégia B (sintético-vetorial): Determinar o plano $\pi$ que contém $A$, $B$ e $C$, deduzir o vetor diretor de $r$ a partir da perpendicularidade com $\pi$, e determinar o circuncentro do triângulo $ABC$ como ponto de passagem aproveitando a simetria do problema.

1. a) Aplica a Estratégia A: desenvolve algebricamente as duas equações de distância, escreve as equações gerais de ambos os planos mediadores e obtém as equações contínuas ou paramétricas da reta $r$.
2. b) Aplica a Estratégia B: determina a equação do plano $\pi$ que passa por $A$, $B$ e $C$, deduz fundamentadamente as coordenadas do seu circuncentro $G$ e escreve diretamente a reta $r$ utilizando um ponto e o seu vetor diretor.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual resulta mais económico em cálculos para este caso simétrico? Em que circunstâncias (por exemplo, se os pontos não apresentassem simetrias evidentes) recomendarias usar a Estratégia A em vez da B?

Três sensores sísmicos estão posicionados nos pontos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ e $C(0, 2, 0)$. Pretende-se instalar uma antena que equidiste dos três.

1. a) Encontre o plano mediador do segmento $AB$.
2. b) Encontre o plano mediador do segmento $AC$.
3. c) Deduza que o lugar geométrico dos pontos que equidistam de $A$, $B$ e $C$ é uma reta, e dê as suas equações paramétricas. Como é essa reta em relação ao plano que contém os três sensores?

O lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam simultaneamente de três pontos $A$, $B$ e $C$ é a reta:

Sabe-se que os três pontos pertencem ao plano coordenado horizontal $\pi: z = 0$. Além disso, o ponto $A$ é a origem das coordenadas, $A(0, 0, 0)$, e o ponto $B$ encontra-se no semieixo positivo das abcissas, $B(b, 0, 0)$ com $b > 0$.

1. a) Explica a relação geométrica que existe entre a reta $r$, o plano $\pi$ que contém os pontos e o circuncentro do triângulo $ABC$. A partir dessa propriedade, deduz, sem calcular previamente os planos mediadores, as coordenadas do circuncentro $K$ do triângulo.
2. b) Dado que a reta $r$ é a interseção dos planos mediadores do triângulo, deduz fundamentadamente a equação do plano mediador do segmento $AB$ e determina o valor exato da coordenada $b$ do ponto $B$.
3. c) O terceiro vértice $C(x_0, y_0, 0)$ também se encontra no plano $z = 0$. Demonstra que a posição de $C$ não é única: deduz a equação do lugar geométrico no plano $z = 0$ sobre o qual se deve situar $C$ para que o enunciado se cumpra, e indica que pontos concretos desse lugar devem ser obrigatoriamente excluídos para que exista o triângulo $ABC$.
4. d) Escolhe coordenadas inteiras para $C$ com $y_0 \neq 0$ que pertençam ao lugar obtido na alínea anterior. Para um ponto genérico da reta, $P(1, 2, \lambda)$ com $\lambda \in \mathbb{R}$, verifica algebricamente que se cumpre com total exatidão a igualdade $\text{dist}(P, A) = \text{dist}(P, B) = \text{dist}(P, C)$.

1. a) Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço que distam $5$ unidades do ponto $C(1, -2, 0)$.
2. b) Que superfície é? Indique o seu centro e o seu raio.
3. c) Decida, sem desenhar, se o ponto $P(4, 2, 0)$ pertence a essa superfície.

Dados os pontos $A(1, 0, 2)$ e $B(3, 4, -2)$, procura-se o lugar geométrico dos pontos $X$ do espaço tais que o triângulo $ABX$ é retângulo em $X$, ou seja, os segmentos $AX$ e $BX$ são perpendiculares, como se ilustra na figura.

1. a) Expresse a condição de perpendicularidade por meio do produto escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Desenvolva a condição até obter uma equação em $x$, $y$, $z$ e reescreva-a completando quadrados.
3. c) Identifique a superfície obtida: que relação têm o seu centro e o seu raio com o segmento $AB$? (É a versão espacial do teorema de Tales.)

Um aluno, Marcos, deve resolver o seguinte exercício: «Determina o lugar geométrico dos pontos $X(x, y, z)$ do espaço que equidistam dos planos $\pi_1: 2x - y + 2z - 3 = 0$ e $\pi_2: 3x + 4z - 5 = 0$». O Marcos escreve no seu exame:

«Formulo a condição métrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$, pelo que igualo diretamente os valores absolutos: $|2x - y + 2z - 3| = |3x + 4z - 5|$. Suprimindo as barras de valor absoluto obtenho $2x - y + 2z - 3 = 3x + 4z - 5$, de onde se deduz $-x - y - 2z + 2 = 0$. Portanto, o lugar geométrico procurado é o plano $x + y + 2z - 2 = 0$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente os dois erros concetuais graves cometidos por Marcos no seu raciocínio.
2. b) Corrige o exercício desenvolvendo adequadamente a igualdade métrica até obteres as equações gerais dos dois planos bissetores, $\sigma_1$ e $\sigma_2$, que formam a solução completa.
3. c) Demonstra analiticamente, através do produto escalar dos seus vetores normais, que os dois planos bissetores obtidos são perpendiculares entre si, tal como prevê a teoria geométrica.

Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam dos planos $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ e $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Formule a condição $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ usando a fórmula da distância de um ponto a um plano.
2. b) Resolva a equação com módulo distinguindo os dois casos possíveis e dê as equações dos planos resultantes (planos bissetores).
3. c) Verifique que os dois planos obtidos são perpendiculares entre si.

Consideram-se os planos $\pi_1: x + z = 0$ e $\pi_2: y + z = 0$, os quais determinam quatro ângulos diedros no espaço.

1. a) Estima antes de calcular:

1. Observa que as equações de $\pi_1$ e $\pi_2$ são formalmente simétricas ao trocar as variáveis $x$ e $y$. Baseando-te exclusivamente nesta simetria geométrica, estima fundamentadamente a equação implícita de um dos planos bissetores sem desenvolver a fórmula de distâncias.

2. De acordo com as propriedades dos planos bissetores de dois planos secantes, que ângulo devem formar entre si os dois bissetores resultantes?

1. b) Calcula:

1. Formula de forma rigorosa a condição métrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$ para um ponto genérico $X(x, y, z)$ e deduz as equações gerais de ambos os planos bissetores, $\sigma_1$ e $\sigma_2$.

2. Verifica se o plano que estimaste na alínea anterior coincide com algum dos calculados.

3. Verifica através do produto escalar dos respetivos vetores normais que $\sigma_1$ e $\sigma_2$ são estritamente perpendiculares.

1. c) Verifica e avalia:

Considera a reta $r$ na qual se intersetam os dois planos originais $\pi_1$ e $\pi_2$.

1. Justifica se essa reta de interseção $r$ deve estar geometricamente contida em ambos os planos bissetores simultaneamente.

2. Determina as equações da reta $r$ e verifica algebricamente se todos os seus pontos satisfazem as equações de $\sigma_1$ e $\sigma_2$. Avalia a coerência do resultado com a estrutura espacial dos ângulos diedros.

1. a) Justifique que a distância de um ponto genérico $X(x, y, z)$ ao eixo $OZ$ é $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos que distam $3$ unidades do eixo $OZ$ e identifique a superfície obtida.
3. c) Que figura forma a interseção dessa superfície com o plano $z = 2$? E com o plano $y = 0$?

Numa zona florestal da serra da Estrela instala-se uma torre de vigia vertical que coincide com o eixo $OZ$, onde o solo plano é modelado através do plano coordenado $z = 0$ (as coordenadas são expressas em hectómetros, de modo que $1\text{ unidade} = 100\text{ m}$).

Por motivos de segurança, a regulamentação estabelece um perímetro de exclusão cilíndrico de raio $R = 2\text{ hm}$ ($200\text{ m}$) em redor da torre. Por outro lado, na superfície do solo localizam-se dois sensores sísmicos nos pontos $A(3, 1, 0)$ e $B(1, 3, 0)$.

1. a) Modela analiticamente o lugar geométrico que define a superfície cilíndrica limite da zona de exclusão em redor do eixo $OZ$.
2. b) Um drone de inspeção segue uma trajetória retilínea parametrizada por $X(t) = (2 - t, \, t, \, 1)$, com $t \in \mathbb{R}$. Formula a condição de distância ao eixo $OZ$ para verificar se o drone invade a zona de exclusão. Em caso afirmativo, calcula os instantes $t$ e os pontos espaciais de entrada e de saída.
3. c) Um segundo drone de vigilância deve deslocar-se mantendo-se sempre à mesma distância do sensor $A$ e do sensor $B$. Determina a equação geral do plano pelo qual é obrigado a voar. Esse plano contém a torre de vigia (eixo $OZ$)? Justifica a resposta interpretando geometricamente o resultado.

Indique se as seguintes afirmações sobre lugares geométricos no espaço são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta:

1. a) «O lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois planos paralelos distintos é um único plano, paralelo a ambos e situado à mesma distância de cada um.»
2. b) «O lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois planos secantes é um único plano.»
3. c) «O lugar geométrico dos pontos que equidistam dos três eixos de coordenadas é uma única reta.»

Desafio do tema. Desenha a instalação ótima de um foco de luz e de um painel refletor no teu quarto através da geometria métrica 3D.

1. Registo de medidas reais: Estabelece um sistema de referência fixando a origem $(0,0,0)$ num canto do chão. Mede em metros (com precisão de centímetros, usando vírgula decimal) as dimensões da tua divisão e situa as coordenadas do foco $F$, de dois cantos da tua secretária e do plano $\pi$ que conterá o painel refletor.

2. Resolução analítica e GeoGebra 3D: Modela o espaço no GeoGebra e calcula:

3. O ângulo entre o feixe de luz (reta $r$) e o painel $\pi$.

4. A projeção ortogonal do foco sobre o plano da secretária e o seu ponto simétrico em relação à parede principal.

5. A distância mínima entre duas calhas de cabos que se cruzam através da perpendicular comum.

6. A equação do lugar geométrico dos pontos do chão que equidistam de um ponto de referência da mesa e de outro da porta (reta interseção do plano mediador com o chão).

7. Relatório técnico final: Entrega uma proposta fundamentada (1-2 páginas) com a vista 3D do GeoGebra, a discussão de paralelismo/perpendicularidade aplicada e os desenvolvimentos analíticos completos.

Avaliar-se-á:

• Precisão na recolha de dados reais e coerência do modelo no GeoGebra.

• Correção algébrica no cálculo de ângulos, distâncias, simetrias e lugares geométricos.

• Justificação geométrica das decisões de desenho no relatório.