Funções quadráticas e parábolas

Determine, substituindo na equação, se o ponto $(-1, 4)$ e o ponto $(2, 1)$ pertencem ao gráfico da parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

A função $d(t) = 5t^2$ descreve a distância, em centímetros, que uma berlinde percorre ao cair por uma calha inclinada em função do tempo $t$, em segundos. Que distância terá percorrido aos $4$ segundos? Quanto tempo demorará a percorrer exatamente $125$ cm?

Observe as três parábolas representadas na figura a seguir. Associe cada uma das expressões analíticas ao seu gráfico correspondente (A, B ou C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Dada a função quadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determine as coordenadas exatas do seu vértice e a equação do seu eixo de simetria.

O Marcos tem de encontrar o eixo de simetria e o contradomínio da parábola $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. No seu exame escreve o seguinte:

«Como $a = -1$ e $b = 6$, a coordenada $x$ do vértice é $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Portanto, o eixo de simetria é a reta horizontal $y = 3$. Em seguida, calculo a ordenada do vértice: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, de modo que o vértice é $V(3, 4)$. Como $a < 0$, os ramos apontam para baixo e a parábola tem um máximo, pelo que o seu contradomínio é $[4, +\infty)$».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu na sua resposta.
2. b) Explica fundamentadamente por que motivo são incorretos, recorrendo à relação entre o eixo de simetria e as retas verticais, e ao significado gráfico de contradomínio quando os ramos apontam para baixo.
3. c) Escreve a solução corrigida: a equação correta do eixo de simetria e o intervalo que define o contradomínio de $f(x)$.

Durante um treino, uma jogadora de voleibol lança a bola para cima. A altura $h$ (em metros) atingida pela bola em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Qual é a altura máxima que a bola atinge e em que instante exato isso ocorre?

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (tanto com o eixo das abcissas como com o eixo das ordenadas) da parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Indique para onde se abrem os ramos da parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando a sua resposta, e verifique se o vértice desta função corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto. Calcule as suas coordenadas.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre a parábola $y = x^2 - 4x + 3$ e a reta $y = -x + 3$.

Para representar a parábola $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, dois colegas de turma debatem sobre qual é a estratégia mais rápida e segura para determinar o seu vértice e os seus pontos de interseção com os eixos:

• O Sérgio propõe pôr em evidência o coeficiente principal para escrever $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, fatorizar o polinómio de dentro dos parênteses procurando dois números inteiros de produto $5$ e soma $-6$, e obter o vértice aproveitando o facto de o eixo de simetria ser equidistante de ambas as raízes reais.

• A Inês defende que é mais direto transformar a função na sua forma canónica $g(x) = a(x-h)^2 + k$ completando o quadrado a partir de $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Desenvolve por completo ambos os procedimentos passo a passo até encontrares as coordenadas do vértice $V(h, k)$ e confirma que ambos conduzem à mesma solução.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica qual se revela mais vantajoso neste caso concreto. Em que situação o método proposto pelo Sérgio resultaria inviável ou extremamente trabalhoso em comparação com o método da Inês ou com a fórmula resolvente $x_v = \frac{-b}{2a}$? Apoia o teu raciocínio no papel do discriminante $\Delta$.

Expresse a função $y = (x + 3)^2 - 2$ como o resultado da aplicação de uma translação à parábola elementar $y = x^2$. Indique claramente o sentido e o número de unidades deslocadas tanto no eixo horizontal como no vertical.

Sabendo que o gráfico da função quadrática $f(x) = ax^2 + c$ passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 11)$, escreva um sistema de equações e calcule os valores dos parâmetros $a$ e $c$.

Determine a expressão algébrica desenvolvida de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu vértice é o ponto $V(2, -1)$ e que passa pelo ponto $P(4, 3)$.

Observe o gráfico da parábola. Determine as coordenadas do seu vértice e utilize um ponto adicional do gráfico para deduzir a sua expressão algébrica na forma $y = a(x-h)^2 + k$. Por fim, desenvolva-a para a forma $y = ax^2 + bx + c$.

Calcule os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função quadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, -5)$, $(1, -6)$ e $(-1, -2)$.

Encontra a expressão analítica da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que interseta o eixo das abcissas nos pontos $x = -1$ e $x = 5$, e que o valor máximo que a função atinge é $18$.

A associação de pais da escola vende rifas para financiar a viagem de finalistas. Se cada rifa é vendida por $x$ euros, a receita estimada (em dezenas de euros) é dada pela função quadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. A que preço devem vender as rifas para maximizar a receita? A quanto ascende essa receita máxima?

Dispomos de $40$ metros de corda para delimitar uma área retangular de jogos num acampamento. Se chamarmos $x$ ao comprimento da base do retângulo, escreve a função que determina a área do recinto em função de $x$. Quais devem ser as dimensões do retângulo para que a área delimitada seja a máxima possível?

Um arco de uma ponte de pedra tem a forma de uma parábola. A base do arco (ao nível da água) mede $12$ metros de largura e a altura máxima no centro é de $6$ metros. Se situarmos a origem dos eixos de coordenadas no centro da base do arco, determine a equação da parábola que descreve o seu perfil.

O desenho do arco parabólico de uma fonte ornamental segue a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$. O jato de água parte do nível do solo no ponto $(0, 0)$ e volta a tocar no solo exatamente a $6\text{ metros}$ de distância horizontal, no ponto $(6, 0)$. Além disso, mede-se que a altura máxima atingida pelo jato é de $4,5\text{ metros}$.

1. a) Sem calcular previamente os coeficientes algébricos, deduz de forma fundamentada a equação da reta vertical que atua como eixo de simetria e as coordenadas exatas do seu vértice $V(h, k)$.
2. b) Utiliza a forma canónica $f(x) = a(x-h)^2 + k$ ou a forma fatorizada $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ para determinar o valor numérico do parâmetro $a$.
3. c) Escreve a equação desenvolvida $f(x) = ax^2 + bx + c$ e confirma que se verificam tanto os pontos de apoio no solo como a altura máxima atingida.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) modela a temperatura ambiente $T(t)$, em graus Celsius ($^\circ\text{C}$), durante as horas centrais de um dia de verão em Évora em função da hora do dia $t$ (com $t \in [8, 24]$, onde $t=8$ corresponde às 8:00 h e $t=24$ às 24:00 h) através da função quadrática:

1. a) Determina fundamentadamente a que hora do dia se regista a temperatura máxima e qual é esse valor extremo.
2. b) Formula e resolve a inequação necessária para calcular em que intervalo horário a temperatura foi igual ou superior a $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Justifica analiticamente através do cálculo do discriminante $\Delta$ da equação $T(t) = 48$ se o modelo prevê que se atinjam ou ultrapassem os $48\ ^\circ\text{C}$ em algum momento do dia.

Um agricultor quer construir um cercado retangular para as suas galinhas aproveitando um longo muro de pedra já existente, de modo que só precisa de vedar três dos quatro lados do retângulo. Dispõe de $100$ metros de rede metálica. Determine as dimensões do cercado para que a sua área seja a maior possível e calcule essa área máxima.

O clube de robótica da escola vende kits de sensores para financiar os seus materiais. Tem custos fixos mensais de $2000$ euros e montar cada kit custa $15$ euros adicionais. A receita mensal obtida pela venda de $x$ kits é dada pela função $I(x) = -0,1x^2 + 65x$. Escreva a função que representa o lucro mensal $B(x)$. Quantos kits devem montar e vender para obter o lucro máximo?

Um jogador de basquetebol lança à cesta a partir de uma altura de $2$ metros. A bola segue uma trajetória parabólica, atingindo a sua altura máxima de $4$ metros a uma distância horizontal de $2$ metros do ponto de lançamento. Sabendo que a cesta se encontra a $3$ metros de altura e a uma distância horizontal de $4,5$ metros, deduza a equação da trajetória e demonstre analiticamente se a bola entrará ou não na cesta.

A empresa municipal de transportes de uma cidade portuguesa analisa as suas tarifas com base em dados de mobilidade urbana. Com o preço atual do bilhete a $1,20\text{ €}$, viaja uma média de $6000$ pessoas por dia. Um estudo técnico estima que por cada aumento de $0,10\text{ €}$ na tarifa se perderão $250$ passageiros por dia (e vice-versa se diminuir). A função da receita diária expressa-se como $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$, onde $x$ é o número de aumentos de $0,10\text{ €}$.

1. a) Estima antes de calcular: Se se decidir duplicar o preço do bilhete (passando a custar $2,40\text{ €}$, o que corresponde a $x = 12$), esperas que a receita diária seja superior, inferior ou igual aos $7200\text{ €}$ iniciais? Justifica qualitativamente a tua previsão ponderando o aumento de preço em relação à perda de utilizadores.
2. b) Calcula: Desenvolve a expressão algébrica de $I(x)$ na forma padrão $I(x) = ax^2 + bx + c$, determina as coordenadas do seu vértice e deduz o número de aumentos $x$ que maximiza a receita, o preço ótimo resultante do bilhete e a receita diária máxima.
3. c) Verifica e reflete: Calcula o valor exato de $I(12)$ para verificar quantitativamente a tua estimativa da alínea a) e interpreta o resultado a partir do eixo de simetria da parábola. Por último, reflete criticamente: da perspetiva do serviço público e da sustentabilidade urbana, por que razão nem sempre é aconselhável fixar a tarifa no vértice ótimo da parábola se este implicar um aumento de preço?

Desenhe um esboço do gráfico da função $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para isso, determine primeiro o vértice e os pontos de interseção da parábola interior (sem o valor absoluto) com os eixos, e explique analiticamente como o valor absoluto afeta a representação final.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dadas as parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, encontre analiticamente os pontos exatos onde se intersetam. Calcule depois a distância em linha reta entre os vértices de ambas as parábolas.

Considere a família de parábolas dadas pela equação $y = x^2 - kx + 9$. Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais a parábola é tangente ao eixo das abscissas (ou seja, tem um único ponto de interseção com o eixo X).

Dada a seguinte função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que a função seja contínua no ponto de transição $x = 3$ e, além disso, a semirreta passe pelo ponto $(5, -1)$.

Considera-se a família de funções quadráticas dada por $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, onde $m$ é um parâmetro real com $m \neq 1$.

1. a) Determina fundamentadamente para que valores de $m$ o gráfico de $f_m(x)$ tem a concavidade voltada para cima (atingindo um mínimo absoluto) e, ao mesmo tempo, não interseta o eixo horizontal $X$ em nenhum ponto. Expressa o conjunto de soluções através de um intervalo.
2. b) Sabendo que uma das parábolas desta família tem como eixo de simetria a reta vertical $x = 2$, determina o valor concreto de $m$, escreve a equação desenvolvida dessa parábola e deduz o seu contradomínio exato justificando se a função é limitada superiormente ou inferiormente.
3. c) Demonstra algebricamente se existe algum valor de $m$ para o qual o vértice da parábola esteja situado exatamente sobre o eixo $X$. Em caso afirmativo, calcula as coordenadas completas desse vértice; em caso negativo, fundamenta por que motivo é impossível.