Norma e direção de um vetor. Aplicações

Calcule o módulo do vetor $\vec{v} = (3, -4)$.

Determine a distância exata entre os pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -3)$.

Considera o vetor $\vec{w} = (-8, 15)$.

1. a) Sem utilizares a calculadora nem resolveres a raiz quadrada, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros deve encontrar-se o valor de $|\vec{w}|$. Apoia-te para isso em duas propriedades geométricas do triângulo retângulo formado pelas suas componentes: a hipotenusa é sempre maior do que qualquer um dos catetos, mas menor do que a soma de ambos. Justifica ainda se esperas que o módulo esteja mais próximo do limite inferior ou do superior.
2. b) Calcula o valor exato de $|\vec{w}|$ aplicando a fórmula do módulo e verifica se confirma a estimativa que realizaste.

Calcule o perímetro exato do triângulo cujos vértices se encontram nas coordenadas $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ e $C(5, -1)$.

Obtenha um versor com a mesma direção e sentido do vetor $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determine o declive (que indica a direção) do vetor que une os pontos $P(1, -4)$ e $Q(3, 8)$.

Verifique analiticamente se os vetores $\vec{u} = (2, -5)$ e $\vec{v} = (-4, 10)$ têm a mesma direção. Em caso afirmativo, indique se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos.

Encontra as componentes de um vetor de módulo $7$ que tenha a direção do eixo das ordenadas e sentido negativo.

Um drone desloca-se em linha reta segundo o vetor $\vec{d} = (k, 6)$. Se a distância total percorrida é de $10$ metros, calcule os possíveis valores do parâmetro $k$.

Encontra as coordenadas de um vetor $\vec{v}$ sabendo que o seu módulo é $5\sqrt{2}$ e que tem a mesma direção e sentido que o vetor $\vec{u} = (-1, 1)$.

Uma embarcação encontra-se no ponto $A(2, -1)$ e desloca-se em linha reta uma distância de $13$ milhas náuticas. Se o vetor diretor da sua trajetória é proporcional a $\vec{d} = (5, 12)$ e move-se no mesmo sentido que $\vec{d}$, determine as coordenadas exatas do ponto de chegada.

Um arquiteto está a projetar um telhado inclinado. O perfil do telhado segue a direção do vetor $\vec{u} = (4, 3)$. Se, por restrições da estrutura, o comprimento total do perfil deve ser de $8,5$ metros, determina as componentes do vetor que representa este perfil.

Um robô explorador encontra-se inicialmente no ponto $A(-3, 2)$. É programado para avançar em linha reta na direção e sentido do vetor $\vec{u} = (2, -1)$ até atingir um ponto $B$, de forma que a distância $AB$ seja igual a $4\sqrt{5}$. Em seguida, roda e avança na direção e sentido do vetor $\vec{w} = (1, 2)$ uma distância de $3\sqrt{5}$ até parar no ponto $C$. Calcule as coordenadas exatas dos pontos $B$ e $C$.

Determine as coordenadas dos pontos situados sobre o eixo das abcissas que se encontram a uma distância exata de $5$ unidades do ponto $P(-2, 3)$.

Dado o ponto $A(2, -1)$, pretende-se determinar as coordenadas de um ponto $B$ que pertença ao eixo das abcissas (ou seja, cuja ordenada seja nula) de tal forma que a distância entre $A$ e $B$ seja exatamente $\sqrt{26}$ unidades.

1. a) Formula a equação do módulo do vetor $\vec{AB}$ em função da abcissa desconhecida de $B$ e encontra todas as soluções possíveis para esse ponto.
2. b) Para cada uma das posições de $B$ encontradas, calcula o vetor unitário que tem a mesma direção e sentido que $\vec{AB}$, e explica a relação de simetria geométrica que existe entre os vetores unitários obtidos.

Dados os pontos $A(1, 2)$ e $B(m, m-1)$, determine o valor ou valores reais de $m$ para que a distância entre $A$ e $B$ seja exatamente $5$ unidades.

Encontra analiticamente todos os vetores $\vec{v} = (x, y)$ de módulo $\sqrt{10}$ que satisfaçam a condição de que a soma das suas duas componentes seja exatamente $4$.

Num plano de coordenadas de um jogo eletrónico, a personagem principal encontra-se na posição $P(-4, 1)$. Deve recolher uma moeda situada num ponto $Q$ que pertence à reta que passa pelos pontos $R(0, 5)$ e $S(2, 7)$. Se a personagem se desloca exatamente $3\sqrt{2}$ unidades em linha reta para chegar a $Q$, encontra as possíveis coordenadas onde se encontra a moeda.

Pretende-se determinar as coordenadas de um ponto $P$ situado a uma distância de $15$ unidades do ponto $A(-1, 3)$, de modo que o vetor $\vec{AP}$ tenha a mesma direção e sentido que o vetor $\vec{v} = (-6, 8)$. Dois alunos da turma propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Escreve as coordenadas paramétricas dos pontos da reta que passa por $A$ com vetor diretor $\vec{v}$, $P(-1 - 6t,\, 3 + 8t)$, formula a equação da distância euclidiana $d(A, P) = 15$ e isola o parâmetro $t$.

• Método da Sara: Obtém o vetor unitário $\vec{u}$ na direção e sentido de $\vec{v}$, multiplica este vetor pela distância pretendida calculando $\vec{w} = 15\cdot\vec{u}$, e determina $P$ somando $\vec{w}$ à posição de $A$.

1. a) Aplica passo a passo ambos os métodos e verifica que se obtém exatamente o mesmo ponto $P$.
2. b) Compara criticamente ambos os procedimentos: justifica qual deles resulta mais direto e com menor custo algébrico. Explica também que modificação concreta deveria ser introduzida em cada um dos dois métodos se fosse pedido situar o ponto à mesma distância mas em sentido oposto.

Um jogador de xadrez move o seu peão da casa representada pelo ponto $(1, 2)$ até à casa $(1, 4)$ e, a seguir, move um cavalo de $(1, 4)$ até $(3, 5)$. Calcule o módulo do vetor deslocamento total da peça desde a sua posição inicial até à final.

Para calcular o módulo do vetor resultante do deslocamento total após duas etapas consecutivas descritas por $\vec{u} = (3, -4)$ e $\vec{v} = (-3, 0)$, a Maria escreve no seu teste:

1. a) Identifica e explica os dois erros cometidos pela Maria: um algébrico-geométrico relativo ao módulo da soma de vetores e outro conceptual sobre a diferença entre a distância total percorrida sobre a trajetória e o módulo do vetor deslocamento resultante.
2. b) Calcula corretamente as componentes do vetor resultante $\vec{u} + \vec{v}$ e o seu módulo exato. Interpreta geometricamente por que razão este resultado é estritamente menor do que o valor obtido pela Maria.

Sobre um corpo atuam duas forças coplanares representadas pelos vetores $\vec{F}_1 = (30, -40)$ N e $\vec{F}_2 = (-15, 20)$ N. Calcule o módulo da força resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ e determine um vetor unitário na direção dessa resultante.

Numa simulação de física, uma partícula parte da origem das coordenadas e move-se com um vetor velocidade constante $\vec{v} = (3, 4)$ m/s durante $2$ segundos. Imediatamente depois, altera a sua velocidade para $\vec{w} = (-1, 2)$ m/s e mantém este movimento durante mais $3$ segundos. Calcule a que distância da origem a partícula se encontra ao terminar o seu percurso.

Dois cabos puxam a parte superior de um poste. O primeiro cabo exerce uma força representada pelo vetor $\vec{T}_1 = (120, 160)$ N. O segundo cabo exerce uma força $\vec{T}_2$ de módulo $150$ N, que tem a mesma direção mas sentido oposto ao de $\vec{T}_1$. Determine as componentes exatas do vetor $\vec{T}_2$.

Uma embarcação de Salvamento Marítimo com base em Sagres (Vila do Bispo) parte em direção a uma zona de intervenção seguindo a direção e o sentido do vetor $\vec{d} = (12, 5)$ (coordenadas medidas em milhas náuticas). Por questões de protocolo e combustível, é-lhe ordenado que avance nessa direção exata até completar um percurso de $7,8$ milhas náuticas.

1. a) Modela o deslocamento da patrulheira determinando as componentes exatas de um vetor $\vec{r}$ que tenha módulo $7,8$ milhas náuticas e a mesma direção e sentido que $\vec{d}$.
2. b) Durante o trajeto, as correntes do Estreito provocam uma deriva descrita pelo vetor $\vec{c} = (-1,2;\, 1,0)$ milhas náuticas. Calcula o vetor de posição final real em relação à base de Sagres e determina a que distância em linha reta a embarcação se encontra do seu ponto de partida (arredonda o resultado a duas casas decimais).

Três forças coplanares mantêm um objeto em equilíbrio estático na origem das coordenadas (ou seja, a força resultante é o vetor nulo). Conhecem-se as componentes de duas delas: $\vec{F}_1 = (40, 30)$ N e $\vec{F}_2 = (-20, 50)$ N. Calcule as componentes da terceira força $\vec{F}_3$ e o seu módulo exato.

Um avião voa com uma velocidade em relação ao ar dada pelo vetor $\vec{v}_a = (250, 150)$ km/h. Nessa zona, o vento sopra com uma velocidade representada por $\vec{v}_v = (k, -50)$ km/h. Se sabemos que a velocidade real do avião em relação ao solo, calculada como $\vec{v}_r = \vec{v}_a + \vec{v}_v$, tem um módulo exato de $300$ km/h, determine os possíveis valores do parâmetro $k$.

Num ensaio estrutural de engenharia civil, uma rótula situada na origem suporta a ação coplanar de duas forças, $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$, cujos módulos conhecidos são $|\vec{F}_1| = 6\text{ N}$ e $|\vec{F}_2| = 8\text{ N}$.

1. a) Demonstra formalmente, a partir das propriedades geométricas dos vetores, que o módulo da força resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ não pode tomar um valor qualquer, mas deve cumprir necessariamente a desigualdade $2\text{ N} \le |\vec{R}| \le 14\text{ N}$. Descreve com precisão que orientação relativa devem ter $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ para que o módulo atinja cada um desses valores extremos.
2. b) Se a força $\vec{F}_1$ atua horizontalmente no sentido positivo, isto é, $\vec{F}_1 = (6, 0)\text{ N}$, e o sensor de carga regista que o módulo da resultante total é exatamente $|\vec{R}| = 10\text{ N}$, monta um sistema com as equações dos módulos de $\vec{F}_2$ e de $\vec{R}$ para calcular algebricamente as componentes de todas as possíveis forças $\vec{F}_2$ compatíveis com a medição. Obtém, para cada caso, o seu vetor unitário correspondente.

Considere um romboide $ABCD$ do qual se conhecem três dos seus vértices: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ e $D(2, 4)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$, obtenha o módulo das suas duas diagonais e justifique analiticamente se se trata ou não de um losango (ou seja, se tem todos os seus lados iguais).

Um sinal luminoso parte do ponto $A(0, 4)$ com um vetor diretor $\vec{d} = (2, -1)$. Ao chegar ao eixo das abcissas num ponto $P$, reflete-se alterando a sua direção e sentido segundo o novo vetor diretor $\vec{d}' = (2, 1)$. Se o sinal continua a sua trajetória até colidir com a reta vertical $x = 12$ num ponto $Q$, calcule a distância total percorrida pela luz desde $A$ até $Q$.