Combinações lineares de vetores. Bases

Calcule as coordenadas do vetor resultante da combinação linear $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabendo que $\vec{a} = (1, 4)$ e $\vec{b} = (-2, 5)$.

Sabendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, com $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ e $\vec{w} = (2, 7)$, determine o valor do escalar $k$.

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -3)$ e $\vec{v} = (-4, 6)$, justifique matematicamente se podem formar uma base do espaço vetorial $\mathbb{R}^2$.

Determine o valor do parâmetro $m$ para que os vetores $\vec{p} = (m, 4)$ e $\vec{q} = (3, -2)$ sejam linearmente dependentes.

Um aluno, Tomás, deve averiguar se os vetores $\vec{u} = (2, -1)$ e $\vec{v} = (-6, 3)$ formam uma base do plano $\mathbb{R}^2$. No seu exame escreve o seguinte:

«Calculamos o produto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Como o produto escalar não dá zero, os vetores não são perpendiculares e, portanto, não coincidem em direção; isto significa que são linearmente independentes e formam uma base de $\mathbb{R}^2$».

Identifica o erro conceptual que Tomás comete, explica com rigor por que razão a sua dedução é falsa e redige a justificação matemática correta para determinar se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ formam ou não uma base.

Expresse o vetor $\vec{c} = (5, -2)$ como combinação linear dos vetores da base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ e $\vec{j} = (0, 1)$.

Justifique se três vetores não nulos no plano, por exemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ e $\vec{w} = (3, 0)$, podem ser linearmente independentes simultaneamente.

Dado o paralelogramo $ABCD$ da figura, exprime os vetores correspondentes às diagonais $\vec{AC}$ e $\vec{BD}$ como combinação linear dos vetores dos lados $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AD}$.

Verifique se o conjunto de vetores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma uma base ortogonal do plano.

Verifique se os vetores $\vec{u} = (3, 0)$ e $\vec{v} = (0, -2)$ formam uma base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Determine um vetor $\vec{v}$ tal que o conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme uma base ortonormada, sabendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. A solução é única? Justifique a sua resposta.

Determine os valores de $a$ e $b$ para que os vetores $\vec{u} = (a, 3)$ e $\vec{v} = (-2, b)$ formem uma base ortogonal, sabendo também que o módulo do vetor $\vec{u}$ é exatamente $5$.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores não nulos tais que o ângulo por eles formado é de $60^\circ$, com $|\vec{u}| = 2$ e $|\vec{v}| = 3$. Se se definir o vetor $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcule a relação que deve existir entre os parâmetros $m$ e $n$ para que o vetor $\vec{w}$ seja perpendicular ao vetor $\vec{u}$.

O braço de um robô industrial move-se num plano definido por uma base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que é ortogonal, mas não ortonormada, onde $|\vec{e}_1| = 2$ e $|\vec{e}_2| = 4$. Um comando de trajetória indica-lhe que se desloque segundo o vetor $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcule o módulo exato do vetor deslocamento $\vec{v}$ e o cosseno do ângulo que forma com o vetor da base $\vec{e}_1$.

Considera os vetores $\vec{u} = (2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 2)$, que formam uma base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ de $\mathbb{R}^2$, e o vetor objetivo $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Sem resolver nenhum sistema de equações, estima fundamentadamente o sinal dos escalares $a$ e $b$ na combinação linear $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ e argumenta qual dos dois coeficientes deveria ter maior valor absoluto observando os quadrantes para os quais aponta cada vetor.
2. b) Formula o sistema de equações lineares, calcula com exatidão as coordenadas $(a, b)_B$ de $\vec{w}$ na referida base e verifica se o resultado numérico concorda com a tua estimativa prévia.

Um drone submarino desloca-se num ambiente com correntes marítimas. O seu sistema de navegação autónoma utiliza uma base formada pelos vetores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ e $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. O drone regista um deslocamento $\vec{w}$ cujas coordenadas nesta base são $(4, -1)_B$. Calcule as coordenadas do vetor $\vec{w}$ na base canónica.

Dois rebocadores puxam um navio avariado com forças $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N e $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Um terceiro rebocador junta-se aplicando uma força $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expresse a força $\vec{F}_3$ como combinação linear dos vetores $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$, encontrando as coordenadas de $\vec{F}_3$ na base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Demonstre analiticamente que, se $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ é uma base dos vetores do plano, então o conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ também forma uma base. Se um vetor $\vec{w}$ tem coordenadas $(3, 5)$ na base $B$, determine as suas coordenadas na nova base $B'$.

Dados os pontos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ e $C(x, y)$, determine as coordenadas do ponto $C$ sabendo que os vetores $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$ formam uma base do plano na qual o vetor $\vec{w} = (0, -6)$ tem por coordenadas $(2, -1)_B$.