Reta de regressão

Calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ para uma distribuição bidimensional da qual se conhecem os seguintes parâmetros estatísticos: a média de $X$ é $\bar{x} = 5$, a média de $Y$ é $\bar{y} = 12$, a variância de $X$ é $\sigma_x^2 = 4$ e a covariância é $\sigma_{xy} = 6$. Exprima o resultado na forma $y = mx + n$.

As médias de duas variáveis estatísticas são $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Verifique matematicamente se a reta $y = 1,5x + 10$ pode ser a reta de regressão válida para este conjunto de dados, justificando a sua resposta por meio de uma propriedade fundamental que todas as retas de regressão devem cumprir.

Uma empresa regista o gasto com publicidade $X$ (em milhares de euros) e as receitas de vendas $Y$ (em milhares de euros) durante $4$ meses consecutivos. Os pares de dados $(x_i, y_i)$ obtidos são: $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$ e $(5, 11)$. Calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

A equação da reta de regressão do peso ($Y$, em kg) em função da altura ($X$, em cm) de um grupo de alunos é $y = 0,8x - 60$. Estima qual será o peso aproximado de um aluno que mede $170$ cm.

Observe o seguinte diagrama de dispersão que mostra a relação entre as horas de estudo semanais ($X$) e a classificação obtida num exame ($Y$). A reta azul representa a reta de regressão de $Y$ sobre $X$. Estime graficamente qual a classificação aproximada que obteria um aluno que estuda $7$ horas.

O coeficiente de correlação linear entre o número de horas de treino semanal ($X$) e o tempo registado numa corrida de obstáculos ($Y$) é $r = -0,92$. A reta de regressão obtida é $y = -1,5x + 50$. Os dados da amostra correspondem a atletas que treinam entre $5$ e $15$ horas. Estime o tempo para um atleta que treina $10$ horas e justifique se essa previsão é considerada fiável.

Num estudo de mercado, a reta de regressão das vendas ($Y$) sobre o investimento em publicidade ($X$) é dada pela equação $y = 2,5x - 4$. Sabendo que o investimento médio das empresas analisadas é $\bar{x} = 6$, qual é o valor das vendas médias $\bar{y}$ da distribuição?

A reta de regressão da quantidade de gelados vendidos ($Y$) em função da temperatura máxima diária em $^\circ\text{C}$ ($X$) é $y = 15x - 120$. Se para amanhã estiver prevista uma temperatura de $30^\circ\text{C}$, estima quantos gelados serão vendidos. Além disso, se noutro dia foram vendidos $255$ gelados, explica se é teoricamente correto utilizar essa mesma reta para estimar a temperatura que fez ou se o procedimento rigoroso exigiria calcular outra reta distinta.

Estudou-se a relação entre a antiguidade de um modelo de carro ($X$, em anos) e o seu valor no mercado de segunda mão ($Y$, em milhares de euros). A reta de regressão obtida é $y = -1,2x + 18$. Se um carro tem $5$ anos, qual é o seu valor estimado? Além disso, interprete qual é o significado, neste contexto real, da ordenada na origem da reta.

Num estudo bidimensional, a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,2x + 15$. Sabendo que a covariância calculada para estes dados é $\sigma_{xy} = 3,5$, justifique brevemente se o declive da reta obtida é coerente com o sinal da covariância.

Analisou-se a relação entre duas variáveis e obteve-se como reta de regressão de $Y$ sobre $X$ a equação $y = -3x + 20$. É possível que o coeficiente de correlação linear desta distribuição seja $r = 0,85$? Justifique a sua resposta com base na relação entre o declive e a correlação.

Conhecem-se os seguintes parâmetros estatísticos de uma distribuição bidimensional: o coeficiente de correlação é $r = 0,8$, o desvio padrão de $X$ é $\sigma_x = 2$, o desvio padrão de $Y$ é $\sigma_y = 5$, e o centro de gravidade é o ponto $(12, 40)$. A partir destes dados, calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

Observe os dois diagramas de dispersão, A e B, que mostram a relação entre duas variáveis e incluem as suas respetivas retas de regressão. Em qual das duas distribuições será mais fiável realizar uma estimativa de $Y$ a partir de um valor de $X$ utilizando a reta de regressão? Justifique a sua resposta com base no conceito visual de correlação e dispersão.

Num ensaio de laboratório, mede-se o volume de um gás ($Y$) a diferentes temperaturas ($X$). A reta de regressão obtida após a análise dos dados é $y = 0,4x + 22$. Além disso, sabe-se que a variância das temperaturas registadas é $\sigma_x^2 = 25$ e a variância dos volumes é $\sigma_y^2 = 5$. A partir desta informação, calcule o coeficiente de correlação $r$ e interprete se o modelo linear é um bom ajuste para estes dados.

Numa turma, a reta de regressão da nota de Física ($Y$) sobre a nota de Matemática ($X$) é $y = 0,9x + 0,5$. Após rever os exames, o professor deteta um erro geral e decide somar $1$ ponto extra a todas as notas de Física. Qual será a nova equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$? Justifica a tua resposta.

Dada a tabela de dados formada pelos pontos $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ e $(4, 7)$, foi calculado que a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 1,6x + 0,5$. Calcule o resíduo (ou erro de estimativa) correspondente à observação $x = 3$.

A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ de uma experiência tem por equação $y = ax + b$. Se, por uma mudança de escala, definirmos uma nova variável $Z = 3X - 2$, determine qual será o declive da nova reta de regressão de $Y$ sobre $Z$. Exprima o resultado em função do parâmetro original $a$.

A partir dos dados do IPMA numa região montanhosa de Portugal, analisa-se a relação entre a altitude do concelho ($X$, em centenas de metros) e a sua temperatura média anual ($Y$, em $^{\circ}\text{C}$). Registam-se localidades situadas entre $400\text{ m}$ ($x = 4$) e $1800\text{ m}$ ($x = 18$). Os parâmetros obtidos são: $\bar{x} = 10$ ($1000\text{ m}$), $\bar{y} = 12^{\circ}\text{C}$, $\sigma_x^2 = 16$ e a covariância é $\sigma_{xy} = -10,4$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, fundamenta qual deve ser o sinal do declive e se esperas que numa povoação situada a $1200\text{ m}$ ($x = 12$) a temperatura média seja maior ou menor do que a média regional ($12^{\circ}\text{C}$).
2. b) Determina a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.
3. c) Estima através da reta a temperatura da povoação situada a $1200\text{ m}$ e verifica se a tua dedução qualitativa inicial estava correta.

Num estudo sobre o comprimento de uma mola elástica ($Y$, em cm) ao pendurar nela diferentes pesos ($X$, em kg), foram calculadas as duas retas de regressão. A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 2,5x + 10$ e a reta de regressão de $X$ sobre $Y$ é $x = 0,39y - 3,8$. Calcule as coordenadas exatas do centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ da distribuição.

Conhecem-se as equações das duas retas de regressão de uma distribuição bidimensional: $y = 0,5x + 2$ (reta de regressão de $Y$ sobre $X$) e $x = 1,28y - 1,56$ (reta de regressão de $X$ sobre $Y$). Calcule o coeficiente de correlação linear $r$, sabendo que a correlação entre as duas variáveis é positiva.

De acordo com o Inquérito de Gasto Turístico (EGATUR) elaborado pelo INE, analisa-se a relação entre a duração das férias ($X$, em dias) e o gasto total por pessoa ($Y$, em centenas de euros) numa amostra representativa de turistas internacionais em Espanha, com estadias compreendidas entre $3$ e $15$ dias. Os dados de síntese são:

$\bar{x} = 8\text{ dias}$, $\bar{y} = 11$ ($1100\text{ €}$),

$\sigma_x = 3\text{ dias}$, $\sigma_y = 4$ ($400\text{ €}$) e $\sigma_{xy} = 10,8$.

1. a) Calcula o coeficiente de correlação linear $r$ e interpreta se a dependência linear entre ambas as variáveis é fraca, moderada ou forte.
2. b) Determina a equação da reta de regressão do gasto ($Y$) sobre os dias ($X$).
3. c) Estima o gasto total de um turista cuja estadia prevista seja de $11$ dias e avalia a fiabilidade dessa estimativa.
4. d) Um operador turístico propõe utilizar esta mesma reta para calcular o gasto de um viajante que planeia residir durante $60$ dias. Utilizando os conceitos de interpolação e extrapolação, justifica por que razão não é adequado aplicar o modelo nesse caso.

Uma associação de comerciantes de uma cidade portuguesa quer prever as receitas anuais ($Y$, em milhares de euros) dos novos negócios em função da área útil do espaço comercial ($X$, em $\text{m}^2$). A amostra de estabelecimentos registados conta com áreas entre $50\text{ m}^2$ e $250\text{ m}^2$. Para estimar as receitas de um novo espaço de $140\text{ m}^2$, debatem-se três métodos:

• Método 1: Atribuir diretamente o valor da média amostral das receitas ($\bar{y}$) a qualquer espaço, independentemente da sua área.

• Método 2: Utilizar a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ avaliada em $x = 140$, sabendo que o coeficiente de correlação amostral é $r = 0,82$.

• Método 3: Aplicar uma regra de três simples proporcional tomando unicamente como referência o maior espaço da amostra ($250\text{ m}^2$ e $180$ mil euros de faturação).

1. a) Compara as vantagens e limitações de cada proposta e justifica qual é a mais sólida e rigorosa do ponto de vista estatístico.
2. b) Fundamenta que hipótese geométrica implícita é assumida pelo Método 3 relativamente à ordenada na origem e explica por que razão costuma falhar em economia.
3. c) Se o coeficiente de correlação da amostra tivesse sido $r = 0,08$, fundamenta se continuarias a recomendar o mesmo método escolhido na alínea a) ou se algum dos outros dois passaria a ser mais razoável.

O João analisa uma amostra de automóveis do mercado espanhol para estudar a relação entre a potência do motor ($X$, em CV) e o consumo médio de combustível ($Y$, em litros por cada $100\text{ km}$). Dispõe dos seguintes dados de síntese: $\bar{x} = 110\text{ CV}$, $\bar{y} = 5,8\text{ l/100 km}$, $\sigma_x^2 = 400$ e $\sigma_{xy} = 14$.

Para obter a reta de regressão de $Y$ sobre $X$, o João propõe:

A partir do seu resultado, afirma: «Por cada cavalo adicional de potência, o carro gasta cerca de $28,6$ litros a mais por cada $100\text{ km}$».

Identifica o erro conceptual na fórmula do João, explica por que razão a sua conclusão não tem qualquer sentido na prática e calcula a equação correta da reta interpretando de forma adequada o novo valor do declive.

Numa distribuição bidimensional formada por $N$ dados, o centro de gravidade é o ponto $(4, 6)$ e o declive da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $1,5$. Se for adicionado ao estudo um novo dado que coincide exatamente com o ponto $(4, 10)$, o valor do declive da reta de regressão mudará? Demonstre matematicamente a sua resposta analisando como as fórmulas da covariância e da variância se modificam.

Temos uma distribuição bidimensional com $100$ dados. A média de $X$ é $50$ e a média de $Y$ é $80$. A covariância é $120$ e a variância de $X$ é $60$. Após uma revisão de qualidade, descobre-se que um dos pares de dados, concretamente o ponto $(50, 80)$, foi registado incorretamente por uma falha do sensor e decide-se eliminá-lo do estudo. Calcule a nova equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ para os $99$ dados restantes e compare-a com a reta original.

Duas variáveis estatísticas $X$ e $Y$ foram padronizadas, o que significa que as suas médias são $\bar{x} = 0$ e $\bar{y} = 0$, e os seus desvios padrão são $\sigma_x = 1$ e $\sigma_y = 1$. Expresse a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ utilizando unicamente o coeficiente de correlação $r$. Que forma geométrica a reta adota se ambas as variáveis forem linearmente independentes?

Na análise de um conjunto de dados, observa-se que a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é completamente horizontal. Que valor numérico exato tem a covariância $\sigma_{xy}$ neste caso? Que conclusão estatística se pode retirar sobre a relação linear entre as variáveis $X$ e $Y$? Justifique a sua resposta utilizando a equação geral da reta de regressão.

Demonstre analiticamente que, se o coeficiente de correlação linear entre duas variáveis for perfeito ($r = 1$ ou $r = -1$), a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ e a equação da reta de regressão de $X$ sobre $Y$ coincidem e representam a mesma reta geométrica.

Uma equipa de analistas energéticos cruza registos da REN e do IPMA durante o verão para estudar o consumo diário de energia elétrica destinado a climatização ($Y$, em GWh) consoante a temperatura máxima do dia ($X$, em $^{\circ}\text{C}$). Estudam-se jornadas com temperaturas máximas entre $24^{\circ}\text{C}$ e $42^{\circ}\text{C}$, obtendo-se:

$\bar{x} = 32^{\circ}\text{C}$, $\sigma_x = 4^{\circ}\text{C}$, $\bar{y} = 90\text{ GWh}$, $\sigma_y = 10\text{ GWh}$ e $\sigma_{xy} = 32$.

1. a) Obtém a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ e interpreta de forma quantitativa o significado prático do seu declive.
2. b) Calcula o coeficiente de correlação linear $r$ e avalia a fiabilidade das previsões do modelo.
3. c) No mesmo relatório, um colaborador observa que o número diário de atendimentos médicos por desidratação ($Z$) tem uma correlação de $r = 0,86$ com o consumo elétrico ($Y$), e propõe desligar os sistemas de climatização para reduzir as urgências hospitalares. Explica a falácia lógica desta proposta diferenciando com precisão entre correlação e causalidade, e identifica a variável oculta que influencia ambas.

Desafio do tema. O uso dos ecrãs afeta o nosso descanso? Investiga-o analisando dados do teu meio com uma folha de cálculo ou GeoGebra.

1. Recolha de dados e tabela: Pergunta a $15$ pessoas do teu meio as suas horas diárias de telemóvel ($X$) e de sono ($Y$). Elabora a tabela de frequências bidimensional e obtém as distribuições marginais de ambas as variáveis.

2. Distribuições condicionadas: Calcula a distribuição condicionada das horas de sono para quem usa o ecrã mais de $4$ horas diárias e compara-a com a média global. Notam-se diferenças à primeira vista?

3. Covariância e regressão: Na ferramenta digital, encontra a covariância ($\sigma_{xy}$) e interpreta o seu sinal. Obtém a reta de regressão e estima de forma fundamentada quanto dormiria alguém com $5,5$ horas de ecrã.

4. Relatório final: Apresenta um breve relatório (uma página) com a nuvem de pontos, a reta ajustada e as tuas conclusões fundamentadas sobre a fiabilidade da previsão e o impacto do telemóvel no descanso.

Será valorizado:

• Organização rigorosa das tabelas de dupla entrada, distribuições marginais e condicionadas.

• Cálculo e interpretação matemática correta da covariância e da reta de regressão mediante software.

• Coerência, clareza e sentido crítico nas conclusões do relatório a partir dos dados obtidos.

Num estudo sociológico sobre hábitos de lazer juvenil, um derrame de tinta apagou os desvios-padrão e a covariância de duas variáveis numéricas, $X$ e $Y$. No entanto, nas conclusões impressas leem-se com total clareza os seguintes dados:

• A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 1,5x + 4$.

• A média da variável $X$ é $\bar{x} = 6$.

• O desvio-padrão de $X$ é $\sigma_x = 2$.

• O coeficiente de correlação linear é $r = 0,75$.

1. a) Deduz as coordenadas do centro de gravidade da distribuição, $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) A partir do declive da reta, descobre o valor da covariância $\sigma_{xy}$.
3. c) Reconstrói o valor do desvio-padrão da variável $Y$ ($\sigma_y$).
4. d) Se a todos os valores observados de $Y$ fossem somadas $2$ unidades fixas (mantendo os valores de $X$ inalterados), fundamenta se o declive da reta de regressão aumentaria, diminuiria ou permaneceria constante.