Produto misto

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcule o valor do produto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizando a definição baseada no determinante das suas componentes.

Um estudante de engenharia está a projetar uma peça por meio de um programa de CAD. A base da peça é definida pelos vetores $\vec{a} = (3, 0, 0)$ e $\vec{b} = (0, 5, 0)$, enquanto o terceiro vetor que define a profundidade é $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcule o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.

Considera os vetores $\vec{u} = (4, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 5, 0)$ e $\vec{w} = (18, -25, 3)$, que definem as três arestas concorrentes de um paralelepípedo.

1. a) Estima: Sem calcular determinantes nem realizar contas algébricas prévias, observa a base do paralelepípedo apoiada sobre o plano $xy$ (formada por $\vec{u}$ e $\vec{v}$) e a cota vertical marcada pela terceira componente de $\vec{w}$. Deduz qual deve ser o volume do corpo raciocinando a partir do princípio de Cavalieri e da fórmula básica $V = \text{área da base} \cdot \text{altura}$. As componentes $18$ e $-25$ afetam a altura do paralelepípedo sobre essa base?
2. b) Verifica: Calcula formalmente o volume através do valor absoluto do produto misto $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Compara o resultado com a tua estimativa e justifica por que razão a inclinação da aresta $\vec{w}$ não altera a capacidade interior do corpo.

Considera-se um armazém com forma de paralelepípedo onde três das suas arestas concorrentes num vértice são os vetores $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ e $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcule o volume total do armazém.
2. b) Se o armazém for dividido por um plano inclinado que passe pelas extremidades dos três vetores anteriores para criar um mezanino triangular (tetraedro com a origem), que fração do volume total do armazém esse mezanino ocuparia?

Verifique de forma justificada se os vetores $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ e $\vec{c} = (4, 2, 1)$ são complanares. Para isso, calcule o seu produto misto e justifique a sua resposta com base no resultado obtido.

Verifique se os pontos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ e $S(5, -2, 7)$ são coplanares utilizando o produto misto. Caso não sejam, calcule o volume do tetraedro que tem esses quatro pontos como vértices.

São dados quatro pontos no espaço: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ e $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determine a relação que $a$ e $k$ devem cumprir para que os quatro pontos sejam complanares.
2. b) Se fixarmos $k = 2$, quanto deve valer $a$ para que o volume do tetraedro $PQRS$ seja mínimo? Justifique a sua resposta com base na dependência linear dos vetores.

Dados três vetores linearmente independentes $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que o seu produto misto é $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcule de forma justificada, aplicando as propriedades dos determinantes, o valor do produto misto dos vetores $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Sejam $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores linearmente independentes do espaço tais que o seu produto misto é $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$. Constroem-se três novos vetores através de combinações lineares: $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$ e $\vec{c} = 3\vec{v} - 2\vec{w}$. Para calcular o produto misto $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Estratégia 1 (Base fictícia): Atribuir componentes numéricas convenientes aos vetores originais como se formassem um triedro ortogonal canónico modificado, por exemplo $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ e $\vec{w} = (0, 0, 5)$, calcular as coordenadas resultantes de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ e avaliar o seu determinante $3 \times 3$.

• Estratégia 2 (Álgebra de determinantes): Exprimir a matriz de mudança de base $M$ tal que $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \cdot M$ e utilizar as propriedades operatórias do determinante de um produto de matrizes: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det(M) \cdot [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.

1. a) Analisa com rigor a validade matemática da Estratégia 1: por que razão funciona numericamente no cálculo do produto misto, apesar de assumir injustificadamente que os vetores são perpendiculares? O que aconteceria se se usasse essa mesma base fictícia para calcular o módulo de $\vec{a}$ ou o ângulo entre $\vec{a}$ e $\vec{b}$?
2. b) Aplica a Estratégia 2 para determinar o valor exato de $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ deduzindo detalhadamente o determinante da matriz de coeficientes.
3. c) Justifica fundamentadamente qual das duas estratégias demonstra competência matemática formal no 12.º ano de escolaridade.

Demonstre vetorialmente, utilizando as propriedades do produto misto, que para três vetores quaisquer $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$, é válida a igualdade:

Interprete o resultado geometricamente comparando o volume de um paralelepípedo original com o formado pelas somas dos seus vetores diretores.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (2, 1, -1)$, determine um terceiro vetor $\vec{w}$ da forma $(0, 0, z)$ tal que o volume do paralelepípedo definido pelos três seja exatamente de 5 unidades cúbicas.

Um escritório de arquitetura projeta uma claraboia com forma de tetraedro cujos vértices são os pontos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ e $D(0, 0, z)$. Calcule o valor da cota $z$ sabendo que o volume da claraboia é de $5$ unidades cúbicas e que o vértice $D$ se encontra no semieixo negativo de $Z$.

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, os técnicos do serviço de meteorologia instalam uma cobertura tensionada de lona para proteger os instrumentos dos nevões. A estrutura tem a forma de um tetraedro irregular cujos quatro vértices se situam na fixação ao solo $O(0, 0, 0)$ e nos topos de três postes em $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ e $C(1, 1, 3)$ (medidas em metros).

1. a) Modela a estrutura através de vetores e calcula a capacidade de ar útil (volume interior) que fica protegida sob a tenda utilizando o produto misto.
2. b) Para evitar que a neve acumulada bloqueie os sensores, os técnicos decidem substituir o poste $C$ por outro vertical $C'(1, 1, z_0)$ alinhado sobre a mesma vertical, com o objetivo de aumentar o volume protegido exatamente em $50\,\%$ em relação ao desenho inicial. Determina a cota $z_0$ necessária e interpreta fisicamente se existe alguma solução válida que situe a fixação $C'$ a menor altura do que a original ($z_0 < 3$).

Considera-se o tetraedro de vértices $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ e $D(1, 1, k)$.

1. a) Determine os valores do parâmetro real $k$ para os quais o volume do tetraedro é de $2$ unidades cúbicas.
2. b) Para $k = 2$, determine a altura do tetraedro que parte do vértice $D$ sobre a face formada pelos vértices $A$, $B$ e $C$.