Covariância

Num estudo bidimensional sobre $25$ indivíduos, foram obtidas as médias $\bar{x} = 8$ e $\bar{y} = 15$. Sabendo que a soma dos produtos das variáveis é $\sum x_i y_i = 3200$, calcule a covariância $s_{xy}$.

O centro de gravidade de uma distribuição bidimensional é $(5, 9)$. Se a média aritmética dos produtos dos valores de ambas as variáveis é $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determine o valor da covariância.

Para um conjunto de $40$ dados bidimensionais, sabe-se que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ e a covariância é $s_{xy} = -8,5$. Determine o valor da soma dos produtos $\sum x_i y_i$.

Dada a seguinte tabela com três pares de valores correspondentes às variáveis $X$ e $Y$:

Calcule o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ e a covariância da distribuição.

De uma variável estatística bidimensional $(X,Y)$ composta por $8$ observações, conhecem-se os seguintes dados:

$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$ e $\sum x_i y_i = 280$.

Calcule o centro de gravidade e a covariância.

Numa distribuição bidimensional de $3$ pares de valores, conhecem-se dois deles: $(1, 2)$ e $(4, 6)$. O terceiro par é $(2, a)$, em que $a$ é um valor desconhecido. Sabendo que a covariância da distribuição é $s_{xy} = 2$, elabore uma equação e encontre o valor de $a$.

Numa pesquisa sobre o rendimento desportivo, relaciona-se o número de horas semanais de treino ($X$) com o tempo em minutos que um atleta leva para completar uma corrida de $10$ km ($Y$). Que sinal espera que a covariância $s_{xy}$ tenha? Justifique brevemente a sua resposta.

Ao estudar a relação entre a quantidade de fertilizante aplicado a uma planta (em gramas) e o seu crescimento semanal (em milímetros), obtém-se uma covariância de $24,6$. O que o sinal deste parâmetro estatístico indica sobre a relação entre o fertilizante e o crescimento?

Num estudo económico sobre a relação entre a taxa de inflação ($X$, em $\%$) e a taxa de desemprego ($Y$, em $\%$) de um país durante $5$ anos consecutivos, foram registados os seguintes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcule a covariância e indique se os resultados apoiam uma relação direta ou inversa entre ambas as taxas.

Analisa-se a trajetória de um objeto através de $5$ pontos cujas coordenadas $(X,Y)$ são: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 4)$.

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional. Face ao resultado, pode afirmar-se que as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes? Justifique a sua resposta relacionando-a com o gráfico.

Calcule a covariância da seguinte distribuição bidimensional expressa numa tabela de frequências absolutas $f_i$:

Foi realizado um inquérito a $20$ famílias sobre o número de veículos que possuem ($X$) e o número de lugares de garagem de que dispõem ($Y$). Os resultados estão resumidos na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule o centro de gravidade e a covariância $s_{xy}$.

Foi testado um novo fármaco num grupo de pacientes. A variável $X$ representa a dose administrada (em mg) e a variável $Y$ a redução da pressão arterial (em mmHg). Os resultados são apresentados na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule a covariância desta distribuição e explique o que o resultado sugere sobre a eficácia do fármaco.

Numa experiência de termodinâmica, a covariância entre a pressão e o volume de um gás em certas condições é $s_{xy} = -15,4$. Se, para facilitar os cálculos, o investigador decidir somar $2$ a todos os valores de pressão e subtrair $5$ de todos os valores de volume, qual será o novo valor da covariância?

Num estudo de arquitetura, a covariância entre o comprimento de uma viga $X$ (medido em metros) e a sua deformação máxima $Y$ (medida em milímetros) é $s_{xy} = 3,5$. Se se decidir expressar o comprimento em centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) e a deformação em micrómetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcule o novo valor da covariância.

Um conjunto de dados bidimensionais consiste nos seguintes $5$ pontos fortemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; e um ponto atípico: $(13, 15)$.

Calcule a covariância do conjunto completo dos $6$ pontos. Em seguida, calcule a covariância excluindo o ponto atípico e compare os resultados para explicar a sensibilidade da covariância a valores extremos.