Ângulos entre retas e planos no espaço

Um arquiteto está a projetar a cobertura inclinada de um pavilhão desportivo. No seu projeto, a estrutura de suporte principal segue a direção da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, enquanto o piso do pavilhão se encontra sobre o plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcule o ângulo formado pela viga de suporte com o piso.

Um raio laser sai da origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$ na direção do vetor $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Considere-se uma parede plana cuja equação é $\pi: x - 2y + z = 0$. Que ângulo forma o feixe de luz com a superfície da parede?

Calcule o ângulo agudo formado pela reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 0, -2)$ e $B(3, -1, 1)$, com o plano $\pi$ de equação geral $2x + y - 3z + 4 = 0$. Exprima o resultado em graus, minutos e segundos.

Dada a reta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ e o plano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, verifique se a reta e o plano são paralelos ou se, pelo contrário, se intersectam formando um ângulo determinado. Caso se intersectem, calcule esse ângulo.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ seja perpendicular ao plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Qual é o ângulo formado nesse caso?

Um painel solar é colocado sobre uma estrutura metálica. O painel está contido no plano $\pi \equiv x + y + z = 1$. Os raios de sol ao meio-dia seguem a direção da reta $r$ que passa pelo ponto $S(10, 10, 10)$ e é perpendicular ao plano de inclinação do terreno $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calcula o ângulo de incidência dos raios solares sobre o painel.
2. b) Se para obter a máxima eficiência o ângulo deve ser de $90^\circ$, determina um vetor normal para um novo painel que cumpra esta condição.

Calcula o ângulo que a reta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ forma com o plano coordenado $OXY$ ($z = 0$). Explica brevemente o significado geométrico do resultado obtido.

Calcule o seno do ângulo formado pela reta $r$, definida como a interseção dos planos $\pi_1: x - y = 0$ e $\pi_2: y - z = 0$, com o plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugestão: Obtenha primeiro o vetor diretor da reta $r$ por meio do produto vetorial dos vetores normais de $\pi_1$ e $\pi_2$).

Encontra o ângulo formado pela reta $r$, definida como a interseção dos planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ e $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, com o plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

Determine a equação geral do plano $\pi$ que contém a reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ e é perpendicular ao plano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Uma vez encontrada, verifique qual é o ângulo formado pela reta $r$ com esse plano $\pi$. O resultado era previsível? Justifique a sua resposta.

Um braço robótico industrial numa fábrica de montagem deve deslocar-se sobre uma guia retilínea $r$ que passa pela origem das coordenadas $O(0,0,0)$ e pelo ponto $P(1, -1, 0)$. O braço deve operar sobre uma placa metálica inclinada que coincide com o plano $\pi$ que contém os pontos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Calcule o ângulo formado pela trajetória do robô com a placa de trabalho.

Calcule o ângulo formado pela reta $r$ com o plano $\pi$, sabendo que $r$ é a reta que contém a mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ e $C(1, 4, 3)$, e que o plano $\pi$ é o plano que contém os pontos $B$, $C$ e a origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$.

Foi instalado um painel solar representado pelo plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Sabe-se que o painel passa pelo ponto $P(1, 2, 1)$ e que, para maximizar a sua eficiência, deve formar um ângulo de $60^\circ$ com o eixo $OZ$ (a vertical).

Calcule os possíveis valores do parâmetro $a$ (suponha $a > 0$).

Calcule o ângulo formado pela reta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ com cada um dos planos coordenados. A soma desses três ângulos é $180^\circ$? Justifique a sua resposta utilizando os conceitos de vetores diretores e normais.

Dada a reta $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ e o plano horizontal $XY$ de equação geral $\pi: z = 0$.

Para determinar o ângulo $\alpha$ que a reta $r$ forma com o referido plano, dois estudantes do 12.º ano propõem caminhos alternativos:

• Estratégia A (Ângulo reta-plano): Utilizar o vetor normal do plano $\vec n = (0, 0, 1)$ e o vetor diretor $\vec v = (2, -1, 2)$ através da fórmula direta $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Estratégia B (Ângulo complementar com o eixo $OZ$): Considerar o eixo vertical $OZ$ como uma reta de vetor diretor $\vec u = (0, 0, 1)$, calcular o ângulo entre retas $\beta$ através de $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ e finalmente obter $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos numericamente e verifica que fornecem exatamente a mesma medida para $\alpha$.
2. b) Demonstra analiticamente que a fórmula da Estratégia A se deduz da Estratégia B aplicando a identidade trigonométrica $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, explicando o papel do complementar na definição métrica.
3. c) Avalia criticamente ambos os procedimentos: se o plano do problema não fosse horizontal, mas sim um plano oblíquo qualquer (por exemplo, $\pi': 2x - 3y + z = 5$), que desvantagem inultrapassável ou custo computacional acrescido apresentaria a Estratégia B face à Estratégia A? Justifica qual é o método geral preferível.

Dada a reta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ e o plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determine o valor do parâmetro real $k$ sabendo que o ângulo formado pela reta e pelo plano é de $30^\circ$.

Um feixe de luz laser incide a partir de um satélite seguindo a trajetória da reta $r$, que passa pelo ponto $A(1, 0, 2)$ e tem como vetor diretor $\vec{v}(k, 1, 1)$. O objetivo é que o raio incida sobre uma estação recetora situada num plano $\pi$ de equação $2x - y + z = 5$. Determine os valores do parâmetro real $k$ para que o ângulo formado pela trajetória do laser com o plano recetor seja exatamente de $30^\circ$.

Considera a reta $s$ definida pela interseção de planos:

e a reta $r$ dada na forma contínua:

Define-se o feixe de planos concorrentes na reta $s$, cuja equação é dada por $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ com $\lambda \in \mathbb{R}$, ao qual se adiciona o plano complementar $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Encontra os valores de $\lambda$ para os quais o ângulo $\alpha$ formado pela reta $r$ e pelo plano $\pi_\lambda$ é exatamente de $45^\circ$. Escreve a equação geral de cada um dos planos obtidos.
2. b) Verifica analiticamente se o plano complementar $\pi_\infty: y - 3 = 0$ também forma $45^\circ$ com $r$.
3. c) Justifica geometricamente se existe algum plano dentro deste feixe que possa ser estritamente perpendicular à reta $r$. Para isso, analisa a condição necessária que os vetores diretores de ambas as retas $\vec v_s$ e $\vec v_r$ deveriam cumprir, sem necessidade de resolver sistemas de equações complexos.