Distribuições marginais

Dada a seguinte tabela de dupla entrada para as variáveis $X$ e $Y$:

Escreva a tabela da distribuição marginal da variável $X$.

Na seguinte tabela de dupla entrada faltam os totais marginais (as somas das linhas e das colunas).

Copie a tabela e complete os valores marginais que faltam.

Registam-se a temperatura média $X$ (em °C) e os dias de chuva mensais $Y$ em várias cidades:

Extraia as distribuições marginais de $X$ e $Y$. Verifique numericamente que a soma das frequências marginais de $X$ coincide com a soma das frequências marginais de $Y$ e que ambas equivalem à dimensão total da amostra $N$.

A distribuição marginal de uma variável bidimensional para a sua componente $X$ é dada pela seguinte tabela:

Calcule a média marginal $\bar{x}$.

Um biólogo estuda uma espécie de anfíbio, registando a sua massa $X$ (em kg) e o seu comprimento $Y$ (em cm). Os resultados estão agrupados na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$ de ambas as variáveis.

Numa fábrica analisa-se o número de defeitos $X$ e o tempo de revisão $Y$ (em minutos) de um lote de peças. A tabela de frequências conjuntas contém dois parâmetros $a$ e $b$:

Sabe-se que a dimensão total da amostra é $N = 40$ e que a média marginal do número de defeitos é $\bar{x} = 0,8$. Determine os valores das frequências $a$ e $b$.

Uma loja regista o preço base $X$ (em euros) e o número de unidades vendidas $Y$ de diferentes artigos. A distribuição marginal dos preços base $X$ obtida da tabela bidimensional é:

Sabendo que o preço final de venda ao público ($X'$) é calculado aplicando um imposto fixo de 5 euros mais um acréscimo de 20% sobre o preço base (ou seja, $X' = 1,20X + 5$), calcule a média e o desvio-padrão marginal dos preços finais $X'$ sem ter de transformar cada um dos valores individualmente.

Numa fábrica de componentes mecânicos controla-se o comprimento em centímetros ($X$) de uma peça e a sua resistência ao desgaste ($Y$). A partir da distribuição marginal de $X$, o departamento de qualidade já obteve que a média é $\bar{x} = 12\text{ cm}$ e o seu desvio-padrão é $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (pelo que a sua variância é $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Para adaptar os projetos a uma norma internacional, exige-se exprimir o comprimento em milímetros e adicionar uma margem fixa de montagem de 5 mm, aplicando a transformação linear $X' = 10 \cdot X + 5$.

Para determinar a nova média marginal $\bar{x}'$ e a nova variância marginal $\sigma_{x'}^2$, propõem-se dois métodos:

• Método 1: Transformar cada valor individual original $x_i$ calculando $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refazer toda a tabela de frequências marginais e aplicar desde o início as fórmulas gerais com somatórios.

• Método 2: Utilizar diretamente as propriedades algébricas das mudanças de origem e de escala sobre os parâmetros já conhecidos: $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ e $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Aplica o Método 2 para calcular numericamente $\bar{x}'$ e $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica qual é o mais eficiente quando se trabalha com bases de dados reais de milhares de registos. Ambos os caminhos chegam exatamente ao mesmo resultado?
3. c) Explica detalhadamente por que razão a parcela $+5$ altera o valor da média, mas não produz qualquer alteração no cálculo da variância marginal.

Num ensaio clínico relaciona-se a dose de um medicamento $X$ (em mg) com os dias de recuperação $Y$:

Calcule o coeficiente de variação marginal da variável $Y$ para analisar a sua dispersão relativa.

Estuda-se a quantidade de fertilizante $X$ (em kg/ha) e o rendimento da colheita $Y$ (em toneladas/ha) em diferentes parcelas:

Calcule a variância marginal de $X$ e a variância marginal de $Y$. Qual das duas variáveis apresenta maior dispersão absoluta?