Números-índice, IPC e taxas

O preço de um bilhete de autocarro era de $2,50\ \text{ €}$ em 2023 e de $2,65\ \text{ €}$ em 2024.

1. a) Calcule o número-índice do preço em 2024 com base 2023.

1. b) Qual foi a variação percentual do preço?

O número-índice do preço da ementa do dia numa cidade, com base 2021, vale $108,5$ em 2024.

1. a) Explique por palavras suas o que significa este valor.

1. b) Se uma ementa custava $11\ \text{ €}$ em 2021, quanto custa em 2024 se o seu preço seguiu esse índice? Arredonde às cêntimos.

A tabela mostra o preço de um videojogo em três anos: 2022: $60\ \text{ €}$; 2023: $66\ \text{ €}$; 2024: $69\ \text{ €}$.

1. a) Construa a sucessão de números-índice com base em 2022.

1. b) Em que ano o preço subiu mais, em percentagem, relativamente ao ano anterior?

A série de números-índice do preço do transporte urbano, com base em 2018, é: 2018: $100$; 2019: $103,2$; 2020: $107,5$; 2021: $112,1$.

1. a) Construa a mesma série tomando como base o ano de 2021 (índice $100$ em 2021), arredondando às décimas.

1. b) Que informação se conserva e que informação se altera ao fazer a mudança de base?

A figura mostra a evolução de um índice de preços com base $100$ em 2021.

1. a) Qual foi a variação percentual total dos preços entre 2021 e 2025?

1. b) Em que ano ocorreu o maior aumento anual? Calcula-o a partir dos índices, não o leias a olho nu.

1. c) Calcula a taxa de variação média anual do período (aquela que, repetida nos quatro anos, daria o mesmo índice final). Arredonda às centésimas.

Uma cadeia de supermercados tem uma sucessão de números-índice das suas vendas com base 2020 e outra com base 2023, mas falta-lhe o elo de ligação. Os dados conhecidos são:

• Base 2020: índice de 2021 $= 104$, índice de 2022 $= 109$, índice de 2023 $= 115$.

• Base 2023: índice de 2024 $= 106$, índice de 2025 $= 110$.

1. a) Calcule os índices de 2024 e 2025 com base 2020 (ou seja, vincule as duas séries).

1. b) Qual foi a variação percentual total das vendas entre 2020 e 2025?

1. c) E a variação média anual nesse período? Expresse-a em percentagem arredondada às décimas (use a raiz do índice global).

O IPC anual de três anos consecutivos foi de $3,5 \%$, $2,8 \%$ e $4,1 \%$.

1. a) Calcule o índice de variação encadeado de todo o triénio e o aumento total acumulado, arredondado às centésimas.

1. b) Se um litro de leite custava $0,95\ \text{ €}$ no início do primeiro ano e o seu preço subiu exatamente como o IPC, quanto custa no final do terceiro ano? Arredonde aos cêntimos.

Em 2022, a renda de um apartamento era de $850\ \text{ €}$ mensais. O contrato é atualizado todos os anos com o IPC: em 2023 o IPC foi de $3,1 \%$ e em 2024, de $2,6 \%$.

1. a) Calcule a renda mensal em 2024 após as duas atualizações, arredondada aos cêntimos.

1. b) O inquilino quer comparar a renda de 2024 «em euros de 2022». Como os preços subiram o mesmo que a sua renda, explique que índice usaria e que conclusão obtém.

1. c) Se em 2025 o IPC for de $5 \%$ e o senhorio decidir não atualizar a renda, em que percentagem diminuiu a renda em termos reais? Arredonde às centésimas.

Num debate televisivo, um comentador afirma: «o IPC subiu $5 \%$ em 2023 e caiu $5 \%$ em 2024, portanto os preços voltaram exatamente para onde estavam em 2022».

1. a) Mostra com um preço concreto (por exemplo, $100\ \text{ €}$) que a afirmação é falsa, e calcula o índice de variação total do biénio.

1. b) Que percentagem deveriam os preços ter caído em 2024 para voltar exatamente ao nível de 2022? Arredonda às centésimas.

1. c) Explica, numa frase compreensível para qualquer cidadão, porque é que subir $5 \%$ e cair $5 \%$ não se cancelam.

O IPC de um país é calculado como a média ponderada dos índices de vários grupos de despesas. Num ano, os dados são:

• Alimentação e bebidas: ponderação $25 \%$, aumento de $9 \%$.

• Habitação e serviços básicos: ponderação $30 \%$, aumento de $4 \%$.

• Transporte: ponderação $15 \%$, aumento de $6 \%$.

• Restante dos grupos: ponderação $30 \%$, aumento de $2 \%$.

1. a) Calcule o IPC global do ano, arredondado às centésimas.

1. b) Um trabalhador cujo salário subiu $3,5 \%$ nesse ano afirma que «perdeu poder de compra». Tem razão? Justifique calculando o índice de variação real do seu salário.

1. c) Outro trabalhador gasta metade do seu salário em habitação e a outra metade no restante em partes iguais. Explique porque é que a sua «inflação pessoal» pode ser diferente do IPC oficial.

Num país de $2,1$ milhões de habitantes, a taxa de natalidade é de $7,1$ nascimentos por cada $1\,000$ habitantes.

1. a) Quantos nascimentos se registaram nesse ano, aproximadamente?

1. b) Se a taxa de mortalidade foi de $9,3$ por cada $1\,000$ habitantes, a população cresce ou decresce por causas naturais? Quantifica-o.

Num relatório socioeconómico regional recolhem-se os seguintes dados do Inquérito ao Emprego:\n- População de $16$ ou mais anos: $500\,000$ pessoas.\n- Pessoas empregadas: $270\,000$.\n- Pessoas desempregadas: $30\,000$.\n\nO Marcos, um estudante do ensino secundário, escreve no seu trabalho: «A taxa de desemprego da região é de $6\,\%$, já que se calcula dividindo as $30\,000$ pessoas desempregadas pelas $500\,000$ pessoas em idade ativa e multiplicando por $100$».\n\na) Identifica o erro conceptual cometido pelo Marcos e redige uma breve explicação do motivo pelo qual a sua abordagem não se ajusta à definição de taxa de desemprego.\nb) Calcula corretamente a taxa de atividade e a taxa de desemprego da referida região (expressas em percentagem arredondada às centésimas).\nc) Se no próximo ano $10\,000$ pessoas das que estavam no desemprego decidirem deixar de procurar emprego ativamente para se matricularem em estudos universitários a tempo inteiro, o que acontecerá qualitativamente à taxa de desemprego (subirá, descerá ou não mudará), assumindo que as restantes variáveis se mantêm constantes? Justifica a tua resposta.

Num município de $48\,300$ habitantes, registaram-se $415$ nascimentos e $502$ mortes num ano.

1. a) Calcule a taxa de natalidade e a de mortalidade (por cada $1\,000$ habitantes), arredondadas às centésimas.

1. b) Calcule o crescimento natural (nascimentos menos mortes) e expresse-o também como taxa por cada $1\,000$ habitantes. A população cresce ou decresce por causas naturais?

1. c) Se a população total, no entanto, aumentou em $600$ pessoas nesse ano, que outro componente demográfico explica a diferença? Quantifique-o.

A tabela mostra dados aproximados do Inquérito ao Emprego de duas regiões num trimestre:

• Região A: população ativa $2\,400\,000$ pessoas, desempregados $312\,000$, ocupados $2\,088\,000$.

• Região B: população ativa $950\,000$ pessoas, desempregados $123\,500$, ocupados $826\,500$.

1. a) Calcule a taxa de desemprego de cada região, arredondada às centésimas.

1. b) Na região A, a população de $16$ ou mais anos é de $4\,300\,000$ pessoas. Calcule a sua taxa de atividade, arredondada às centésimas.

1. c) Uma manchete diz: «A região B tem menos desemprego porque tem menos desempregados». Critique a manchete usando as taxas calculadas e explique porque é que as taxas permitem comparar populações de tamanhos diferentes.