População e amostra

Uma fábrica de componentes eletrónicos produz um lote de $5000$ resistências. Para verificar a sua qualidade, o departamento de controlo seleciona e analisa $150$ resistências. Identifique a população, a amostra, o indivíduo e a dimensão da amostra neste estudo estatístico.

Numa reserva natural habitam $3400$ cervos. Uma equipa de biólogos decide obter uma amostra equivalente a $15\%$ da população para realizar um estudo de saúde. Calcule o tamanho da amostra que devem selecionar.

Uma empresa de estudos de mercado selecionou uma amostra de $630$ pessoas para um estudo de mercado. Sabendo que essa amostra representa exatamente $3,5\%$ da população-alvo, calcule o tamanho total da população em estudo.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas:

• A cor da pelagem de uma espécie de raposa.

• O número de satélites naturais dos planetas do sistema solar.

• A massa em quilogramas das encomendas postais de uma empresa de entregas.

• A marca dos computadores de uma sala de informática.

Indique se as seguintes variáveis quantitativas são discretas ou contínuas:

1. a) O volume de água numa barragem medido em hectómetros cúbicos.
2. b) O número de batimentos por minuto de um atleta após uma corrida.
3. c) A temperatura máxima diária registada numa cidade.
4. d) O número de passageiros de um voo comercial.

Num estudo de ecologia marinha, registam-se as seguintes características de uma população de golfinhos:

1. a) Espécie à qual pertence.
2. b) Comprimento do corpo em metros.
3. c) Número de crias que teve ao longo da sua vida.
4. d) Nível de risco de extinção (Baixo, Vulnerável, Em perigo).

Classifique detalhadamente cada variável estatística. No caso das variáveis qualitativas, indique expressamente se são ordinais ou nominais.

O Carlos quer fazer um inquérito sobre hábitos de reciclagem na sua escola secundária, onde há $600$ alunos matriculados em três vias: ensino básico ($360$ alunos), ensino secundário regular ($180$ alunos) e cursos profissionais ($60$ alunos). Para realizar o trabalho de Estatística, deve selecionar uma amostra de $60$ alunos. O Carlos afirma no seu relatório: «Como há $3$ vias de ensino, para que o estudo seja justo e representativo devo inquirir exatamente $20$ alunos de cada uma, já que $60 : 3 = 20$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro de raciocínio que o Carlos cometeu.
2. b) Calcula quantos alunos de cada via deveriam ser realmente escolhidos se for aplicada uma amostragem aleatória estratificada com afixação proporcional.

Numa escola do ensino secundário, há $120$ alunos no 1.º ano, $100$ no 2.º ano, $90$ no 3.º ano e $50$ no 4.º ano. Pretende-se extrair uma amostra de $72$ alunos através de uma amostragem aleatória estratificada com repartição proporcional. Calcule quantos alunos do 3.º ano devem fazer parte da amostra.

Uma exploração avícola tem três pavilhões com galinhas poedeiras: o pavilhão A tem $4500$ galinhas, o pavilhão B tem $3000$ e o pavilhão C tem $2500$. Pretende-se extrair uma amostra de $200$ galinhas utilizando uma amostragem estratificada com afetação proporcional. Determine o tamanho da amostra correspondente a cada um dos três pavilhões.

Num município dividido em três distritos (Norte, Sul e Centro), foi realizado um inquérito utilizando uma amostragem estratificada com repartição proporcional. A amostra total é de $300$ pessoas, das quais $120$ pertencem ao distrito Norte e $75$ ao distrito Sul. Se a população total do município é de $18000$ habitantes, calcule a população de cada um dos três distritos.

Numa linha de montagem, foram fabricados $1200$ telemóveis num dia. Pretende-se realizar um controlo de qualidade selecionando uma amostra de $40$ telemóveis por meio de uma amostragem sistemática. Se o primeiro telemóvel selecionado aleatoriamente for o que ocupa a posição $14$, determine o coeficiente de elevação e as posições dos três primeiros e do último telemóvel selecionado na amostra.

Uma base de dados contém os registos de $N = 2520$ clientes. Pretende-se extrair uma amostra de tamanho $n = 45$ por meio de uma amostragem sistemática. O ponto de partida aleatório determina que o primeiro cliente selecionado é o que ocupa a posição $a = 23$.

Determina uma expressão algébrica geral para a posição do $i$-ésimo indivíduo da amostra (para $1 \le i \le 45$) e determina qual a posição na base de dados ocupada pelo cliente que foi selecionado na posição número $32$ da amostra.

Uma empresa de software quer conhecer a opinião dos seus utilizadores sobre uma nova atualização da sua aplicação. Explique brevemente em que situação a empresa realizaria um censo e em que situação realizaria um estudo amostral.

A Câmara Municipal de uma cidade quer conhecer a opinião dos cidadãos sobre a construção de uma nova ciclovia no centro. Para isso, um entrevistador posiciona-se à porta de uma loja de bicicletas e entrevista $150$ pessoas que saem dela. Analisa se a amostra selecionada é representativa da população da cidade e explica que tipo de viés está a ser cometido no planeamento do estudo.

Deseja-se estimar o tempo médio de utilização diária de redes sociais por adolescentes de toda uma região. Para isso, selecionam-se aleatoriamente $200$ alunos de uma escola privada situada no bairro de maior poder de compra da capital. Justifique por que razão essa amostra não é representativa da população e proponha um método de amostragem mais adequado.

Um canal de televisão nacional quer prever o resultado de um importante referendo legislativo. Para isso, durante um programa de debate em horário nobre, pede aos telespectadores que manifestem a sua preferência ligando para um número de telefone pago ou enviando um SMS para votar na sua opção preferida. São recebidas mais de $100000$ respostas.

Identifique e explique pelo menos três fontes de enviesamento (erros sistemáticos) neste planeamento de amostragem e justifique por que razão, apesar do enorme tamanho da amostra, os resultados provavelmente não serão representativos da população em geral.