Método de Borda
A turma do 10.º A vai escolher o filme para a festa da escola. Há três opções, mas cada aluno tem uma ordem de preferência própria. Se só contarmos quem ficou em primeiro lugar, ignoramos tudo o que os alunos pensam sobre as outras opções. Será que existe uma forma justa de aproveitar a ordem completa de cada um?
Boletins de preferência
Num boletim de preferência, cada eleitor ordena todas as opções, da que mais prefere à que menos prefere. Escreve-se, por exemplo, $A \succ B \succ C$, que se lê «A é preferido a B, e B é preferido a C».
Como muitos eleitores votam da mesma maneira, os resultados apresentam-se agrupados: quantos eleitores escolheram cada ordenação.
| N.º de alunos | 1.ª preferência | 2.ª preferência | 3.ª preferência |
|---|---|---|---|
| $6$ | A | B | C |
| $5$ | B | C | A |
| $4$ | C | B | A |
O total de eleitores é a soma da primeira coluna: $6 + 5 + 4 = 15$.
Repara que, só com a 1.ª preferência, A teria $6$ votos, B teria $5$ e C teria $4$. A informação das 2.as e 3.as preferências ficava perdida. O método de Borda aproveita-a.
Uma turma de $40$ alunos escolhe o destino da excursão de fim de ano letivo entre Porto (P), Lisboa (L) e Coimbra (C), usando o método de Borda com $2$ pontos para a 1.ª…
Uma turma de $40$ alunos escolhe o destino da excursão de fim de ano letivo entre Porto (P), Lisboa (L) e Coimbra (C), usando o método de Borda com $2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$ para a 3.ª. As preferências foram:
-
$15$ alunos: $P \succ L \succ C$
-
$10$ alunos: $L \succ P \succ C$
-
$8$ alunos: $C \succ L \succ P$
-
$7$ alunos: $L \succ C \succ P$
- a) Organiza os dados numa tabela que mostre, para cada destino, quantos pontos recebe de cada grupo de alunos.
- b) Calcula o total de pontos de cada destino.
- c) Qual é o destino vencedor?
O método de Borda
Com três opções, os pontos são $2$, $1$ e $0$. Com quatro opções, são $3$, $2$, $1$ e $0$.
A ideia por trás da regra: uma opção que fique sempre num bom lugar, mesmo sem ser sempre a primeira, acumula muitos pontos. Quem agrada a (quase) todos é premiado.
Os $32$ alunos do 10.º A vão escolher o filme para a festa da escola entre três opções: A, B e C. Usa-se o método de Borda: cada aluno ordena as três opções da mais à…
Os $32$ alunos do 10.º A vão escolher o filme para a festa da escola entre três opções: A, B e C. Usa-se o método de Borda: cada aluno ordena as três opções da mais à menos preferida; cada 1.ª preferência vale $2$ pontos, cada 2.ª vale $1$ ponto e cada 3.ª vale $0$ pontos. As preferências foram:
-
$12$ alunos: $A \succ B \succ C$
-
$9$ alunos: $B \succ A \succ C$
-
$7$ alunos: $C \succ A \succ B$
-
$4$ alunos: $B \succ C \succ A$
- a) Calcula o total de pontos de cada opção.
- b) Qual é o filme vencedor?
- c) Quantos pontos separaram o vencedor do segundo classificado?
Uma escola de Faro elege a sua nova mascote entre quatro candidatos: A, B, C e D. Votaram $50$ alunos pelo método de Borda: $3$ pontos para a 1.ª preferência, $2$ para a…
Uma escola de Faro elege a sua nova mascote entre quatro candidatos: A, B, C e D. Votaram $50$ alunos pelo método de Borda: $3$ pontos para a 1.ª preferência, $2$ para a 2.ª, $1$ para a 3.ª e $0$ para a 4.ª. As preferências foram:
-
$18$ alunos: $A \succ B \succ C \succ D$
-
$12$ alunos: $B \succ C \succ A \succ D$
-
$9$ alunos: $D \succ B \succ C \succ A$
-
$6$ alunos: $C \succ B \succ A \succ D$
-
$5$ alunos: $A \succ C \succ B \succ D$
- a) Calcula o total de pontos de cada candidato.
- b) Quem vence pelo método de Borda?
- c) Se vencesse o candidato com mais 1.ªs preferências (maioria simples), quem ganharia? Compara com a alínea anterior e comenta.
Métodos diferentes, vencedores diferentes
Vamos comparar a maioria simples (vence quem tem mais 1.as preferências) com o método de Borda, na mesma votação.
Numa direção de um clube com $9$ membros, as preferências são:
| N.º de membros | 1.ª | 2.ª | 3.ª |
|---|---|---|---|
| $4$ | A | B | C |
| $3$ | B | C | A |
| $2$ | C | B | A |
Nenhum dos métodos é «o correto». Cada um traduz uma ideia diferente de justiça coletiva: um valoriza o apoio forte, o outro a aceitação alargada.
A direção de um clube desportivo de Viseu, com $11$ membros, escolhe o «atleta do ano» entre três candidatos: A, B e C. As preferências dos membros foram: $5$ membros:…
A direção de um clube desportivo de Viseu, com $11$ membros, escolhe o «atleta do ano» entre três candidatos: A, B e C. As preferências dos membros foram:
-
$5$ membros: $A \succ B \succ C$
-
$4$ membros: $B \succ C \succ A$
-
$2$ membros: $C \succ B \succ A$
- a) Se vencesse o candidato com mais 1.ªs preferências (maioria simples), quem ganharia?
- b) Aplica o método de Borda ($2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$ para a 3.ª) e indica o vencedor.
- c) Os dois métodos escolhem candidatos diferentes. Explica, com as tuas palavras, por que razão isto acontece e indica, justificando, qual dos resultados te parece mais justo neste caso.
De volta ao início: para aproveitar a ordem completa de cada aluno, atribuem-se pontos por posição e somam-se; vence quem acumular mais pontos, que pode não ser quem tem mais 1.as preferências.