Distâncias no espaço

Num ambiente de desenvolvimento de um jogo 3D, dois objetos estão situados nos pontos $A(2, -3, 1)$ e $B(6, 1, 1)$, onde as unidades estão em metros. Calcule a distância que separa ambos os objetos para programar uma colisão se esta for inferior a 5 metros.

Calcula as coordenadas dos pontos do eixo das abcissas (eixo $OX$) cuja distância ao ponto $P(3, 2, 2)$ é exatamente de $\sqrt{8}$ unidades. Explica geometricamente por que razão obténs uma única solução.

Uma antena transmissora de telefonia encontra-se no ponto $P(1, 2, -3)$. Sabe-se que o sinal é intercetado de forma ideal por um painel refletor plano cuja equação é $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determine a distância mínima que a onda deve percorrer da antena até ao painel.

Um sensor de profundidade laser encontra-se no ponto $S(5, -7, 4)$. O laser aponta diretamente para a parede lateral, representada pelo plano coordenado $XZ$. A que distância se encontra o sensor dessa parede?

Encontra as coordenadas dos pontos da reta $r \equiv x = y = z$ que se encontram a uma distância de $2\sqrt{3}$ unidades do plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

O gancho de uma grua de obra está suspenso na posição $Q(4, -3, 12)$. Os técnicos precisam de saber a distância do gancho ao eixo das cotas (eixo $OZ$). Calcule essa distância para verificar o espaço livre de rotação da grua em relação ao eixo vertical de referência.

Considere o ponto $A(1, 5, -2)$ e a reta $r$ definida pelas suas equações paramétricas:

Determine a distância do ponto $A$ à reta $r$ aplicando a fórmula do produto vetorial.

Considera-se o ponto $P(4, 3, 7)$ e a reta vertical $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, que é paralela ao eixo $Z$.

1. Estima e raciocina: Antes de aplicar qualquer fórmula, analisa a posição de $P$ e da reta $r$. Raciocina por que razão a cota (coordenada $z$) de $P$ não deve influenciar a distância mínima à reta vertical $r$, e faz uma dedução do valor exato que essa distância deveria ter baseando-te unicamente nas coordenadas $x$ e $y$ projetadas no plano $z = 0$.

2. Verifica: Escreve a reta $r$ na forma contínua ou paramétrica, escolhe um ponto $A \in r$, o seu vetor diretor $\vec{v}$, e calcula formalmente a distância aplicando a fórmula tridimensional do produto vetorial: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Verifica se o resultado coincide com a tua dedução prévia e raciocina que grandeza geométrica representa o vetor $\vec{AP} \times \vec{v}$ neste contexto.

Um foguetão de sondagem segue uma trajetória linear definida pela reta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. O foguetão deve enviar um sinal à estação de rastreio situada no ponto $P(5, -1, 4)$. Calcule a distância mínima a que passará o foguetão da estação de rastreio durante o seu voo.

Estão a ser projetadas as estruturas de suporte de um pavilhão. Duas das vigas principais são modeladas por meio das retas $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ e $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determine a distância mínima que separa ambas as vigas para verificar se é necessário instalar um conector de segurança entre elas.

Considere o cubo de aresta 4 unidades com um vértice na origem $(0,0,0)$ e as suas arestas situadas sobre os eixos positivos de coordenadas. Calcule a distância do vértice $V(4, 4, 4)$ à diagonal do cubo que une os pontos $(4, 0, 0)$ e $(0, 4, 0)$.

Dois satélites de comunicações seguem trajetórias lineares no espaço (medidas em centenas de quilómetros) representadas pelas retas $r$ e $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Pede-se:

1. Determinar os valores do parâmetro $k$ para que a distância mínima entre as duas trajetórias seja exatamente de $\sqrt{6}$ unidades (600 km).

2. Para cada valor de $k$ obtido no item anterior, calcula os pontos de cada trajetória onde se atinge essa distância mínima (pontos da perpendicular comum).

No projeto de uma sala de exposições, o piso e o teto foram modelados como dois planos paralelos de equações $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ e $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Determine a altura da sala.

Foi instalado um trilho metálico para um robô industrial que segue a trajetória da reta:

Se o piso da fábrica é o plano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, verifique primeiro que o trilho é paralelo ao piso e calcule depois a distância de segurança a que o trilho se encontra dele.

Num exame de 2.º ano do Ensino Secundário pede-se para calcular a distância entre os dois planos paralelos $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ e $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. O Lucas escreve no seu exame a seguinte resolução:

«Como os planos são paralelos, subtraio diretamente os termos independentes e divido pelo módulo do vetor normal de $\pi_1$:

1. Identifica o erro conceptual que o Lucas comete ao aplicar a fórmula diretamente com os coeficientes dados.

2. Explica geometricamente por que razão a fórmula simplificada da subtração dos termos independentes só é válida quando as equações têm exatamente o mesmo vetor normal (ou como se resolveria de forma segura escolhendo um ponto de um dos planos).

3. Corrige o cálculo e determina a distância real e exata entre $\pi_1$ e $\pi_2$.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a distância entre os planos paralelos $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ seja de 3 unidades. Explique por que existem dois possíveis valores para $k$.

Numa escavação arqueológica, determinou-se que o chão original de uma divisão se encontra sobre o plano $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Uma equipa de sensores desloca-se sobre uma guia metálica representada pela reta $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Verifica que a guia é paralela ao chão da divisão.
2. b) Calcula a distância constante a que os sensores se encontram do chão.

Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam dos pontos $A(1, -2, 3)$ e $B(3, 0, 1)$. Que figura geométrica representa? Calcule a distância da origem das coordenadas a esse lugar geométrico.

Um feixe de luz laser sai do ponto $A(1, 1, 1)$ na direção do vetor $\vec{v} = (1, 0, 2)$. Queremos colocar um espelho plano paralelo ao plano $XY$ de modo que a distância do ponto $A$ ao espelho seja de 5 unidades.

1. a) Encontra as duas possíveis equações dos planos que contêm o espelho.
2. b) Calcula a distância da origem a cada um desses planos.

Pretende-se projetar uma galeria subterrânea de ventilação cujo eixo central segue a reta:

Para a proteger, vão ser construídas duas barreiras planas paralelas à família de planos com vetor normal $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

1. Explica fundamentadamente por que razão, se a reta $r$ não fosse paralela aos planos dessa família, não faria sentido procurar planos da família que se encontrem a uma distância constante não nula da reta. Verifica analiticamente que, neste caso, $r$ é efetivamente paralela a estes planos.

2. Escreve a equação geral da família de planos paralelos $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ e determina os dois valores possíveis do parâmetro $D$ para que a distância da reta $r$ ao plano correspondente seja exatamente de $5\text{ metros}$.

3. A partir dos valores de $D$ encontrados, deduz diretamente (sem voltar a aplicar a fórmula da distância) qual é a distância que separa ambas as barreiras planas entre si, justificando a tua resposta.

O gestor de navegação aérea de Portugal (NAV Portugal) monitoriza no seu centro de controlo a trajetória de duas aeronaves em rota comercial dentro do espaço aéreo nacional. Tomando como referência um sistema cartesiano com distâncias em quilómetros, as trajetórias retilíneas de ambos os voos vêm descritas por:

1. Demonstra analiticamente que as trajetórias não são paralelas nem se intersetam em nenhum ponto (ou seja, que são estritamente não complanares no espaço).

2. O protocolo de segurança aérea exige ativar um aviso preventivo se a distância mínima teórica entre as trajetórias lineares for inferior a $8\text{ km}$. Calcula a distância mínima entre ambas as retas utilizando a fórmula do produto misto e do produto vetorial, e determina se o centro de controlo deve emitir esse aviso.

3. Do ponto de vista do movimento real dos aviões, raciocina por que razão uma distância entre trajetórias inferior a $8\text{ km}$ não implica obrigatoriamente um risco iminente de colisão física, indicando que grandeza cinemática adicional deveria ser considerada para saber se ambos os aviões coincidem perto do ponto de aproximação máxima.

Uma empresa de logística utiliza drones para o transporte de pacotes. Um drone desloca-se do ponto $A(1, 0, 2)$ em linha reta em direção ao ponto $B(5, 4, 10)$. No centro da zona de operações existe uma antena emissora situada no ponto $P(3, 5, 1)$.

Calcule:

1. O ponto exato da trajetória do drone que se encontra à distância mínima da antena.

2. Se o sinal da antena tem um alcance de $5$ unidades, determine durante qual intervalo do seu trajeto (valores do parâmetro $\lambda$) o drone tem cobertura.

Considera-se um plano $\pi$ que passa pelo ponto $M(1, 0, 3)$ e é perpendicular à reta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Encontre a equação da esfera que é tangente ao plano $\pi$ e tem o seu centro no ponto $C(4, 5, 2)$.

2. Calcule a distância da origem das coordenadas ao ponto de tangência entre a esfera e o plano.

Um arquiteto projeta uma estrutura vanguardista composta por dois cabos esticados. Num referencial cartesiano, o primeiro cabo coincide com a reta $r$ que passa por $A(1, 1, 1)$ e $B(2, 3, 0)$. O segundo cabo segue a direção do vetor $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e passa pelo ponto $C(0, 2, 2)$.

Calcule:

1. A distância mínima entre os dois cabos.

2. A equação da reta que representa um reforço metálico que une ambos os cabos pelo caminho mais curto possível (perpendicular comum).

Encontre as coordenadas dos pontos da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ que equidistam dos planos:

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Analise se existe algum ponto na reta cuja distância a ambos os planos seja nula e explique o seu significado geométrico.

Sejam o ponto $P(1, 2, -1)$ e a reta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcule o ponto simétrico de $P$ em relação à reta $r$. Chame-se-lhe $P'$.

2. Determine a distância de $P'$ ao plano $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Qual é o volume do tetraedro formado pelo ponto $P$, a sua projeção sobre a reta $r$ e os pontos de interseção do plano $\pi$ com os eixos $OX$ e $OY$?

Um raio laser parte do ponto $A(5, 2, 6)$ e reflete-se num espelho plano representado pelo plano coordenado $XY$ ($z=0$). O raio refletido deve passar pelo ponto $B(1, 4, 2)$.

Pede-se:

1. Encontrar as coordenadas do ponto de impacto $C$ do laser sobre o espelho.

2. Calcular a distância total percorrida pelo raio desde o ponto $A$ até ao ponto $B$. (Nota: A distância mínima é obtida por meio do ponto simétrico).

Dada a família de planos $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, onde $a \in \mathbb{R}$:

1. Demonstre que todos os planos da família contêm uma mesma reta comum $r$. Encontre as equações dessa reta.

2. Calcule a distância do ponto $Q(2, -1, 0)$ à reta $r$.

3. Determine o valor de $a$ para o qual o plano $\pi_a$ se encontra a uma distância de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unidades do ponto $P(0, 0, 0)$.

Têm-se o ponto $P(2, -1, 3)$ e a reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Um exercício propõe resolver duas questões sucessivas:

(a) Calcular a distância do ponto $P$ à reta $r$.

(b) Determinar as coordenadas do ponto $P'$, simétrico de $P$ em relação a $r$.

Dois alunos debatem sobre a estratégia de resolução:

• A Beatriz propõe resolver (a) através da fórmula do produto vetorial $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, e depois resolver (b) determinando a projeção ortogonal $M$ de $P$ sobre $r$.

• O Carlos defende que usar a fórmula do produto vetorial neste exercício é uma má escolha metodológica que gera cálculos redundantes, e que é mais eficiente começar diretamente por procurar a projeção ortogonal $M$.

Pede-se:

1. Avalia criticamente ambas as posturas: explica por que razão o método da Beatriz duplica o esforço de cálculo e demonstra como a obtenção prévia da projeção ortogonal $M$ permite responder de forma imediata às alíneas (a) e (b).

2. Seguindo o método proposto pelo Carlos (através de um ponto genérico da reta ou construindo o plano perpendicular auxiliar a $r$ que passa por $P$), determina as coordenadas da projeção ortogonal $M$, deduz a partir dele a distância exata $d(P, r)$ e calcula as coordenadas do ponto simétrico $P'$.

Dois planos secantes $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ intersetam-se ao longo de uma reta no espaço, dividindo-o em quatro regiões diedras.

1. Utilizando a definição analítica de distância de um ponto a um plano, estabelece a condição geométrica que qualquer ponto $X(x, y, z)$ do espaço deve cumprir para equidistar de ambos os planos: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Desenvolve a equação resultante aplicando as propriedades do valor absoluto e obtém as equações gerais dos dois planos bissetores resultantes, $\sigma_1$ e $\sigma_2$.

3. A partir dos vetores normais de $\sigma_1$ e $\sigma_2$, verifica algebricamente que ambos os planos bissetores são perpendiculares entre si.

4. Generaliza o resultado anterior para qualquer par de planos secantes: se dois planos têm vetores normais unitários $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (com $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), demonstra através das propriedades do produto escalar que os vetores diretores normais dos planos bissetores, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, são sempre ortogonais, explicando o significado geométrico deste facto.