Exercícios: Produto vetorial

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcule o seu produto vetorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando a regra do determinante com os vetores da base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Calcule um vetor que seja perpendicular simultaneamente a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ e $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Verifique o resultado efetuando o produto escalar do vetor obtido por $\vec{a}$.

Encontre a área do paralelogramo cujos lados são os vetores $\vec{u} = (5, 0, 0)$ e $\vec{v} = (2, 3, 0)$. Que relação observas entre esse resultado e a área de um retângulo de base 5 e altura 3 situado no plano $XY$?

Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos do espaço $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ e $C(1, 2, 5)$.

Verifique se os vetores $\vec{u} = (1, -2, 4)$ e $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ são paralelos calculando o seu produto vetorial. Explique que condição o resultado de um produto vetorial deve cumprir para garantir que dois vetores têm a mesma direção.

Dados os versores dos eixos coordenados $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcule os seguintes produtos vetoriais:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Justifique, à luz dos resultados, se o produto vetorial cumpre a propriedade comutativa.

Encontra um vetor que seja perpendicular ao plano que passa pelos pontos $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ e $R(2, 0, 1)$.

Em física, o momento de uma força $\vec{F}$ aplicada num ponto em relação a uma origem é dado pelo produto vetorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, onde $\vec{r}$ é o vetor de posição do ponto de aplicação. Calcula o momento de uma força $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newtons aplicada no ponto de coordenadas $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metros. A figura mostra um esquema (fora de escala) de $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

A Leonor tem de encontrar as coordenadas de um vetor perpendicular simultaneamente a $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (1, 4, -2)$. Para resolver isto, coloca o determinante com os vetores da base canónica e escreve no seu exame:

Após os cálculos, conclui que o vetor pedido é $\vec{w} = (-10, -7, 9)$.

1. a) Sem voltar a calcular o produto vetorial completo, utiliza o produto escalar para demonstrar que o vetor $\vec{w}$ obtido pela Leonor não é perpendicular a $\vec{u}$.
2. b) Localiza e explica com precisão o erro concetual ou algébrico que a Leonor cometeu no desenvolvimento do determinante.
3. c) Corrige o cálculo e escreve as coordenadas corretas do vetor $\vec{u} \times \vec{v}$.

No espaço tridimensional consideram-se os vértices de um triângulo: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ e $C(2, 5, 1)$ (com coordenadas medidas em metros).

1. a) Antes de calcular qualquer determinante ou produto vetorial, observa a posição geométrica dos pontos: o lado $AB$ assenta sobre o eixo $X$ e o vértice $C$ situa-se em $y = 5$ com uma cota vertical pequena ($z = 1$). A partir da área da projeção do triângulo sobre o plano horizontal $XY$, realiza uma estimativa fundamentada da área do triângulo $ABC$ no espaço e indica entre que dois números inteiros consecutivos deve encontrar-se o seu valor.
2. b) Calcula a área exata do triângulo através da norma do produto vetorial $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Compara o valor exato obtido com a tua estimativa prévia e justifica por que razão a área real no espaço é ligeiramente superior à do triângulo projetado sobre o plano horizontal.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, -2, 3)$ e $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcule as coordenadas de um vetor $\vec{w}$ que seja perpendicular simultaneamente a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$, e que tenha um módulo igual a $\sqrt{130}$ unidades. Quantas soluções possíveis existem para esse vetor?

Uma equipa de topógrafos está a medir um terreno triangular numa área acidentada. Determinaram que os vértices do triângulo, referidos a um sistema de coordenadas cartesianas em metros, são $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ e $C(5, 1, -3)$. Calcule a área desse terreno utilizando o produto vetorial.

Determine o valor do parâmetro real $k$ para que a área do paralelogramo definido pelos vetores $\vec{a} = (k, 1, 2)$ e $\vec{b} = (1, k, 0)$ seja exatamente $\sqrt{21}$ unidades quadradas.

No projeto de uma peça industrial, é necessário conhecer a direção da reta $r$ que resulta da interseção de dois planos cujas normais são $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ e $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabendo que o vetor diretor da reta é perpendicular a ambas as normais, utiliza o produto vetorial para o encontrar.

Demonstre, utilizando as propriedades do produto vetorial, que para qualquer par de vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ do espaço, é válida a seguinte igualdade:

De seguida, verifique o resultado para os vetores $\vec{u} = (1, 0, -1)$ e $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Um engenheiro ambiental está a calcular a eficiência de um painel solar plano. O painel é definido pelos pontos $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ e $R(1, 2, 4)$. Para maximizar a captação de energia, precisa de conhecer o vetor normal unitário à superfície do painel. Determine esse vetor.

Dados os vetores $\vec{a} = (2, -1, 0)$ e $\vec{b} = (1, 2, -2)$, determina um terceiro vetor $\vec{c}$ de forma a que o conjunto $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ forme uma base ortogonal do espaço (isto é, que sejam perpendiculares entre si dois a dois).

Numa experiência de física, uma partícula carregada move-se num campo magnético. O momento da força $\vec{M}$ em relação à origem é dado pelo produto vetorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, onde $\vec{r}$ é o vetor de posição do ponto de aplicação e $\vec{F}$ é a força aplicada. Se $\vec{r} = (2, -3, 1)$ metros e a força é $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newtons (a figura é um esquema da situação):

1. a) Calcula o vetor momento $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Calcula o seu módulo $|\vec{M}|$ e indica a sua unidade física (N·m).

No pátio de uma escola secundária de Faro vai-se instalar um toldo em vela triangular para criar uma zona de sombra face às altas temperaturas. A lona é ancorada em três pontos de suporte fixados nos muros circundantes, cujas coordenadas espaciais referidas ao solo horizontal (plano $XY$, em metros) são $A(0, 0, 3)$, $B(4, 0, 4)$ e $C(0, 6, 5)$.

1. a) Modela a superfície tensionada como o triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$, e calcula a sua área exata (área em $\text{m}^2$) utilizando o produto vetorial.
2. b) Para evitar que se acumule água em episódios de chuva intensa, deve-se controlar a inclinação da lona. Obtém um vetor perpendicular à superfície do toldo e calcula o ângulo que forma com a vertical $\vec{k} = (0, 0, 1)$, deduzindo a partir deste a inclinação do toldo relativamente ao plano horizontal do solo.

São conhecidos os vetores $\vec{u} = (1, 2, 2)$ e $\vec{w} = (-6, 6, -3)$, e procura-se determinar um vetor desconhecido $\vec{v}$ tal que $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Explica por que razão é uma condição geométrica obrigatória que $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ para que exista alguma solução, e verifica numericamente se essa condição se verifica neste caso.
2. b) Demonstra formalmente que a solução desta equação vetorial nunca é única: se $\vec{v}_0$ é uma solução particular, demonstra que qualquer vetor da forma $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (com $\lambda \in \mathbb{R}$) também satisfaz a igualdade $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.
3. c) Se impusermos a condição adicional de que $\vec{v}$ seja estritamente perpendicular a $\vec{u}$, formula as equações correspondentes e determina as coordenadas do único vetor $\vec{v}$ que cumpre simultaneamente $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ e $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, -1, 2)$ e $\vec{v} = (3, 1, -1)$, pede-se encontrar um vetor $\vec{w}$ que cumpra simultaneamente as seguintes três condições:

1. É perpendicular aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

2. A sua norma ou módulo é exatamente igual a $\sqrt{750}$.

3. A sua componente no eixo $Z$ (cota) é um número negativo.

Considere um triângulo cujos vértices são os pontos $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ e $C(0, -1, k)$, onde $k$ é um parâmetro real.

1. a) Determine a expressão da área do triângulo em função de $k$.
2. b) Determine os valores de $k$ para os quais a área do triângulo é igual a $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unidades de área.

Deseja-se desenhar uma peça estrutural metálica em forma de paralelogramo. Os lados estão definidos pelos vetores $\vec{a} = (2, m, 1)$ e $\vec{b} = (1, 2, 2)$.

1. a) Calcula o valor do parâmetro $m$ sabendo que a área da referida peça é de $\sqrt{26}$ unidades quadradas.
2. b) Para os valores de $m$ encontrados, os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são perpendiculares? Justifica a tua resposta sem efetuar o produto escalar.

Num estudo de robótica, o braço de um robô exerce uma força $\vec{F} = (2, -3, 1)$ newtons sobre um pino situado no ponto $P(1, 1, 4)$. O momento de uma força em relação a um ponto $O$ é definido como o produto vetorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, onde $\vec{r}$ é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao centro de rotação.

Se o centro de rotação se encontra na origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcule:

1. a) O vetor momento $\vec{M}$.
2. b) A área do triângulo cujos lados são os vetores $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

Dados os vetores $\vec{u} = (2, 1, -1)$ e $\vec{v} = (1, 0, 3)$, determine todos os vetores $\vec{x}$ que satisfaçam simultaneamente as seguintes equações:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Dica: Utilize as propriedades distributivas do produto vetorial e a condição de linearidade).

Seja $V$ o volume do paralelepípedo definido pelos vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$.

Se $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ e $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Determine os valores de $m$ para que o volume seja de 4 unidades cúbicas.
2. b) Para cada um desses valores de $m$, calcule a área da face do paralelepípedo definida pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, e utilize esse dado para determinar a altura do paralelepípedo relativamente a essa base.

Demonstra de forma analítica a Identidade de Lagrange para os vetores $\vec{u} = (x, 1, 0)$ e $\vec{v} = (0, y, 1)$, verificando que:

Em seguida, utiliza esta identidade para determinar a área do paralelogramo formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sabendo que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ e o seu produto escalar é $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$.

Um painel solar quadrangular tem os seus vértices nos pontos $P(1, 0, 0)$, $Q(3, 2, 1)$, $R(2, 5, 3)$ e $S(0, 3, 2)$.

1. a) Verifica se os quatro pontos são coplanares (estão no mesmo plano).
2. b) Se forem coplanares, calcula a área total do painel solar decompondo-o em dois triângulos e utilizando o produto vetorial.

Pretende-se calcular a distância do ponto $P(3, 1, -2)$ à reta $r$ que passa pelo ponto $A(1, 0, 1)$ e tem vetor diretor $\vec{d} = (1, 2, -1)$. Dois alunos propõem estratégias distintas:

• Método da Alice (vetorial): Interpreta que o vetor $\vec{AP}$ e o vetor diretor $\vec{d}$ determinam um paralelogramo no espaço cuja base é $|\vec{d}|$ e cuja altura é a distância procurada, pelo que aplica a fórmula $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$.

• Método do Bruno (analítico): Determina a equação geral do plano $\pi$ perpendicular à reta $r$ que passa por $P$, calcula o ponto $M$ de interseção entre a reta $r$ e o plano $\pi$ (projeção ortogonal de $P$ sobre $r$), e obtém a distância calculando a norma $|\vec{PM}|$.

1. a) Justifica detalhadamente, com argumentos geométricos, por que razão a fórmula utilizada no método da Alice fornece com rigor a distância mínima de $P$ à reta $r$.
2. b) Desenvolve ambos os métodos passo a passo e verifica que conduzem exatamente ao mesmo resultado numérico.
3. c) Compara criticamente ambos os caminhos: qual se revela mais direto e com menor risco de erro algébrico se apenas te pedirem o valor numérico da distância? Em que problema geométrico posterior seria imprescindível ter obtido o ponto $M$ através do método do Bruno em vez de se limitar ao cálculo da Alice?

Três vetores não nulos $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ satisfazem simultaneamente as duas igualdades vetoriais seguintes:

1. a) Demonstra rigorosamente, recorrendo à definição e às propriedades geométricas do produto vetorial, que os três vetores $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são perpendiculares dois a dois.
2. b) A partir da fórmula da norma $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$, demonstra que a norma do vetor $\vec{v}$ está univocamente determinada por estas duas condições e calcula o seu valor exato.
3. c) Deduz a relação matemática existente entre as normas $|\vec{u}|$ e $|\vec{w}|$.
4. d) Constrói um exemplo numérico concreto, propondo coordenadas simples para $\vec{u}$ e $\vec{v}$ que cumpram as condições do enunciado, calcula o vetor $\vec{w}$ resultante e verifica que ambas as igualdades vetoriais se cumprem de forma exata.