Paralelismo e perpendicularidade de retas

Calcule o declive da reta que passa pelos pontos $A(2, -1)$ e $B(5, 8)$, e deduza a partir dele qual seria o declive de qualquer reta perpendicular à mesma.

Um vetor diretor da reta $r$ é $\vec{v} = (3, -1)$. Escreve um vetor diretor para uma reta que seja paralela a $r$ e outro para uma reta que seja perpendicular a $r$.

Dadas as retas $r: y = -2x + 5$ e $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indique fundamentadamente se são paralelas, perpendiculares ou secantes não perpendiculares.

Determine a equação reduzida da reta que é paralela a $y = -3x + 2$ e que passa pelo ponto $P(0, 5)$.

Escreve a equação geral da reta que é paralela ao eixo das abcissas (eixo Ox) e passa pelo ponto $Q(-3, 8)$.

Escreve o declive de uma reta que seja paralela e o declive de uma reta que seja perpendicular à reta de equação $y = 4x - 7$.

Determine a equação reduzida da reta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que passa pelo ponto $A(4, 2)$.

O Marcos tem de determinar a equação reduzida da reta $s$, perpendicular à reta $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$, que passa pelo ponto $P(0, -5)$. No seu teste escreve o seguinte:

«Como é perpendicular, mudo o sinal do declive, por isso $m_s = \dfrac{3}{4}$. Como interseta o eixo das ordenadas em $-5$, a reta é $y = \dfrac{3}{4}x - 5$».

1. a) Identifica e explica fundamentadamente o erro conceptual do Marcos. Apoia-te no significado geométrico do declive (deslocamento horizontal e elevação) para justificar por que razão a sua reta não forma um ângulo de $90^\circ$ com $r$.
2. b) Corrige a resolução e escreve a equação reduzida correta da reta $s$.

Verifique analiticamente se as retas dadas na forma geral $r: 3x - 6y + 2 = 0$ e $s: x - 2y - 5 = 0$ são paralelas.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a reta $kx - 3y + 6 = 0$ seja paralela à reta que une os pontos $A(1, 2)$ e $B(4, 11)$.

Dois aviões voam à mesma altitude. A rota do primeiro avião é dada pelas equações paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. A rota do segundo avião é paralela à do primeiro e passa pela torre de controlo $T(0, 0)$. Escreva as equações paramétricas da rota do segundo avião.

Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de extremos $A(-2, 3)$ e $B(4, 1)$. (Lembre-se de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio).

Dois repetidores de telecomunicações situam-se nas coordenadas $A(-2, -1)$ e $B(4, 3)$. Para distribuir a cobertura de forma equilibrada, os técnicos devem traçar a mediatriz do segmento $AB$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico:

• Deduz fundamentadamente se o declive do segmento $AB$ é positivo ou negativo e, a partir dele, que sinal deve ter o declive da mediatriz.

• Determina mentalmente em que quadrante estará o ponto médio do segmento $AB$ e estima se a ordenada na origem da mediatriz será positiva ou negativa.

1. b) Realiza os cálculos analíticos: calcula as coordenadas do ponto médio de $AB$, o declive da mediatriz e escreve a sua equação na forma geral ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Verifica se os valores calculados na alínea b confirmam as estimativas que fizeste na alínea a e fundamenta por que razão o resultado é geometricamente coerente.

No mapa de uma cidade, a Rua Augusta segue a trajetória da reta $2x + 5y - 10 = 0$. A Rua Garrett é perpendicular a ela e passa por uma praça situada nas coordenadas $P(-2, 3)$. Determine a equação geral da Rua Garrett.

Um barco navega em linha reta seguindo a trajetória $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Um farol encontra-se situado no ponto $F(7, 7)$. Calcule a distância mais curta do farol à trajetória do barco. (Dica: determine a reta perpendicular a $r$ que passa por $F$, determine o ponto de interseção e calcule a distância entre ambos os pontos).

Calcule as coordenadas exatas do ortocentro (ponto de interseção das três alturas) do triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(2, -5)$.