Vetores. Definições

Classifique as seguintes grandezas utilizadas em física e geometria como escalares ou vetoriais, justificando brevemente a sua resposta com base na sua definição:

• Temperatura de um servidor de dados ($45^\circ \text{C}$).

• Velocidade do vento num parque eólico ($20 \text{ km/h}$ na direção Noroeste).

• Massa de um satélite artificial ($1200 \text{ kg}$).

• Deslocamento de um drone desde a sua base até um ponto de entrega.

Um braço robótico numa linha de montagem desloca-se num plano cartesiano bidimensional. Se a sua posição inicial é o ponto $A(3, -2)$ e a sua posição final após um movimento é $B(-1, 5)$, determine as componentes do vetor deslocamento $\vec{AB}$.

Um barco de pesca encontra-se nas coordenadas $P(-4, 2)$ de uma carta náutica. Se o capitão programar o piloto automático para realizar uma deslocação retilínea definida pelo vetor $\vec{v} = (8, -3)$, determine as coordenadas do ponto de destino $Q$.

Ao calcular as componentes e o comprimento (módulo) do vetor fixo que une o ponto $A(3, -2)$ ao ponto $B(-1, 4)$, o Marcos comete vários erros no seu exame. Escreve o seguinte:

1. Componentes: $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4,\ -6)$.

2. Módulo: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$ (concluindo que o vetor não pode existir porque uma distância não pode ser a raiz de um número negativo).

1. a) Identifica os dois erros concetuais cometidos pelo Marcos e explica por que razão contradizem a definição de vetor fixo e a dedução do módulo a partir do teorema de Pitágoras.
2. b) Corrige o procedimento calculando as componentes corretas de $\vec{AB}$ e o seu módulo exato e simplificado.
3. c) Que vetor calculou o Marcos, na realidade, no primeiro passo?

No projeto de um jogo eletrónico, a velocidade de uma personagem é dada pelo vetor $\vec{v} = (-6, 8)$ em píxeis por frame. Calcule o módulo desse vetor para determinar a rapidez real da personagem no ecrã.

Dois aviões de aeromodelismo seguem trajetórias definidas pelos vetores $\vec{u} = (4, -6)$ e $\vec{v} = (-2, 3)$. Verifique, utilizando a definição de vetores colineares, se ambos os aviões voam na mesma direção. Têm o mesmo sentido?

Para instalar um cabo de fibra ótica entre dois edifícios, os topógrafos marcam as posições das ligações num plano como $A(-3, 5)$ e $B(2, -7)$, com as unidades em metros. Calcule a distância em linha reta entre ambos os pontos.

A força aplicada sobre um objeto é dada pelo vetor $\vec{F} = (5, k)$ em newton. Se um sensor indica que a intensidade total da força é de $13 \text{ N}$, determine os possíveis valores do parâmetro $k$.

Para traçar uma estrada reta, os engenheiros devem garantir que três pontos de controlo estejam perfeitamente alinhados. Os dois primeiros pontos estão em $A(-1, 3)$ e $B(2, 5)$. Se o terceiro ponto tem a coordenada $y = 9$, determina a sua coordenada $x$ utilizando o conceito de vetores colineares.

Num simulador de física, a direção do vento é dada pelo vetor $\vec{w} = (-3, 4)$. Para aplicar corretamente as fórmulas aerodinâmicas, o motor do jogo precisa de um vetor unitário que mantenha exatamente a mesma direção e sentido que $\vec{w}$. Calcule-o.

Encontre um vetor $\vec{v}$ que seja paralelo ao vetor $\vec{u} = (1, -2)$, que tenha sentido oposto ao de $\vec{u}$, e cujo módulo seja exatamente $10$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ sabendo que os vetores $\vec{u} = (a, 3)$ e $\vec{v} = (-2, b)$ têm a mesma direção (são paralelos), sentido oposto, e além disso verifica-se que o módulo de $\vec{u}$ é $5$.

Observe os vetores representados na quadrícula a seguir. Identifique quais os pares de vetores que são equipolentes (iguais), quais os que têm o mesmo módulo mas direção diferente, e quais os que têm a mesma direção mas sentido oposto.

Três vértices consecutivos de um jardim urbano situam-se nas coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(6, 7)$, expressas em decâmetros. Pretende-se que o jardim tenha a forma de um paralelogramo $ABCD$. Determine as coordenadas onde deve situar-se o quarto vértice $D$.

Para determinar as coordenadas do quarto vértice $D$ de um paralelogramo cujos outros três vértices consecutivos são $A(-2, 1)$, $B(3, -2)$ e $C(7, 4)$, três alunos do 1.º ano do Ensino Secundário propõem estratégias distintas:

• A Elena propõe o Caminho 1: usar a equipolência de vetores livres em lados opostos, impondo que $\vec{AB} = \vec{DC}$.

• O Guilherme propõe o Caminho 2: calcular o vetor de posição do ponto médio da diagonal $AC$, $\vec{OM} = \dfrac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}$, e igualá-lo a $\dfrac{\vec{OB}+\vec{OD}}{2}$ para isolar $D$.

• A Sara propõe o Caminho 3: formular um sistema de duas equações quadráticas igualando os módulos dos lados opostos: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$ e $|\vec{BC}| = |\vec{DA}|$.

1. a) Aplica tanto o Caminho 1 como o Caminho 2 para determinar as coordenadas de $D$, verificando que ambos os métodos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Explica detalhadamente por que razão o Caminho 3 da Sara é deficiente e inadequado: que outras configurações geométricas não paralelogrâmicas satisfazem essas igualdades de distâncias e que problema algébrico é gerado ao resolver esse sistema?
3. c) Argumenta qual dos dois primeiros métodos se revela conceptualmente mais direto e generalizável a três dimensões sem necessidade de recorrer a distâncias nem a ângulos.

Vai ser colocado um pilar de suporte exatamente no centro de uma viga de aço. Se as extremidades da viga se situam nas coordenadas $M(-1, 4)$ e $N(7, -2)$, determine as coordenadas do ponto onde deve ficar o pilar.

Um arquiteto projeta uma escada reta que une o ponto $P(-2, 1)$ do chão ao ponto $Q(7, -5)$ de uma plataforma. Se deseja colocar dois suportes intermédios que dividam a escada em três troços de igual comprimento, calcule as coordenadas onde devem ser fixados esses suportes.

Dados os pontos $A(1, -2)$ e $B(6, 3)$, encontre as coordenadas de um ponto $P$ situado no segmento que os une, de modo que se verifique a relação vetorial $2\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec{0}$.

Dado o hexágono regular $ABCDEF$ da figura, cujo centro é a origem das coordenadas $O(0,0)$ e o vértice $A$ tem coordenadas $(2,0)$. Exprima os vetores $\vec{AC}$ e $\vec{AD}$ como combinação linear dos vetores de posição dos vértices (por exemplo, operando com pontos ou somando vetores conhecidos da figura).

Um robô de exploração marciana realiza dois deslocamentos consecutivos. Primeiro, move-se da sua base $O(0,0)$ até ao ponto $P$ definido pelo vetor $\vec{v_1} = (12, 5)$. Depois, a partir de $P$, realiza um segundo deslocamento $\vec{v_2} = (-4, 10)$ até chegar ao ponto $Q$. Calcule as coordenadas do ponto $Q$ e a distância total em linha reta desde a base $O$ até $Q$.

No centro de controlo do aeroporto Humberto Delgado, em Lisboa, monitoriza-se a posição de duas aeronaves. Num determinado instante, um avião comercial encontra-se na posição $A(8, 15)$ e desloca-se em linha reta até ao ponto de controlo $B(20, 20)$ (coordenadas em quilómetros em relação ao radar central $O(0, 0)$). Simultaneamente, um avião ligeiro de emergência parte do ponto $C(-6, -4)$ e realiza um deslocamento equipolente ao do avião comercial até uma posição $D$.

1. a) Escreve o vetor de posição $\vec{OA}$ do primeiro avião e obtém as componentes e o módulo do vetor deslocamento $\vec{AB}$. O que representa geometricamente este módulo?
2. b) Aplicando a definição de vetores equipolentes, calcula as coordenadas da posição final $D$ do avião ligeiro.
3. c) No boletim do IPMA é publicado: «Vento constante no setor do aeroporto a $45\text{ km/h}$ no eixo Norte-Sul». Justifica se esta afirmação define uma grandeza escalar ou uma grandeza vetorial completa, explicando que elemento falta para determinar o vetor vento sem ambiguidade.

Pretende-se determinar as coordenadas de um ponto $Q(q_1, q_2)$ no plano sabendo que o vetor fixo $\vec{PQ}$, com origem em $P(-4, 1)$, cumpre as seguintes condições:

1. O seu módulo é exatamente igual a $13$.

2. A sua componente vertical $v_2$ é positiva e a sua componente horizontal $v_1$ supera em $7$ unidades essa componente vertical ($v_1 - v_2 = 7$).

1. a) Formula a equação do módulo a partir da definição pitagórica, resolve algebricamente e deduz as componentes do vetor $\vec{PQ}$.
2. b) Utilizando a relação entre extremidades e componentes de um vetor fixo, determina as coordenadas exatas do ponto $Q$.
3. c) Escreve as componentes de um vetor $\vec{w}$ que tenha a mesma direção que $\vec{PQ}$, sentido oposto e exatamente metade do seu módulo.

Um percurso pedestre na Serra da Estrela une um refúgio situado no ponto $A(1, 2)$ a um miradouro no ponto $B(6, 14)$ (coordenadas expressas em quilómetros).

1. a) Antes de calculares a distância exata, faz uma estimativa fundamentada: deduz mentalmente o comprimento dos deslocamentos horizontal e vertical (catetos) e determina entre que dois valores inteiros se deve encontrar o módulo $|\vec{AB}|$ aplicando a desigualdade triangular.
2. b) Calcula de forma exata as componentes do vetor $\vec{AB}$ e o seu módulo através do teorema de Pitágoras.
3. c) Verifica se o valor obtido condiz com a tua estimativa prévia e explica geometricamente por que razão a distância em linha reta percorrida nunca pode ser superior à soma dos valores absolutos das suas componentes.

Dado um quadrilátero qualquer de vértices $A, B, C$ e $D$. Sejam $M, N, P$ e $Q$ os pontos médios dos lados $AB, BC, CD$ e $DA$, respetivamente. Demonstre, utilizando exclusivamente operações com vetores e coordenadas de pontos, que o quadrilátero $MNPQ$ é sempre um paralelogramo.

Determine as coordenadas de todos os pontos situados sobre o eixo das abcissas (eixo $X$) cuja distância ao ponto $A(-2, 3)$ seja exatamente igual a $5$ unidades.

Um barco tenta atravessar um rio perpendicularmente às margens com uma velocidade própria dada pelo vetor $\vec{v_b} = (0, 12)$ km/h. No entanto, a corrente do rio exerce uma velocidade constante representada pelo vetor $\vec{v_c} = (5, 0)$ km/h. Calcule o vetor velocidade real do barco em relação a um observador na margem e determine a sua rapidez real (módulo do vetor resultante).

São dados os pontos $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ e $D(0, 4)$. Calcule os vetores que formam os lados do quadrilátero $ABCD$ e os comprimentos das suas diagonais. Com base nesses cálculos (e sem usar o produto escalar), justifique se a figura é um losango, um quadrado, um retângulo ou nenhuma destas figuras regulares.

Encontra as coordenadas do ponto simétrico $A'$ do ponto $A(3, -1)$ em relação ao ponto $P(1, 2)$. Equaciona a resolução utilizando a definição de vetor que une dois pontos e indica a relação geométrica entre os vetores $\vec{AP}$ e $\vec{PA'}$.

Dados os vetores $\vec{u} = (4, 0)$ e $\vec{v} = (0, 3)$. Pretende-se encontrar um vetor $\vec{w}$ que seja a bissetriz do ângulo formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Sabendo que a soma de dois vetores unitários resulta num vetor com a direção da bissetriz, calcule as coordenadas exatas de um vetor diretor $\vec{w}$ dessa bissetriz.

Uma embarcação de Salvamento Marítimo com base em Sines deve fundear duas boias intermédias, $P$ e $Q$, ao longo do segmento retilíneo que une duas boias principais situadas em $A(1, 3)$ e $B(19, 27)$ (coordenadas em milhas náuticas referidas a uma estação costeira $O(0, 0)$). As boias intermédias devem dividir o trajeto orientado $\vec{AB}$ em três troços iguais com o mesmo sentido, verificando $\vec{AP} = \vec{PQ} = \vec{QB}$.

1. a) Demonstra formalmente, utilizando a relação entre pontos e vetores de posição ($\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$), que o vetor de posição da boia $P$ é dado por $\vec{OP} = \dfrac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3}$ e obtém de forma fundamentada a expressão análoga para $\vec{OQ}$.
2. b) Calcula as coordenadas exatas de $P$ e $Q$, e calcula a distância total entre $A$ e $B$.
3. c) Um helicóptero de resgate efetua um voo de reconhecimento de acordo com o vetor $\vec{CD} = (12, 16)$. Justifica com rigor matemático se os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{CD}$ têm a mesma direção, o mesmo sentido e se são ou não equipolentes.