Média, mediana e moda

Numa experiência de botânica, foi medido o número de folhas de $8$ plantas de uma mesma espécie após duas semanas de crescimento. Os resultados obtidos são: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcule a média aritmética, a mediana e a moda destes dados.

Dadas as seguintes duas séries de dados referentes ao número de livros lidos num ano por dois grupos de jovens:

• Série A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Série B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Determine a mediana de cada uma das séries e explique a diferença no procedimento de cálculo quando se tem um número par ou ímpar de dados.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as seguintes temperaturas máximas diárias ($^\circ\text{C}$) durante uma semana de julho na estação do aeroporto de Faro:

$$39,\quad 41,\quad 42,\quad 40,\quad 44,\quad 41,\quad 41$$

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo por escrito, estima à primeira vista entre que dois valores inteiros se encontrará a temperatura média semanal e qual achas que será o valor da mediana. Escreve a tua estimativa e fundamenta a intuição visual ou a eliminação rápida que utilizaste.
2. b) Calcula com precisão a média aritmética, a mediana e a moda deste conjunto de registos.
3. c) Verifica: a tua estimativa inicial coincidiu com os resultados calculados? Se durante o fim de semana o registo mais quente ($44\,^\circ\text{C}$) tivesse atingido um valor recorde de $47\,^\circ\text{C}$, a mediana teria variado? E a média? Justifica a resposta sem necessidade de recalcular toda a soma.

As idades dos participantes de uma oficina de robótica estão resumidas na seguinte tabela de frequências:

• $14$ anos: $5$ pessoas

• $15$ anos: $8$ pessoas

• $16$ anos: $4$ pessoas

• $17$ anos: $3$ pessoas

Determine a idade média, a idade mediana e a moda.

Perguntou-se a $20$ pessoas qual era a sua cor favorita para o design da interface de uma nova aplicação móvel. Os resultados são:

• Azul: $8$ pessoas

• Verde: $5$ pessoas

• Vermelho: $4$ pessoas

• Amarelo: $3$ pessoas

Indique qual é a moda. Faz sentido calcular a média ou a mediana neste caso? Justifique a sua resposta.

O seguinte gráfico de barras mostra o número de irmãos que os alunos de uma turma têm.

A partir do gráfico, construa a tabela de frequências e calcule a moda e a média aritmética.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Na disciplina de Matemática Aplicada do 4.º ano do ESO, os critérios de avaliação de um período letivo fixam os seguintes pesos: o trabalho diário e os trabalhos de casa contam $20\,\%$, os testes escritos $50\,\%$, e o projeto trimestral $30\,\%$. O Lucas obteve uma classificação de $8$ nos trabalhos, um $4$ nos testes escritos e um $6$ no projeto. Para calcular a sua nota final, o Lucas faz a seguinte operação:

$$\bar{x} = \frac{8 + 4 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

E afirma convicto: «Passei a avaliação com um 6 de nota média!».

1. a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual comete o Lucas ao aplicar a média aritmética simples em vez da média ponderada.
2. b) Realiza o cálculo correto da classificação final do Lucas e indica se ele realmente passa a avaliação (lembra-te de que a nota mínima de aprovação é $5$).

A classificação final da disciplina de Física é calculada por meio de uma média ponderada. As atividades laboratoriais valem $20\%$, os trabalhos de pesquisa valem $30\%$ e a prova final vale $50\%$.

Se uma aluna tem $8$ nas atividades laboratoriais, $6$ nos trabalhos e $7,5$ na prova final, calcule a sua classificação média final.

Uma empresa de logística tem dois armazéns industriais. No armazém de Lisboa trabalham $45$ operários com um salário médio de $1800 \text{ \euro}$. No armazém do Porto trabalham $30$ operários com um salário médio de $2100 \text{ \euro}$.

Calcule o salário médio de todos os operários da empresa no seu conjunto.

Um aluno do 10.º ano realizou cinco testes de matemática ao longo do período. As suas notas nos quatro primeiros são: $6, 7, 5$ e $8$.

Se ele quer que a sua nota média exata seja $7$, que nota deve obter no quinto teste?

Ao calcular a média das notas de $25$ alunos, o professor obteve $6,4$. Posteriormente, ao rever os testes, apercebeu-se de que tinha registado por engano $3$ a um aluno cuja nota real era $8$.

Calcule a nova média correta sem necessidade de conhecer todas as notas individuais.

Numa sapataria foi registado o número de pares vendidos segundo o tamanho durante um fim de semana. O tamanho médio vendido foi $39,5$. Conhecendo os seguintes dados, determine o número de pares vendidos do tamanho $40$ (representado por $f$).

• Tamanho $38$: $4$ pares

• Tamanho $39$: $8$ pares

• Tamanho $40$: $f$ pares

• Tamanho $41$: $5$ pares

Num estudo sobre o consumo de água numa comunidade, foi registado o gasto mensal em metros cúbicos ($m^3$) de várias habitações, agrupado nos seguintes intervalos:

• $[0, 10)$: $12$ habitações

• $[10, 20)$: $25$ habitações

• $[20, 30)$: $18$ habitações

• $[30, 40)$: $5$ habitações

Calcule o consumo médio de água e indique qual é a classe modal.

O seguinte histograma representa o tempo (em minutos) que um grupo de pessoas dedica por dia à prática de desporto.

Calcule o tempo médio dedicado ao desporto a partir das marcas de classe extraídas do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num centro médico foi registado o nível de colesterol de $50$ pacientes. A média aritmética da distribuição é $194 \text{ mg/dL}$. Na tabela foram apagadas acidentalmente duas frequências, $f_1$ e $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacientes

• $[180, 200)$: $f_1$ pacientes

• $[200, 220)$: $f_2$ pacientes

• $[220, 240)$: $8$ pacientes

Elabore e resolva um sistema de equações para encontrar as frequências absolutas $f_1$ e $f_2$.

A partir dos dados do Inquérito às Despesas das Famílias do Instituto Nacional de Estatística (INE), analisou-se o gasto mensal em transportes públicos (passes, metro e autocarros) de uma amostra de $100$ jovens entre os $18$ e os $24$ anos numa área metropolitana portuguesa:

• Intervalo $[0, 10)\text{ €}$: $15$ jovens.

• Intervalo $[10, 20)\text{ €}$: $25$ jovens.

• Intervalo $[20, 30)\text{ €}$: $40$ jovens.

• Intervalo $[30, 50)\text{ €}$: $20$ jovens.

1. a) Identifica o ponto médio de cada intervalo e calcula o gasto médio mensal estimado por jovem.
2. b) Determina de forma fundamentada qual é a classe modal tendo em conta que nem todos os intervalos têm a mesma amplitude. Por que razão, em distribuições com intervalos de diferente amplitude, não basta olhar apenas para qual intervalo tem a frequência absoluta mais alta?
3. c) Se a administração dos transportes implementar uma bonificação geral de $50\,\%$ em todas as tarifas a partir do mês seguinte, qual será o novo gasto médio mensal estimado deste grupo de jovens? Justifica a tua resposta aplicando as propriedades da média, sem reconstruir a tabela de frequências.

Uma plataforma cívica de estudo sobre o acesso à habitação para arrendamento recolhe dados de $40$ jovens de uma cidade que vivem em casas arrendadas. Os dados são inicialmente agrupados nos seguintes escalões de despesa mensal:

• Escalão A $[400, 600)\text{ €}$: $12$ pessoas.

• Escalão B $[600, 800)\text{ €}$: $16$ pessoas.

• Escalão C $[800, 1\,000)\text{ €}$: $8$ pessoas.

• Escalão D $[1\,000, 1\,400)\text{ €}$: $4$ pessoas.

1. a) Calcula a renda média mensal estimada para esta amostra através do uso dos pontos médios dos intervalos e determina qual é a classe modal analisando a densidade de frequência dos escalões.
2. b) Ao rever os contratos originais das $4$ pessoas do escalão D, verifica-se que as suas rendas reais exatas são: $1\,050$ €, $1\,100$ €, $1\,150$ € e $1\,300$ €. Calcula a média real exata destas quatro rendas e compara-a com o ponto médio que atribuíste a esse intervalo. O gasto médio foi sobrestimado ou subestimado ao usar o ponto médio do intervalo? Explica que limitação conceptual têm os pontos médios de classe ao estimar parâmetros em distribuições agrupadas.
3. c) O município concede um apoio direto de $100$ € mensais a todas as pessoas do estudo que paguem $700$ € ou mais de renda. Sabe-se que têm acesso ao apoio exatamente metade das pessoas do escalão B ($8$ jovens) e a totalidade dos escalões C e D ($12$ jovens). Qual será a nova renda média mensal líquida despendida pela amostra de $40$ jovens? Deduz e calcula o resultado refletindo sobre o montante total subsidiado e o conceito de média como repartição equitativa, sem refazer os cálculos intervalo a intervalo.

Mediu-se a massa, em quilogramas, de um grupo de $40$ pacotes numa estação dos correios, obtendo-se a seguinte distribuição:

• $[0, 5)$: $6$ pacotes

• $[5, 10)$: $14$ pacotes

• $[10, 15)$: $12$ pacotes

• $[15, 20)$: $8$ pacotes

Determine o intervalo onde se situa a mediana e estime o seu valor exato utilizando a fórmula de interpolação linear.

O seguinte polígono de frequências acumuladas (ogiva) mostra a distribuição das marcas obtidas por um grupo de $100$ atletas na prova de salto em distância.

A partir do gráfico, estime o valor da mediana. Se os dados fossem agrupados numa tabela de frequências com os intervalos do eixo horizontal, qual seria a classe modal? Justifique as suas respostas com base nas inclinações do gráfico.

A média das alturas de uma equipa de basquetebol de $10$ jogadores é de $192 \text{ cm}$.

Se todos os jogadores decidirem usar um modelo de ténis especiais que aumentam a sua altura em $4 \text{ cm}$, qual será a nova altura média da equipa? A moda mudará se existia uma altura mais frequente?

Seja uma variável estatística $X$ com média $\bar{x} = 15$. Define-se uma nova variável $Y$ através da transformação linear $y_i = 3x_i - 4$.

Demonstre algebricamente, aplicando as propriedades do somatório e da média aritmética, que a média da nova variável é $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, e calcule o seu valor numérico.

Num teste de controlo de qualidade, mede-se o tempo, em segundos, que um computador demora a iniciar. Obtêm-se os seguintes tempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcule a média e a mediana. Qual das duas medidas representa melhor a tendência central destes dados? Justifique a sua resposta.

Numa pequena empresa de tecnologia, os salários mensais dos seus $7$ funcionários são:

$1200 \text{ \euro}, 1250 \text{ \euro}, 1300 \text{ \euro}, 1200 \text{ \euro}, 1400 \text{ \euro}, 1350 \text{ \euro}, 8500 \text{ \euro}$.

Calcule a média e a mediana. Escreva um breve texto a explicar aos futuros funcionários qual das duas medidas representa de forma mais realista o salário habitual que vão receber e porquê.

Numa empresa logística de encomendas trabalham $25$ funcionários. Para a negociação do acordo coletivo de trabalho da empresa, a administração e a comissão de trabalhadores analisam a relação de salários brutos mensais:

• $18$ operadores de armazém recebem $1\,200$ € cada um.

• $4$ administrativos recebem $1\,600$ € cada um.

• $2$ chefes de turno recebem $2\,800$ € cada um.

• $1$ diretora de operações recebe $9\,500$ €.

1. a) Calcula a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição salarial da empresa.
2. b) No boletim da empresa, a administração afirma: «O salário médio dos nossos colaboradores ultrapassa os $1\,700$ €, pelo que os salários estão muito acima da média do setor». Pelo contrário, o sindicato declara: «Esse valor distorce a realidade; o salário que melhor representa o trabalhador comum da empresa é de $1\,200$ €». Analisa que medida de tendência central apoia cada uma das duas posições. Justifica de forma crítica qual das duas medidas (média ou mediana) é mais adequada para descrever o salário do trabalhador representativo, explicando o impacto do salário da diretora como valor discrepante (outlier).
3. c) Se a diretora aumentar o seu salário para $12\,000$ € e os restantes salários permanecerem congelados, indica de forma fundamentada como variarão a média e a mediana. Que propriedade fundamental da mediana fica demonstrada com este facto?

Numa pequena empresa cooperativa de calçado em Viseu trabalham $5$ pessoas. Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre os seus salários brutos mensais:

• A mediana dos salários é exatamente de $1\,300$ €.

• O salário médio dos cinco trabalhadores é de $1\,450$ €.

• A distribuição é unimodal (há uma única moda) e o seu valor é de $1\,150$ €.

• O artesão com maior experiência, que é quem recebe mais do quadro de pessoal, aufere $2\,100$ €.

1. a) Deduz de forma fundamentada, passo a passo, o salário mensal exato de cada um dos $5$ empregados da cooperativa.
2. b) Se no mês seguinte entrar uma sexta pessoa com um contrato de estágio e um salário de $950$ €, qual passará a ser a nova mediana salarial da cooperativa? A moda será afetada? Justifica a tua resposta sem realizar cálculos desnecessários.

Tem-se um conjunto de cinco números inteiros positivos ordenados do menor para o maior: $a, b, c, d, e$.

Sabe-se que cumprem simultaneamente as seguintes condições:

• A moda é $4$.

• A mediana é $5$.

• A média aritmética é $6$.

• A amplitude (diferença entre o maior e o menor) é $7$.

Determine o valor exato dos cinco números, justificando passo a passo a sua resposta.

A média de um conjunto de $n$ dados é $\bar{x}$. Se adicionarmos um novo dado de valor $D$, a nova média aumenta em $2$ unidades. Se, em vez de $D$, adicionarmos um dado de valor $D - 15$, a nova média diminui em $1$ unidade em relação à média original $\bar{x}$.

Elabore as equações correspondentes e calcule o número de dados original $n$.

Um investidor compra ações de uma empresa durante três meses consecutivos. No primeiro mês compra $n$ ações a um preço médio de $12 \text{ \euro}$. No segundo mês compra o dobro das ações que comprou no primeiro mês, a um preço médio de $15 \text{ \euro}$. No terceiro mês compra $50$ ações a $10 \text{ \euro}$.

Se o preço médio global de todas as ações compradas nos três meses é de $13 \text{ \euro}$, quantas ações comprou ele no primeiro mês?

Na avaliação de uma disciplina, a classificação final é calculada com três componentes:

• Teste intermédio (peso $30\%$)

• Trabalho de pesquisa (peso $20\%$)

• Teste final (peso $50\%$)

Um aluno tem $4,5$ no teste intermédio e $6$ no trabalho. A classificação do teste final deve ser um número inteiro ou com apenas uma casa decimal. Qual é a classificação mínima que ele deve obter no teste final para que a sua média ponderada seja de pelo menos $5,0$? Se a classificação máxima é $10$, é possível que alcance uma média de $8,0$?

Uma liga metálica é composta por dois metais $A$ e $B$. A massa volúmica do metal $A$ é de $3 \text{ g/cm}^3$ e a do metal $B$ é de $8 \text{ g/cm}^3$.

Se a massa volúmica média da liga resultante é de $6 \text{ g/cm}^3$, que percentagem do volume total da liga corresponde ao metal $B$? (Tem em consideração que a massa volúmica média de uma liga se comporta como a média ponderada das massas volúmicas dos seus componentes em relação às suas frações de volume).