Distâncias no plano

Calcule a distância exata entre os pontos $A(3, -2)$ e $B(-1, 1)$.

Calcule a distância do ponto $P(-4, 7)$ ao eixo das ordenadas e ao eixo das abcissas.

Verifique se o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 3)$ é isósceles calculando o comprimento exato dos seus três lados.

Encontra a distância da origem das coordenadas à reta de equação $3x - 4y + 10 = 0$.

Calcule a distância do ponto $Q(-1, 3)$ à reta dada na forma reduzida $y = 2x - 1$.

O Marcos tem de calcular a distância do ponto $P(-2, 3)$ à reta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. No seu exame escreve o seguinte procedimento:

1. a) Identifica e explica fundamentadamente os dois erros concetuais graves cometidos pelo Marcos na sua resolução.
2. b) Corrige o exercício realizando o cálculo adequado e expressa a distância exata com o denominador racionalizado.

Determine a distância do ponto $P(2, 5)$ à reta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Considera-se o ponto $P(2, 4)$ e a reta $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Sem aplicar ainda a fórmula da distância de um ponto a uma reta, calcula as coordenadas do ponto $Q \in r$ que tem a mesma abcissa que $P$ (ou seja, com $x = 2$). Determina a distância vertical entre $P$ e $Q$, e fundamenta geometricamente por que razão sabes com total certeza que $d(P, r) \le d(P, Q)$, servindo este valor como majorante da distância real.
2. b) Calcula o valor exato de $d(P, r)$ através da fórmula geral e verifica se a tua estimativa e majorante da alínea anterior eram corretos e coerentes.

Um cometa atravessa um sistema estelar seguindo uma trajetória retilínea de equação $3x + y - 6 = 0$. Um satélite de observação encontra-se estacionário nas coordenadas $S(2, 4)$. Calcule a distância mínima a que o cometa passará do satélite.

Um veículo de exploração espacial move-se em linha reta segundo a equação $y = 2x$. No ponto $C(5, 0)$ encontra-se uma base de carregamento sem fios de emergência. Determine em que ponto exato da sua trajetória o veículo estará à distância mínima da base e calcule essa distância.

Uma unidade técnica da IP (Infraestruturas de Portugal) monitoriza um troço retilíneo de via férrea que, sobre uma quadrícula topográfica com coordenadas em quilómetros, segue a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$. Instalou-se uma estação base de telecomunicações no ponto $T(6, 2)$.

1. a) Modela a situação calculando a distância mínima exata em quilómetros entre a estação base e a via férrea.
2. b) O protocolo de segurança ferroviária estabelece uma faixa de exclusão de $2\text{ km}$ para cada lado do eixo da via na qual não pode haver equipamentos sem blindagem eletromagnética. Determina fundamentadamente se a estação $T$ necessita da referida blindagem ou se se situa fora da faixa.
3. c) A partir da estação $T$ prevê-se lançar um drone de inspeção com um alcance máximo de radioligação de $5\text{ km}$. Justifica geometricamente se o drone pode alcançar algum ponto da via férrea e fundamenta quantos pontos da via se encontram exatamente a $5\text{ km}$ da base.

Encontra os possíveis valores do parâmetro $k$ para que a reta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exatamente $2$ unidades do ponto $P(1, -2)$.

Encontra a distância que separa as retas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ e $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Dois navios seguem rotas retilíneas e paralelas. O primeiro navio navega pela reta $r: x - 2y + 4 = 0$. O segundo navio passa pelo ponto $A(3, 1)$ mantendo a mesma direção. Calcule a distância mínima que separa ambas as trajetórias.

Para calcular a distância entre as duas retas paralelas $r: 3x - 4y + 7 = 0$ e $s: 6x - 8y - 11 = 0$, propõem-se três métodos de trabalho:

• Método A (Definição): Tomar um ponto arbitrário $P \in r$ e calcular $d(P, s)$ através da fórmula da distância de um ponto a uma reta.

• Método B (Projeção ortogonal): Traçar uma reta perpendicular comum a ambas, determinar os pontos de interseção $M \in r$ e $N \in s$, e calcular a norma do vetor $\vec{MN}$.

• Método C (Fórmula simplificada): Multiplicar a equação de $r$ por $2$ para igualar os coeficientes $A$ e $B$ com os de $s$, e aplicar diretamente a expressão $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Aplica o Método A e o Método C resolvendo ambos por completo, e verifica que fornecem exatamente o mesmo resultado.
2. b) Demonstra algebricamente a validade da fórmula do Método C: toma uma reta genérica $r: Ax + By + C_1 = 0$, escolhe nela um ponto genérico $P(x_0, y_0)$ que satisfaça $Ax_0 + By_0 = -C_1$, e calcula $d(P, s)$ em relação a $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Compara criticamente os três métodos: indica qual é o mais eficiente na prática, qual acarreta maior risco de erro por acumulação de cálculos e por que razão o Método B se torna desnecessariamente trabalhoso para este objetivo.

Calcule os possíveis valores do parâmetro $c$ sabendo que as retas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ e $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distam entre si $3\sqrt{5}$ unidades.

Um laser industrial deve realizar um corte principal numa chapa metálica seguindo a reta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Além disso, o sistema deve ser programado para fazer dois cortes paralelos de segurança a uma distância exata de $10$ mm de cada lado do corte principal. Determina as equações gerais das retas dos cortes de segurança.

Num parque, o centro de uma praça está situado no ponto $P(0, 5)$. Uma tubagem reta de rega segue a trajetória $y = x + 1$. Pretende-se instalar um aspersor sobre a tubagem que diste exatamente $5$ unidades do centro da praça. Determina as coordenadas das duas possíveis localizações do aspersor.

Determina as equações gerais das duas retas paralelas a $r: 5x - 12y + 8 = 0$ que se encontram a uma distância de exatamente $3$ unidades do ponto $A(1, -1)$. Em seguida, determina a distância que separa ambas as retas paralelas entre si e explica como se pode deduzir esse último valor de forma imediata por simetria, sem necessidade de aplicar nenhuma fórmula adicional.

Uma equipa de topografia delimitou um terreno triangular cujas estações base se situam nas coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ e $C(4, 6)$, expressas em quilómetros. Calcule a área exata do terreno avaliando primeiro o comprimento da base $AB$ e depois a altura correspondente a partir do vértice $C$.

Um painel solar tem forma de quadrilátero com vértices nas coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ e $D(0, 3)$, medidas em metros. Calcule o perímetro exato do painel.

Um triângulo isósceles tem o seu lado desigual (a base) sobre a reta $r: x + y - 2 = 0$. O vértice oposto à base é $A(4, 4)$ e sabe-se que a área do triângulo é de $12$ u$^2$. Calcule o comprimento exato da base e dos dois lados iguais.

Dado o segmento de extremidades $A(2, 4)$ e $B(6, -2)$, calcule primeiro as coordenadas do seu ponto médio $M$ e, a seguir, determine a distância de $M$ à extremidade $A$.

Determina as coordenadas dos vértices de um quadrado sabendo que um dos seus vértices é $A(1, 2)$ e que uma das suas diagonais está contida na reta $d: x - y - 1 = 0$.

Um losango tem um dos seus vértices no ponto $A(2, 1)$ e a diagonal que não passa por $A$ encontra-se sobre a reta $r: x + 2y - 9 = 0$. Se a área do losango é de $20$ u$^2$, determina as coordenadas dos três vértices restantes.

Pretende-se instalar uma antena de telecomunicações numa estrada reta que coincide com o eixo das abcissas. Esta antena deve estar exatamente à mesma distância da aldeia $P(-2, 3)$ e da aldeia $Q(4, 1)$. Em que coordenadas exatas deve ser colocada a antena?

As retas $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 3 = 0$ representam as margens de duas avenidas que se cruzam. Pretende-se construir uma ciclovia que equidiste de ambas as avenidas em todos os pontos. Determine as equações das duas possíveis trajetórias da ciclovia (as bissetrizes) e demonstre analiticamente que são perpendiculares.

Encontra as coordenadas dos pontos do plano que cumprem simultaneamente duas condições: equidistam das retas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ e $s: 4x + 3y - 1 = 0$, e a sua distância à origem das coordenadas é exatamente $5$ unidades.

Consideram-se as retas secantes $r: 4x - 3y + 6 = 0$ e $s: 3x + 4y - 12 = 0$. Procuram-se pontos situados sobre o eixo das abcissas ($OX$) que sejam simultaneamente equidistantes de ambas as retas.

1. a) Escreve as coordenadas de um ponto genérico do eixo das abcissas, estabelece a condição algébrica $d(P, r) = d(P, s)$ e obtém as coordenadas exatas dos dois únicos pontos, $P_1$ e $P_2$, que verificam essa igualdade.
2. b) Determina as equações gerais das duas bissetrizes, $b_1$ e $b_2$, dos ângulos formados por $r$ e $s$. Verifica por substituição direta que $P_1$ pertence a uma delas e $P_2$ à outra.
3. c) Demonstra que as duas bissetrizes $b_1$ e $b_2$ são perpendiculares entre si e fundamenta que significado geométrico tem o facto de os pontos obtidos na alínea a) serem precisamente as interseções de cada bissetriz com o eixo das abcissas.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ cuja distância à reta $r: 3x - 4y = 0$ é exatamente o dobro da sua distância ao ponto fixo $Q(0, 2)$. Simplifique a equação resultante.